让儿童悟得数学

摘 要：数学教学，要尽量让儿童能自己“悟”出来，引导和启发儿童多悟数学的知识本质、思想精髓、问题关键和学科价值。让儿童悟得数学，需要遵循儿童先行、悟创结合、整体建构三项原则，运用“体验在前，反思在后”“建构与解构兼备”两种模式。

关键词：儿童悟得数学；感悟；体悟；顿悟

*本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（课题编号：DHA200370）阶段性研究成果。

“悟”是形声字，“忄”（心）表意，“吾”表声。古人认为心是思维的器官，“悟”字代表着心的觉醒。“悟”在《现代汉语词典》（第 7 版）中的解释为“了解；领会；觉醒”。本文所讲的“悟”，特指由模糊而清晰、由迷惑而明白的求索状态，表现为想清楚、想明白、想通。多年来，我在数学教学中主张“让儿童悟得数学”，指让儿童以悟的方式获得新的数学感受与认识。学习贵在悟，数学教学中要尽量让儿童自己多悟，但“多悟”并不是放任儿童自悟。于是，“为何让儿童多悟”“让儿童多悟什么”“如何启发儿童多悟”自然成了必须厘清的三个关键问题。

一、为何让儿童多悟

“悟”是一种意识，是一段思维过程，更代表着一种学习精神。教育者的任务不只是给儿童赋能，还应是激发儿童自主发挥出潜能。让儿童悟得数学，追求更多地让儿童能自己“悟”出来。让儿童多悟，是从以下三个方面的因素考虑得出的结果。

（一）现实所迫

数学是学生感觉到较难、问题较多的一门学科。一方面，学习数学需要学习者有一定的抽象思维、逻辑思维能力作为支撑，而小学生的思维正处于形象思维向抽象思维发展的过渡期，往往不能理解颇为抽象的逻辑推理，这就需要有较多从具体到抽象，从感知、运用到推理、明理的“悟”的过程。另一方面，一直存在两个可能未引起大家足够重视并需要努力去解决的问题，一是学生对数学知识的认同存在障碍；二是学生对数学知识的贯通存在困难。这两个问题的解决，都需要教师通过适时适量的引导启发，让学生经由内心的质疑、思考、理解、接受，直至领悟。但实际教学中往往是“少悟多教”，这就会导致学生“得而不悟”“悟而不得”“浅悟浅得”等学习现象，并间接导致学生所获数学知识往往是缺少根基、游离于自己的认知结构之外的，学到的多是浮于表面、支离破碎的数学，甚至不是真正的数学。知识的学习，只学不悟，难得真谛；只练不悟，难有进步；而悟之不多，则可能悟而不得、悟而不深。

（二）学理所致

让学生“多悟”遵循了教学的基本准则。叶圣陶认为，“自己摸索得来比向别人学更重要”；苏格拉底曾说过，“唯有发自内心的知识，才能够变成人的智慧”；波利亚认为：学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这样发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系；伽利略则更是提醒教师“你不能去教别人，只能帮助他自悟而已”。这几位先贤都强调让学生“自悟”，而自悟是常常会走弯路，需要多摸索、多思考、多领会的。

让学生“多悟”回应了心理学、教育学的研究成果。心理学家韦特墨基于学校实践研究学生的顿悟学习，强调通过整体进行思维；建构主义理论认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者通过意义建构的方式而获得；情境教育理论认为，“人对事物的认识是整体性的、情境化的，是自我建构的，因而也是内化的”；生本教育理论强调借助人的悟感，在活动中发展悟感，从而使人的认识发生迁移和顿悟，更强有力地认识事物的本体。无论是“顿悟”“悟感”，还是“建构”“内化”，都不是一蹴而就、轻松可得的，都需要学生经历较长的自主摸索和思考过程，才能悟有所得，或突然领悟。

（三）时代所需

《义务教育数学课程标准（2022版）》明确了核心素养的导向性，并指出：“核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现。小学阶段侧重对经验的感悟，初中阶段侧重对概念的理解”。知识只有在长期悟、边学边悟的“多悟”过程中，才能真正被纳入认知结构；悟有所得，悟而能用，久而久之，知识才能转化为能力、品格，体现为操作、行为，才能成为素养。史宁中教授说：“学生数学学科核心素养的形成和发展，是在教师的启发和引导下，学生通过自己的独立思考或与他人交流，最终自己‘悟出来的……”这个“形成和发展”的过程，自然是需要多“悟”的。

二、让儿童多悟什么

人的感受及认识与经历有关。教育不在于教师讲了多少，而在于儿童自己悟出多少。“儿童悟得数学”的根本任务，是在“悟”中实现数学认知的跃升和突围。让儿童“多悟”但不是盲目地悟，可以从以下几个方面着手。

（一）悟数学知识的本质和联系

领会数学知识本质的过程是一个由表及里的过程，把握数学知识联系的过程是一个由此及彼的过程。在由表及里、由此及彼的过程中，学生需要往深处想，往远处想，这是“多悟”的过程，也是数学认识跃升的过程。例如，长方形的面积计算方法“长×宽”，表面上看只是乘法计算，其实质却是测量长方形里面有多少个相同的面积单位的过程。如何让学生相信和贯通这样的认识？这要有一个从“数面积单位的个数”到“算面积单位的个数”，从“用面积单位直接测量长方形的面积”到“用直尺间接测量并计算长方形的面积”的逐步领悟过程。

（二）悟数学思想的精髓和妙用

在“有形”的数学知识中，蕴含着“无形”的数学思想。在表层的解题步骤或“套路”背后是数学方法与技巧，而方法技巧的获得、运用则需依靠数学思想来引导。要让学生触摸并感受到数学思想的精髓和妙用是不易的，需要引导他们在活动中慢慢感悟。例如，转化思想的精髓是变通，极限思想的妙用是领悟无限过程（无限靠近）的结果为真。在探索圆面积计算公式时，学生在教师的点拨下，亲历了把圆剪拼成近似长方形的操作过程，但想要学生领悟“近似的长方形的面积在无限分割的情况下就等于圆的面积”这里面的极限思想较难，因此，教师可以通过让学生联想、类比“循环小数0.999…=0.333…×3=1÷3×3=1”来帮助理解。

（三）悟数学问题的产生和解决

一道生活问题里面包含哪些数学知识？这道生活问题可以归结为哪种类型的数学问题（模型）？解决此类数学问题的关键是什么？我在解决问题的过程中，是在哪个地方出现偏差导致解题失败的？……这些疑问是学生对自己学习过程的监控与调整，直接关乎其元认知能力的培养和提升。解决实际问题时，学生需要悟得数学问题是如何产生以及怎样得到解决的。例如，苏教版小学数学四年级上册“平均数的认识”，教材提供了男、女生套圈成绩统计图，要求学生思考“男生套得准一些还是女生套得准一些”。教师不宜急于介绍比较男、女生套中个数所用的平均数概念，而要先让学生自主感悟到“比较男、女生套中的总个数”“比较男、女生的最好个人成绩”等方法的不足。关于求平均数的计算方法，教师也不必多讲，而平均数的意义应着力多让学生感悟。

（四）悟数学学科的价值和魅力

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。郑毓信教授认为，我们应从单纯强调“帮助学生学会数学地思维”走向“通过数学学会思维”。数学学习从来都不只是知识的学习。我们倡导学生领悟数学的知识本质、思想精髓和问题关键的同时，还要有意识地让学生感悟如何思维的经验，体悟数学的文化价值，养成良好的思维习惯。学生在具体的数学活动中经由合乎逻辑的推理、审辩式的理性思考和简洁精准的表达等思维历练，以及言之有理、敢于质疑、宽容失败的文化熏陶，必然会体悟到数学学科的价值和魅力。

三、如何启发儿童多悟

儿童的悟性是潜在的，也是有限的。高效的、有价值的“儿童悟得数学”活动，还要依靠教师的教学智慧。那么，如何启发儿童多悟？教学中需要遵循“三项原则”，运用“两种模式”。

（一）三项原则

1.儿童先行，引发感悟

儿童有所感受和实践，方能有所悟、有所得。儿童先行表现为儿童的学习先于教师的传授，儿童想法的表达先于成人想法的表达。数学教学中，探索新的数学知识，解决新的数学问题，不妨让学生先尝试着说一说，做一做。教师要精心创设引发学生感悟的情境，提供切近学情、启发思考的学习材料和恰当问题，让学生先尝试、先思考，让他们多一些自主感悟。这有助于悟出学习的必要性，悟出知识的来龙去脉，悟出问题的障碍在哪里，悟出知识的难点在何处。所谓“不愤不启，不悱不发”，教师循着学生的想法和思维展开教学，在学生冥思苦想仍不得其解时进行启发，在学生想说却说不出来时提供帮助，才能以“少教”在关键处、学生需要处起到指点迷津之效，激活学生的思维，开启学生的悟性。

2.悟创结合，催发醒悟

儿童积极主动地进行同化或顺应等认知心理活动，领会新知与已有认知结构的关联，这是一种悟的表现；儿童创造性地建立或调整自己的认知结构和观念，让知识具有个人意义和新的阐释，进而以新的眼光和思维看待和解决问题，这是一种创的表现。数学教学中，学生悟得新知识的丰富内涵，创造性地运用经验和智慧，往往需要同时伴有或交叉进行悟与创的心理活动。在学习新知识或解决新问题时，学生通常有一定的知识储备和经验积累，但不能自主突破已有的知识框架或观念局限，给“悟”“创”带来困扰和障碍。为此，教师以“少教”为学生提供联系旧知、探索新知，以及分享交流、回顾反思的机会；同时，在学生观察、思考、表达过程中的困惑处、卡壳处和瓶颈处，教师适时地做一定的视角拓展、路径提示，努力实现数学观念的更新与提升，从而催发学生“醒悟”，最终实现学生“心灵的转向”。

3.整体建构，激发顿悟

格式塔心理学认为，整体大于部分之和。顿悟学习的核心是“要从整体上把握事物的本质，而不是无关的细节”。可见，整体建构符合人们认识事物的一般规律，有助于学生通过整体进行思维，获得自我顿悟。为此，我们要深度发掘教材的知识内核、整体结构和丰富内涵，创设有助于学生整体思考、结构化学习的素材和情境，使学生形成对知识的深刻理解，建构起有生命力、可迁移的知识，进而悟得数学课程的知识体系和学科思想。尤其要在学生探索思考的基础上，立足整体的理解和分析，抓住精要讲解，瞄准关键点、薄弱点、连接点和突破点进行引导启发，帮助学生跨越思维障碍，实现知识贯通，从而为“顿悟”做好准备、创造条件。学生在多次顿悟之后，积“小悟”成“大悟”，拾级而上，其知识理解水平、思维品质就会实现跃升。

（二）两种模式

模式1：体验在前，反思在后。

真正的感悟来源于人们的亲身经历与感受。只有体验足，才能悟得透。为了将抽象的知识化为记忆，儿童需要多参与一些体验活动，并在活动中进行反思，为 “多悟”创造条件。如看一看、摸一摸、摆一摆、比一比、量一量、画一画、想一想，说一说、写一写等。为此，教师要精心设计，通过“少教”“精教”达到更好的活动效果，如优选最贴近儿童原初想法、最值得体验的活动内容，并借助反思和评价来提高学生对知识的认同程度和贯通程度。

模式2：建构与解构兼备。

“悟”，常需领会知识的联系和贯通，进行整体建构；“悟”，往往需要概念、观念的突破或跃升，需对已有认知结构作调整、解构，实现重组和再建构。经历“建构—解构—再建构”的过程，学生的内心会因此而澄明，建构后的知识也更易于迁移和转化，并能用于陌生的情境。

例如，苏教版小学数学五年级上册第48页例题，先教学小数加法，再教学小数减法。部分学生列竖式计算“4.75+3.4”时，会下意识地先把小数的末位对齐，但一旦他们想到或教师提醒他们“数可代表钱数”时，便会顿悟到如此列式不正确，因为不同货币单位的钱数不能直接相加。由此，列加法竖式时先把小数点对齐的正确想法自然地可以迁移到减法计算“4.75-3.4”中去。离开具体情境的依托，部分学生尝试做小数加减计算时，仍然会犯这样的错误。这时，需要引导他们回到小数的组成，感悟并领会算理“相同计数单位的个数相加减”。概而言之，从整数加减法计算“跳”到小数加减法计算，这样的认知跃升既有计算形式（算法）的解构，也有计算本质（算理）的建构。学生需要充分地经历解构和建构的过程，才能够获得深刻的领悟和理解，而不是机械地记忆算法，也不是盲目地提高计算速度。

参考文献：

[1]朱小平，魏光明.儿童悟得：探索与联结数学世界的通途[J].江苏教育研究（实践版），2015（12）.

（朱小平，特级教师，江苏省扬州市梅岭小学，邮编：225009）