在历史溯源中走出认知误区

摘 要：溯源代数学的发展历史，大致有“修辞代数—缩略代数—符号代数”三个主要时期。教学中发现，学生学习《用字母表示数》时产生的错误认知与这三个时期有较多相关性，因此，在设计《用字母表示数》一课的教学时，可以参照人类“用字母表示数”的历史过程进行教学设计，以此引导学生走出认知误区。

关键词：《用字母表示数》；历史溯源；认知误区

“用字母表示数”是学生从自然的算术语言向抽象的代数语言过渡的起始，是算术思维向代数思维飞跃的开端，也是小学数学学习从“理解数量”转向“探讨关系”的标志，具有非同寻常的价值定位。然而，正因为“用字母表示数”是学生系统学习代数的起始，对数学思想的渗透又是隐性要求，导致一些教师的教学处理浅表化，给学生的学习、认知造成了很多误区。因此，教师需要对“用字母表示数”进行深度剖析，在理解其历史渊源和数学本质的基础上，设计符合学生认知水平、能够引领学生走出认知误区的教学。

一、从认知误区开始分析

学生学习了《用字母表示数》一课后，有时并未对“用字母表示数”的本质产生正确的认识。笔者通过对一些刚上初中（七年级）的学生进行抽样调查，发现了几个普遍问题，于是对这些问题做了初步的分析。

（1）解释代数式“2+25m”的实际意义时，学生回答“某工程队修路，2天修25米”。说明学生对“用字母表示数”的认识停留在字母表示量的单位的层面，遇到字母无法第一时间想到其代数意义。（2）求解问题“已知圆的周长为r，那么圆的面积是多少”时，近一半的学生将题目中的“周长”当作“半径”来解答。这说明学生将某些字母的意义固化、窄化了，对字母在新情境下的意义理解不清。（3）求解问题“长方形长为x，宽为y，求长方形的周长”时，部分学生始终认为“2x+2y”不是这个长方形的周长，因为“2x+2y不是一个值”。这说明学生将代数式看作运算的过程，无法将其作为运算结果看待。（4）学习方程之后，学生依然选择用算术方法求解应用题，需要经历很长一段时间才能转变为使用方程等代数方法……

这些普遍的错误认知再一次提醒我们，“用字母表示数”的价值定位不能只停留在理论上的“起始”“开端”“飞跃”，而要在学生接触概念伊始就引领他们深入了解概念本质，并带领他们经历概念发生、发展的全过程。

二、追溯知识的发展历史

学生认知中的普遍错误，往往出于对概念本质的不理解，造成这一现象的主要原因之一是概念的发展历程和内在联系被省略了，学生学到的只是孤零零的概念本身。

数学史家通常认为，代数学的发展经历了“修辞代数—缩略代数—符号代数”三个主要阶段。这三个阶段的特点和人们对“用字母表示数”的理解具有高度相关性。所以，了解和分析这三个时期“用字母表示数”的发展对我们设计、优化教学具有重要作用。

代数学发展的早期，人们只会用大段的文字来表示研究对象，这一时期被称为“修辞代数”时期。比如，3700年前，古埃及人用意为“一堆”的特殊文字来表示未知量；2600年前，古希腊的毕达哥拉斯学派能轻易说出具体的多边形数，却无法表达“任一”或“任意”；公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》中，通过将偶数设为可平分的线段来证明“偶数相加，则其和也为偶数”。

直到公元3世纪，丢番图首次用字母表示未知数，代数学才开始进入“缩略代数”时期（也称“简单代数”时期），人们开始用字母表示未知量。这一时期，虽然人们对“用字母表示未知量”有所了解和延伸，但只在用字母表示的未知量的类型和方程解的一般性上有所发展，而在用字母表示“一般量”上一直少有突破。

“缩略代数”时期一直持续到公元16—17世纪，法国数学家韦达有意识地使用系统的字母与符号表示数量，代数学才终于走进了“符号代数”时期。这一时期，一些人开始把已知量用辅音字母表示，把未知量以元音字母表示，并将它们称为“类的算术”。数学史家李文林先生评价说：“这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。”这一时代，大量的近现代数学成就开始涌现。

中国代数学的发展历程也大致如此。成熟于宋元时期的“天元术”标志着我国数学进入“半数学符号”阶段，虽然这一阶段比公元16世纪早了300多年，但比起“符号代数”时期，韦达系统地使用字母与符号表示数量，这种“半数学符号”阶段依然还处于“缩略代数”时期。公元19世纪，李善兰和英国传教士伟烈亚力合译的《代数学》是我国第一部“符号代数”教材，其中的“代数”一词，正是“用字母代替数”之意。

对比“用字母表示数”的发展历史和学生学习“用字母表示数”时产生的认知误区，二者有很高的相似性。例如，前述问题（1）和问题（4）表明学生只会用文字表述问题，或认为字母只能表示生活中各类量的单位，是典型的“修辞代数”阶段的认识；问题（2）和问题（3）表明学生认为特定的字母只能表示特定的量，字母只是未知量，而不是“具体值”，代数式只能表示运算过程，不能表示结果，这是典型的“缩略代数”阶段的认识。

三、设计揭示概念本质的教学

数学家余介石主张“历史之于教学……可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也。”个人认知过程与历史上知识发展有很大的相似性。了解历史上数学家认识、解释、创造数学概念的艰难过程，有助于揭示学生的认知发展规律，也有助于我们理解、预见、突破学生的学习难点。

基于以上思考，教学《用字母表示数》一课时，可以从历史的发展顺序中获得教学的参考和依据，设计三个教学环节。

（一）交流生活经验

活动1：师生相互分享生活中的“字母符号”，比如停车位上的“P”等。

学生感悟：生活中的字母和数学里的数量单位多是“完整说法的缩写”。

活动2：请学生将教师带来的扑克牌从小到大排一排，说说扑克牌里的J表示什么？Q表示什么？K表示什么？

学生感悟：扑克牌里的字母通常表示“特定的数”。

活动3：想一想“0，3，6，x，12，15”中的x可以表示什么样的数，领悟x在这里的意义。

学生感悟：找规律中的字母“特定的未知数”。

（二）体验抽象意义

活动4：课件呈现一堆相同长度的小棒，并用3根小棒搭成1个三角形，让学生解答以下问题：（1）分别用算式表示搭2个三角形，3个三角形，4个三角形所需要的小棒根数；（2）一直这样摆下去，如何用算式表示需要的小棒根数。学生完成后，教师出示学生写出的“3×x”“3×n”等式子，全班讨论x和n能表示哪些数，x和n是不是未知数。

学生感悟：一直这样摆下去，算式是写不完的，但是可以用字母来表示。这里，字母可以表示“变化的、已知范围的数”。

活动5：猜年龄。用x表示老师的年龄：（1）x的范围可能是多少？（2）老师比女儿大28岁，填空：老师的女儿______岁；当x=35，即老师35岁，老师的女儿______岁；当x=67，即老师67岁，老师的女儿______岁……

学生感悟：字母表示的数确定了，字母表示的式子的结果也就确定了，因此“x-28”这样的式子也可以表示“具体的数量”。

（三）运用学习成果

活动6：用“c×4”编一个故事。出示：如果一支铅笔的质量是c千克，那么4支相同铅笔的质量就是c×4千克。学生按照给出的示例编故事，然后在小组内相互讲一讲各自编的故事。分享过后，教师从“c×4”开始讲述“用字母表示数”的历史发展过程。

学生感悟：数学家在探索“用字母表示数”的过程中经历了无数曲折和波澜，如今学到的“用字母表示数”虽然看似只是这部分学习的开始，但这一知识、概念其实已经跨越了几千年的历史长河。

这三个教学环节突显了学生从已有经验到概念形成的认知过程，6个活动引导学生对“用字母表示数”的理解经历了“字母表示完整意义的缩写—字母表示特定的数—字母表示特定的未知数—字母表示变化的、已知范围内的数—字母式子表示具体数量”的完整过程，再现了“用字母表示数”的历史发展顺序，揭示了概念的本质，尊重了学生的认知规律。

人类完整地认识“用字母表示数”的本质经历了数千年，学生自然不可能在短短一节课的时间里深刻而全面地领悟这些内容，因此，教师需要在揭示概念本质的过程中逐渐渗透概念背后的思想和精神，在历史溯源中引领学生走出认知误区。

参考文献：

[1]蒲淑萍，汪晓勤.学生对字母的理解：历史相似性研究[J].数学教育学报，2012（3）.

[2]孙学东.结构性问题设计与高阶思维培养[J].基础教育课程，2019（2）.

[3]欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.北京：人民日报出版社，2009.

[4]张维忠，汪晓勤，等.文化传统与数学教育现代化[M].北京：北京大学出版社，2006.

（周逸君，特级教师，江苏省无锡市教师发展学院，邮编：214000）