概念教学：从起源与发展的角度

李建良 林永伟

摘 要：数学概念在数学学习过程中处于核心地位。数学概念的形成是一个复杂的过程，教师在教学设计与实施的过程中，应追本溯源，关注概念的起源，使学生能形成正确的表象；应循序渐进，逐渐深入地刻画概念的内涵，使学生能拾级而上，直达本质；应适当关注概念的外延，使学生能全面完善地认识概念。

关键词：《面积》；概念教学；概念起源；概念发展

* 本文系浙江省杭州市2021年教师教育科研课题“基于互联模型的小学校本研修的现状和推进研究”（课题编号：JSJY2021003）成果之一。

李邦河院士曾经说过：“数学根本上是玩概念的。”这其实体现了数学概念在数学学习中的核心地位。数学概念的形成是一个漫长的过程，教材中呈现的概念往往经过了长期的凝练，因此具有高度的抽象性。这一方面使得数学概念能够直接反映对象的本质，整体呈现出一种简洁美，但另一方面，也舍弃了一部分对概念的刻画过程，导致学生无法全面、深刻地理解概念。因此，在教学过程中，有必要回到概念的原点，抓住其形成的关键节点，带领学生充分经历和体验概念的形成过程。笔者从概念起源与发展的角度出发，对人教版小学数学三年级下册《面积》一课中的核心概念“面积”进行了教学尝试，以期让学生达成深刻理解。

一、利用生活语言描述概念起源

数学概念不是孤立存在的，在学生认识概念的过程中，相似或相关的概念之间必然会相互影响。这些影响有时会对新概念的形成产生积极作用，有时则会产生混淆，不利于学生理解概念本质。因此，在学生初识概念时，可以有意识地从概念起源的角度将其与相关的概念进行比较与区别，形成概念教学的首因效应。

虽然面积是二维概念，但它与一维的长度概念有着密切联系。小学阶段，各版本教材的编排通常也是先教学长度（包括周长），再教学面积，学生难免会混淆平面图形周长和面积的概念，但面积的教学又很难回避长度。因此，教师可以借助情境，带领学生回到面积概念的起点，结合实际生活经验，帮助学生形成正确的表象，初步体会面积的含义。本节课中，笔者以面积概念的起源——土地测量为素材，把抽象的概念融入生活化的素材中，让学生用生活语言描述他们对面积、长度以及面积与长度的关系的理解，具体教学过程如下：

师：同学们，很早很早以前，人们测量长度用的不是尺子，你知道用的是什么吗？

生：用拃，也可以张开手臂（一庹）或者用脚（一步）来测量。

师：对了，人们常常用脚步来丈量距离。比如说，从家里出发到树林摘果子要走200步，到小河边捕鱼要走150步。后来，人们想要获取更多的食物，你猜他们会怎么做？

生：可以种粮食。

师：是的。如果要在一块长200步、宽150步的地里种粮食，种植粮食的地方大小，与长和宽有关系吗？

生：没有关系，因为庄稼是种在里面的，不是种在长与宽上的。

生：我觉得有关系，虽然是种在里面，但这块地的大小是由长200步和宽150步决定的。

师：结合同学们的意见，长与宽围起来的土地大小，可以叫作它的面积。像这样，物体表面，比如操场、桌面等，或者封闭图形，比如长方形、三角形等，它们的面的大小，就叫作面积。

退回到概念的原点，以生活经验作为学习的起点，用最朴素的语言表达对长度和面积及其相互关系的直观认知，这是一种有别于以往教学中简单堆积实例的教法。虽然学生还不能用数学语言进行准确表达，但从“庄稼是种在里面的，不是种在长与宽上的”“这块地的大小是由长200步和宽150步决定的”等表述中，我们可以发现，学生其实能够模糊地知道面积的概念，并能理解边长和面积之间存在关系。当然，对于概念的形成而言，学生的表述只是表达了他们的直观感受，他们对概念的认识显然还停留在经验层面。因此，要想让学生更加深刻地理解概念，还需要对概念的本质做更深入的刻画。

二、开展多种活动刻画概念本质

对数学概念的理解不能停留在表面，想要真正理解和掌握某一数学概念，就要准确把握概念的各个要素，以及要素之间的联系。这就需要基于学生已有的认知和经验，设计不同层次、不同侧重点的学习任务，引导学生在一系列观察、比较、分析、概括等感知和思维活动中，深入挖掘概念的本质内涵，提炼、总结出所学概念的本质特征，这是概念学习的关键环节。

面积概念的形成，既要注重结果，也要关注过程。也就是说，我们最终要让学生能以恰当的方式表示给定图形的面积大小，同时也必须让他们了解得出这一结果的过程和方法，并体会其中蕴含着的面积“有限可加性”（所求图形面积是单位面积的累加）。本节课中，笔者设计了一系列活动，将面积的这一属性多次运用到图形的面积测量或计算中，引导学生在活动中经历概念的发生与发展过程，逐步剥离概念的非本质属性，深入挖掘概念本质。

（一）活动一：感受长度与面积的联系

教学中要充分利用概念之间的联系，将学生的已有经验化作概念学习的助力。教学“面积”前，学生已经具备了对长度“有限可加性”的认知，这对面积“有限可加性”的理解具有正迁移作用。笔者设计了“比较一条边长相等的两个长方形（正方形）的大小”的活动，学生在解决这一问题时，只需考虑另一条边的长度与面积的大小关系，从中感受面积与边长的联系。活动过程如下：

师：同学们，老师这里有两块地，①号地是长16步，宽16步的正方形；②号地是长32步，宽16步的长方形。这两块地谁大谁小？

生：把两块地叠在一起就可以比了。

生：因为它们宽是一样的，①号地长16步，②号地长32步，所以②号地更大。

（二）活动二：比较长度与面积的区别

在学生借助已有经验初步研究概念后，教师需设法帮助学生突破原有认知的束缚，让学生的注意力快速转向探求新概念的本质属性。笔者组织学生比较长、宽各异的两个长方形的面积，学生无法像之前一样直接对比，从而引发他们对边长与面积关系的思考，催生了寻找、运用新的测量工具或单位的需要。活动过程如下：

师：（出示：③号地长24步、宽16步，④号地边长20步）现在，比一比③号地和④号地的边，能不能直接看出谁大谁小？

生：不能，③号地的长比④号地的长要长，但宽比④号地的短，很难说谁大谁小。

生：可以用一个小正方形量一量。

师：如果用刚才的①号地来量，你发现了什么？

生：（出示图1）用①号地量③号地还剩一点，量④号地也还剩一点。但是剩下的也看不出谁大谁小。

（三）活动三：选择恰当的度量单位

学生对概念的本质有了初步的认识后，教师应有意识地制造认知冲突，激发学生进一步探究的意愿。在测量不同长方形的面积时，学生必然会想到用多种单位面积去测量，也就必然面临单位面积的选择问题。学生选用不同的单位面积，应产生于解决问题的实际需要。因此，笔者设计了测量长方形面积的活动，加深学生对“图形面积是单位面积的累加”这一本质的理解和对单位面积之间的关系的体会。活动过程如下：

师：用①号地来量也依然无法判断，但你有没有从中获得什么启示？能用什么办法来对比③号地和④号地的大小呢？

生：用再小一点的正方形，补在旁边空缺的地方就可以了。

（教师提供边长8步和边长4步的小正方形学具，学生开展小组合作探究后汇报。）

生：③号地我们用边长8步的正方形来量，一共用了6块。

生：④号地我们用边长8步的正方形量，用了4块，还有多余，再用边长4步的正方形来量，用了9块。

生：我们小组刚才量之前先比了比，发现4块小的（边长4步的正方形）和1块大的（边长8步的正方形）一样。所以④号地就等于6块大的加1块小的，比③号地多1块小的。

（教师根据学生描述，同步在黑板上拼贴板书，最终形成图2。）

生：我们是直接用边长4步的正方形去量④号地，发现刚好可以量完，用了25块。

生：③号地也可以全部用边长4步的正方形去量，一共要用24块，比④号地少1块。

教师只有结合具体教学内容，对概念形成机制进行深入解读，并准确把握学生的学习规律和认知心理，才能引导学生循序渐进、稳步扎实地形成数学概念。这一系列活动是在教材提供的素材和思路的基础上的进一步细化，体现了概念形成和发展的过程性和层次性。学生在活动中独立观察、交流思考、深入理解，自主发现了单位面积之间的倍数关系，也为后续学习国际标准面积单位之间的进率与转换铺垫。

三、借助实际问题拓展概念外延

概念的内涵比较抽象，学生认识了概念的内涵，并不意味着完全掌握了概念。小学生倾向于用直观、具体、形象的表象帮助理解和记忆，并在头脑中对这些表象进行加工，从而化繁为简、加深理解。也就是说，学生头脑中积累的正确表象越多，就越容易发现其中的规律。因此，要想让学生全面认识、深入理解概念，还需要适当拓展它的外延。教学中，除了举例等直接呈现的形式外，还可以让学生运用概念解决相关问题，逐步达成拓展概念外延的目的。

考虑到数学知识本身的系统性，本节课有必要引导学生进一步探究并形成对单位面积的认知体系。为此，笔者为学生提供了若干个长方形作为被测量对象，促使学生不断创造新的单位面积，并自主形成单位面积体系。具体教学过程如下：

师：（出示：⑤号地长16步、宽14步，⑥号地长15步、宽14步）这两块地还能用边长8步的正方形来完整地测量吗？边长4步的呢？

生：⑤号地不能用边长8步的正方形量，横着可以放两个，竖着放一个还有剩余；也不能用边长4步的正方形量，14除以4除不尽。

生：可以用边长2步的正方形量，一行放8个，有7行。

生：⑥号地不能用边长8步或4步的正方形量，2步的也不行，可以用更小的，比如边长1步的正方形量。

（课件演示测量⑤号地和⑥号地的过程，如图3。）

师：刚才同学们创造了边长分别为8步、4步、2步、1步的正方形来测量这些长方形。你喜欢用大的正方形还是小的正方形来量？

生：我喜欢用大的正方形，量起来快。

生：我喜欢用小的，小的可以量各种各样的长方形。

生：其实它们各有优点和缺点。大的量起来方便，但常常会有多余；小的可以量各种长方形，但是数个数有点麻烦。

师：你的评价非常公正。是的，为了测量不同的长方形，我们应该根据实际需要灵活地选择不同大小的正方形作为测量单位。

学生在解决实际问题的过程中，进一步创造新的单位面积，形成了较为完整的单位面积体系，扩大了面积和单位面积概念的外延。学生在评价不同单位面积的过程中，进一步深化了对单位面积的价值的理解，对面积和面积的测量有了较为全面的认识。学生在感受到“面积大小”可以用“正方形的个数”来描述时，自然实现了对面积本质的高度抽象和概括，建构了面积单位的意义，因此，笔者在教学时并没有指出“通常用边长为1个单位的正方形作为面积单位”，而是让学生“灵活地选择不同大小的正方形作为测量单位”。

概念教学中，要带领学生经历“直观描述概念—刻画概念本质—丰富概念外延”的过程。在这些过程中，教师应尽可能为学生创造更多独立思考、操作体验、交流互动、应用拓展的机会，为数学概念在学生心中扎根提供肥沃的土壤。

参考文献：

[1]萧恩颖.顺应认知规律 调整学习序列——基于“量感”形成的“面积”单元整体设计与教学实践思考学[J].教学月刊·小学版（数学），2021（3）.

[2]杨凤萍.概念在探究中深度建构——基于沪教版三上“面积”的教学实践与思考[J].小学数学教师，2021（11）.

（李建良，浙江省杭州市萧山区夹灶小学，邮编：311247；林永伟，副教授，杭州师范大学继续教育中心，邮编：311121）