复习，让“知识”和“人”都生动活泼起来

【教学内容】

苏教版小学数学五年级下册第47-49页。

【教学目标】

1.进一步认识因数与倍数、质数与合数，奇数与偶数，感悟联系，初步建立结构性的认知。

2.在整理与交流活动中，认识“好的整理”，初步掌握整理的方法，提升整理的意识与能力。

【教学过程】

课前，学生独立、自主完成“因数与倍数”整理复习（如图1）。

一、揭示课题

师：这节课是一节复习课，我们复习什么？

生：（齐）因数与倍数。

二、学习“整理”

（一）展评学生所做的整理

师：课前，同学们已经做了小研究。这节课，我想先请一位同学展示一下。谁来展示？（学号为38号的张静远展示材料，如图2）大家快速地看或者读一遍，想一想，你觉得张静远哪里整理得好，待会儿要怎么表扬她；哪里可以整理得更好，你要给她什么建议。听懂了吗？

师：看完了张静远的材料，和你自己的材料对照。你要如何表扬张静远？

生：张静远把每一点都列出来了，怎么找因数、倍数的方法也都列出来了。

师：看张静远的整理，我们学的因数与倍数的内容，是不是都呈现在上面？刚才表扬的内容，如果用一个词来概括，是什么？（板书：全面）如果整理得“不全面”，应该怎么办？翻开数学书，从前往后再看一看，对照着补充完整。继续，还有其他表扬吗？

生：我觉得他列得很完整，而且字迹很工整。

师：整理得工整，也就是有序。我们看，她先整理了什么，然后整理了什么，再整理了什么……用一个词来形容，就是有序。（板书：有序）还有其他表扬吗？如果暂时没有其他表扬，我们就一起来看张静远整理的优点，一是全面，二是有序。张静远的材料，值得我们学习。

（二）教师带领学生整理

师：看了张静远的整理，有没有觉得这一单元的概念很多？有一个字出现了很多次，是哪个字？（学生回答：数）谁能说说你想到哪些“数”？（学生回答：因数、倍数、质数、合数、最大公因数、最小公倍数、质因数、奇数、偶数、公因数、公倍数。教师根据学生回答，将相应板贴贴在黑板右侧）你觉得这些“数”中，哪两个“数”是最重要的？

生：最大公因数和最小公倍数。

生：我觉得应该是因数和倍数。这一单元的题目是什么？

生：因数和倍数。

生：那你觉得最重要的是什么？

生：因数和倍数。

师：刚才的对话很有意思，为什么最重要的是“因数”和“倍数”呢？（教师将“因数”“倍数”板贴移到黑板左侧）我们一起来体会。在说到因数和倍数的时候，首先会想到一个提醒，是什么提醒呢？

生：谁是谁的因数，谁是谁的倍数。举个例子，比如说3是12的因数，12是3的倍数。

师：（板书：12=3×4）12等于3乘4，我们还可以怎么说？

生：3是12的因数，4是12的因数，12是3的倍数，12是4的倍数。

师：说得非常好！我们在想到因数和倍数的时候，就要想到因数和倍数之间的关联，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。不能说3是因数，12是倍数。知道了因数和倍数，大家想想，哪些概念和因数与倍数有关系？我们可以先找一找，哪个数和“因数”的关系最密切？（学生回答：公因数）因数前面加了一个“公”字。看到了“公”想到了什么？（学生回答：公有）因数是一个数的因数，公因数呢？（学生回答：两个或两个以上的数的公有因数。教师将“公因数”的板贴移至“因数”后）有了公因数，后面要找什么？（学生回答：最大公因数）为什么不找最小公因数呢？（学生回答：所有数的最小公因数都是1，不要找了。教师将“最大公因数”板贴移至“公因数”后，将“公倍数”板贴移至“倍数”后）一个数有倍数，那两个数或两个以上的数就有——（学生回答：公倍数）公倍数有了，我们要找最小公倍数，马上想到什么问题？（学生回答：没有最大公倍数）找不到最大公倍数，那我们就找——（学生回答：最小公倍数）刚才由公因数想到最大公因数，现在由公倍数想到了最小公倍数。（教师将“最小公倍数”板贴移至“公倍数”后）还有谁和谁之间是有关联的？

生：奇数、偶数和倍数有关系。

师：奇数、偶数，和几的倍数有关系？

生：2。

师：这个单元还学了什么内容？

生：2、3、5的倍数。

师：这个内容刚才没说（教师板贴“2、5、3的倍数特征”）你们说的是2、3、5的倍数的特征，老师的板贴是2、5、3的倍数特征，这是怎么回事呢？

生：因为2和5的公倍数末尾是0。

生：因为我们先学了2和5的倍数，又学了3的倍数。

生：因为2和5的倍数特征都是看个位，而3的倍数是看各个数位上数的和。

师：几个同学都说了自己的想法，你觉得哪种想法最合理？（学生指最后发言的女生）她说，2和5的倍数都是看个位，这个方法是一样的，而判断一个数是不是3的倍数，需要看各个数位上的数的和。所以，老师的板贴是“2、5、3的倍数的特征”，这样排是有学问的。回顾一下，刚才说的什么数和倍数特征有关系？

生：（齐）奇数和偶数。

师：（移动“奇数”“偶数”板贴）什么叫奇数？

生：不能被2整除的数。

师：也就是说不是2的倍数，如果是2的倍数呢？

生：那就是偶数。

师：我们把自然数分成奇数和偶数是按照什么来分的？

生：按照是不是2的倍数分的。

师：我们继续来看，质数和合数之间什么有关系？

生：只有一个因数的数是质数，还有别的因数的数是合数。1既不是质数，也不是合数。

生：你说错了，应该是除了1和它本身，没有其他因数的数，叫作质数。除了1和它本身，还有别的因数的数，叫作合数。

师：下次发言之前，你可以先问一问前面回答的同学是不是口误了。什么叫质数？

生：只有1和它本身作为因数的数是质数。

师：什么叫合数？

生：除了1和它本身还有其他因数的数叫作合数。

师：第一个同学虽然口误了，但有一点说对了——一个数是质数还是合数，要看它因数的个数。所以质数、合数和谁有关系？

生：和因数有关系。

师：（将“质数”“合数”板贴移至“因数”后，并在“质数”后板书“2”）我在这里写了个“2”，你知道是什么意思吗？

生：质数有2个因数，一个是1，还有一个是它本身。

师：那合数有几个因数呢？

生：3个及以上。

师：（在“合数”后板书“≥3”“>2”）有人说大于等于3，还有人说大于2。掌声送给他们，说得真好！（全班鼓掌）说到这里，马上就有个提醒，还有一个特殊的数——（学生回答：1）1怎么了？

生：1既不是质数也不是合数，它的因数只有1这一个。

师：（板书“1（1）”）自然数是按照什么分成了质数、合数和1呢？

生：因数的个数。

师：（指“质数”“合数”与“1”，再指“奇数”“偶数”）大家有没有发现，自然数有两种分类，一种是把自然数一分为三，还有一种是把自然数一分为二。“一分为三”是分成了什么？（学生回答：质数、合数和1。教师板书，如图3）“一分为二”呢？（学生回答：奇数和偶数。教师补充板书，如图4）这样分类的标准是什么？

生：按照因数的个数，可以把自然数分为质数、合数和1；按照是否是2的倍数，可以把自然数分成奇数和偶数。

师：（指“质因数”板贴）质因数和什么有关系？

生：质因数和因数有关系，质因数还和质数有关系。

师：质因数，从名字来看，它既要是质数又要是因数。比如12=3×4，3是12的质因数。3是质数，又是12的因数，所以3是12的质因数。4是不是12的质因数？

生：不是。4虽然是12的因数，但它是一个合数。质因数既要是一个因数，又要是质数。

师：（把“质因数”板贴移至左侧，并在“质因数”与“质数”“因数”之间连线）质因数和因数有关系，又和质数有关系。质因数和合数有没有关系？

生：合数可以分解成几个质因数的乘积。比如说12可以写成12=2×2×3，就是把12=3×4中的4分解成了2×2。分解质因数就是把一个合数分解成几个质因数相乘的积。

（教师在“质因数”与“合数”之间连线，最终的板书与板贴如图5所示。）

（三）认识“好的整理”

师：（指图5）看看黑板上整理的内容，再看看屏幕上张静远整理的内容，最后看看你在课前做的整理，对照一下，你觉得怎样整理更好？黑板上写了两个词“全面”“有序”，你说说整理时还要注意什么？

生：我觉得还可以整理得再简单一些，体现简洁美。

师：大家从他的发言中提取出一个词。

生：（齐）简洁。

（教师板书：简洁。）

生：还可以把有关系的内容整理到一起，列成一个表格。

师：是的，有的时候，可以画表格整理，会更有序。（指图3和图4）再看黑板上这两个图，叫作集合图，用集合图画出来，也很清楚有序，对吗？有时候，我们可以列个表格，画个图。（指图5）再看看黑板上画的这些，老师用线连起来了，为什么？

生：有关系，有关联。

（教师板书：关联。）

师：之前也有同学说到把有关系的整理到一起。如果我用绳子把这些概念卡片连接起来，然后我这么一拎，会发生什么？卡片会被一起拎走吧？也就是说，这些概念之间有紧密的联系。今天这节课，我们不仅整理了因数与倍数的知识，还学会了怎样整理。（指板书）好的整理，用4个词来概括就是——全面、有序、简洁、关联。今天下课之后，大家把因数、倍数的内容再整理一次，要体现出全面、有序、简洁、关联。

三、课堂练习

师：接下来我们看整理复习的第2题，同桌之间交流一下，你们整理出的容易出错的题目是什么？

（教师邀请学号为19的学生展示。学生出示图6，并读题。）

生：这是一道分解质因数——

师：（打断学生）等一下，如果是分解质因数，那这里应该是几个质数怎样？

生：相乘。

师：但是这里是质数——相加，你有什么解题想法？

生：46=3+43；46=5+41。

生：50=3+47。

师：我们先来看“46”。46=3+43，对不对？（学生回答：对）46=5+41，对不对？（学生回答：对）有没有发现两位同学思考中的“有序”？他们是从哪个数找起的？先找3，就找到了43；再找5，就找到了41。接着往下找，是哪两个数？（学生回答：7和39）39是质数吗？（学生回答：不是）7+39不符合，再往下找，有人说9——（学生回答：9不是质数）找到了9加几，不符合，接下来应该找哪两个数？

生：11+35。

生：35不是质数。

生：13+33。

生：33是合数。

生：17+29。

师：有序思考，坚持不懈，我们又找到了一组数。用这种方法，50等于多少加多少？

生：3+47；7+43；13+37。

师：（根据学生回答板书，如图7）通过这道题，我们体会到了要有序思考。

师：（指图7）观察一下，你整理的题目和黑板上的这道题有没有联系？

（教师邀请学号为40的学生展示。学生出示图8。）

师：注意看，他的题目和黑板上的题目有没有联系？他找的是一道判断题。给的答案是“错”，真的是错的吗？

生：3+5=8，3和5都是质数，但是和是合数。

师：请把掌声送给他。（全班鼓掌）他刚才是怎么判断这道题是错的？

生：举例子。

师：想说明它是错的，那就举个反例，举出一个反例就可以判断它是错的了。黑板上有没有例子呢？

生：46和50都是合数，（指图7）这里都是两个质数相加得到的。

师：（指图8）谁能把这道题目改一下，改成正确的呢？

生：两个质数相加的和可能是质数。

师：和是合数的例子有了，谁能找出一个和是质数的例子吗？

生：2+3=5。

师：看来两个质数相加的和可能是质数，也可能是合数。刚才是怎么改的？

生：把“一定”改成了“可能”。

师：还有不同的改法吗？

生：两个质数相加的和一定是合数。

师：这样改，这道题是对的还是错的？

生：错的，因为2+3=5，5是质数，所以两个质数相加的和可能是质数。

师：还可以改成什么？

生：两个合数相加的和一定是质数。

（全班鼓掌。）

师：改完之后不能只顾着鼓掌，还要判断对错。“两个合数相加的和一定是质数”是对的还是错的？

生：两个合数相加，4+4=8，得到的是一个合数，所以不对。

师：他是把什么改成了什么？

生：把“两个质数”改成了“两个合数”。

师：“相加”可以改吗？（学生回答：可以改成“相减”）还可以改成什么？（学生回答：相乘）那两个质数相乘的积一定是什么？

生：两个质数相乘的积一定是合数。

师：举个例子吧。

生：2×3=6，6就是合数。

师：举了一个例子，就能说明这句话是对的吗？

生：5×3=15，15也是合数。

生：5×7=35，35也是合数。

生：3×31=93，93也是合数。

师：刚才举了这么多例子，都在说明什么？

生：两个质数相乘的积是合数。

师：有没有想过，虽然你们举了这么多例子，但会不会有一个反例没有找到呢？

生：几乘几等于几，那几就是其中一个数的倍数。

（学生纷纷表示没听懂。）

师：给你一个提示，你可以换一种说法，让大家一听就明白了。

生：2×3=6，（教师板书：2×3=6）6是2的倍数，6也是3的倍数，所以6肯定是合数。

师：我们也可以换成字母。一个质数是a，另一个质数是b，它们的积是ab。ab的因数有1，ab，a和b。（教师板书：a×b=ab→1，ab，a，b）所以，ab这个数一定是合数，也就是说，哪句话是对的？

生：（齐）两个质数的积一定是合数。

师：我们回顾一下刚刚这道题。两个质数的和一定是质数，对还是错？（学生回答：错）我们举了什么例子？（学生回答：3+5=8）想要证明一句话是错的，一个反例就够了；但如果想要说明一句话是对的，一个例子、两个例子、三个例子……都不够，我们可以用字母表示来说明。刚才，我们从这道题（指图6）出发，找到了和它有联系的这道题（指图8），我们发现题目和题目之间是有关系的。接着，我们改题目，把“一定”改成了“可能”，把“质数”改成了“合数”，把“相加”改成了“相减”“相乘”，把“两个质数”改成了“两个合数”，变出了更多的题目。最后，老师也来改一下题目，把“一定是质数”改成“一定是偶数”，改之后的题目变成了什么？

生：两个质数的和一定是偶数。

生：我可以举出一个反例，2+3=5，所以这道题是错的。

师：我们发现有个数蛮“坏”的，你知道是几吗？（学生回答：2）我把题目再改一下。一个大于2的偶数可以写成两个质数的和。谁能把我刚才说的题目再说一遍？

生：（齐）一个大于2的偶数可以写成两个质数的和。

师：这道题对不对呢？感觉——对了，感觉——又不对了。没关系，这个题目留到课后，大家好好地研究一下。这节课就到这儿，下课！

【教学思考】

这是一节复习课，复习“因数与倍数”。我们知道，《因数与倍数》单元的概念特别多，而且比较抽象。在促进学生进一步认识、理解所学知识的复习过程中，“不能让知识僵化，而要让它生动活泼起来”。当然，复习课的功能不仅仅是这些，但一定要让学生在知识生动活泼起来的过程中，得到丰富全面、生动活泼的发展。

复习课通常有“整理”和“练习”两个环节，如何在这两个环节让“知识”和“人”都生动活泼起来？

一、整理，重在化零为“整”

常见的复习课，教师通常先让学生独立整理已经学过的内容，然后组织同桌或小组交流，再在全班展示并交流几位学生所做的整理，最后开展练习。这节《因数与倍数（复习）》与常见的复习课的不同在于，并未组织学生同桌或小组交流，仅随机安排了一位学生在全班展示交流。为什么这样安排？

从学生课前所做的“因数与倍数”整理复习来看，学生的整理大多都是条目式的——将在《因数与倍数》单元学习的内容一一列举出来，且几乎没有大的差异，即使有所差异，也只是有些写得齐全、详细些，有些写得不齐全、简略些。当学生的差异仅仅是在同一层次有所波动，课堂中的交流也就难以引发思维冲突，正如“白萝卜炒黄萝卜，还是萝卜”，于是，这节课教师没有组织学生同桌或小组交流，也没有邀请不同的学生和全班展示交流。教师在教学时，不应机械沿用熟悉的“教学套路”，而应当根据学生的学情、教学目标的定位，灵活安排和组织学习活动，让学生的学习真正发生。

整理什么，如何整理，是需要教师指导的。这节复习课，不是带领学生把所学的因数、倍数等概念“过”一遍，而要引导他们寻找概念之间的联系，对学科内容进行深层次的智力加工。教师对因数、倍数等原先看似零散的内容进行结构化的梳理，帮助学生形成结构化的认知，并逐渐走向深层思考与深层理解。

如何指导？这节课中，教师结合“因数与倍数”的整理，先呈现了学生张静远所做的整理，并引导学生评析。学生评析的过程，不仅是将自己的想法与展示者的想法进行对照与比较的过程，也是教师引导学生认识“好的整理”的过程。接着，教师带领学生整体回顾因数与倍数相关内容，沟通联系、建立结构。这个过程中，教师既是与学生平等的“整理者”，与学生交流、分享整理的经验；又是平等中的“首席”，通过示范“如何整理”，为学生提供了对照与比较的另一个“版本”。在这个过程中，教师的指导由“硬”向“软”转变，学生在自主参与的过程中学会学习。

复习课，要让学生学会整理，让学生认识到什么是“好的整理”，否则，学生的整理水平只会徘徊在原有水平。这节课，呈现了“好的整理”的4个方面——全面、有序、简洁、关联。这是基于师生的整理，在互动交流中总结、概括出来的。当零散的数学内容通过整理展现出其独有特征时，也就是被“理”成“整”的了。

“好的整理”，一定是学生在整理的过程中，慢慢地学会的。

二、练习，重在撬动思维

再说练习。

这节课中，教师在学生整理的题目中选择了一道看似不难的普通题目：把一个合数写成两个质数相加的形式。这道题既巩固了学生对50以内质数的识记，又让学生经历了有序思考的过程。接着，让学生把自己整理的题目与展示的题目进行比较，增强学生在学习活动中“关联想法”的意识。之后，呈现一道学生整理的、内容与之前的题目有所关联的判断题，通过“能把这道题目改一下吗？”“还有不同的改法吗？”“还可以改成什么？”一题多改，学生的思维牵一发而动全身，一子落而全盘活。改后的题目，如何判断，学生的方法是“举例子”，教师在学生举例的过程中，需要帮助学生体验并认识到“想要证明一句话是错的，一个反例就够了；但如果想要说明一句话是对的，一个例子、两个例子、三个例子……都不够”。在回顾题目如何“改”的过程中，逐步引出教师在课堂中未揭开面纱的“哥德巴赫猜想”问题。

综上所述，练习，可以从学生的一道题出发，通过师生共同改编题目，对质数、合数、奇数、偶数等进行再认识与巩固，综合整个单元中容易混淆的概念，促使学生体验、学习“对称”的思维方式。

复习课中的练习，不能仅是题目数量的堆砌，而要把“静态”的题目通过一题多改、一题多问、一题多比、一题多解、多题一解等方式变得“动”起来，这样才能让学生的思维活起来。复习课中的练习，不能仅简单地追求难度的叠加，而要以“一”联“多”，以“活化”促提升，思维的含量与质量步步“惊心”，拾级而上。

由此可见，这节课中无论是“整理”还是“练习”，教师的组织和安排，都是为了让学生的学习发生，让深度学习发生。学生的学习，我们可能观察到的是听、说、做等外显的学习行为，因此更需要关注他们内隐的思维活动。让学生在冲突、疑惑中启动思维，在对照、比较中运行思维，在回顾、梳理中提升思维。

课堂，要避免机械形式化，一切要从学生的学习出发，让知识和人都生动活泼起来。知识，因为人而生动活泼；人在生动活泼地学习、在知识探究过程中更加生动活泼。这样的过程，着眼于学生的自我发展。而这些，又不仅仅是复习课教学要做的。

（贲友林，特级教师，正高级教师，南京师范大学附属小学，邮编：210018）