历史发生原理对小学数学教学的几点启示

贾春波

【摘 要】历史发生原理提出个体知识的发展遵循人类知识发生的过程。学生个体对数学知识的理解过程遵循数学知识的发生、发展过程。历史发生原理对小学數学教学具有指导意义，要根据历史发生的主要步骤设计教学的“序”；要根据历史发生的主要问题设计教学的“关键问题”；要根据历史发生的主要困难干预学习中的“障碍”。

【关键词】历史发生原理 小学数学教学 启示 用字母表示数

一、历史发生原理的基本思想

历史发生原理（Historical Principle），即“个体知识的发展遵循人类知识发生的过程”。德国生物学家海克尔（E.Hackel）于1866年提出生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”。19世纪，人们将此移植于教育，历史发生原理由此而形成。就数学教育而言，历史发生原理是指个体对数学知识的理解过程遵循数学知识的发生、发展过程。它将个体的心理过程与人类的认识过程对应起来，为理解现在学生的数学认知和数学学习路径提供了有益的思考。

历史发生原理一经提出，就得到了很多数学家和数学教育家的支持。他们相信，有效的学习，要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤。如庞加莱指出：教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳跃任何阶段。①弗赖登塔尔根据历史发生原理提出了“年轻的学习者重蹈人类的学习过程，尽管方式改变了” 。②这些观点说明，历史发生原理对教学有着重要的指导作用，对小学数学教学具有一定的启发意义。

二、对小学数学教学的几点启示

（一）要根据历史发生的主要步骤设计教学的“序”

许多数学知识的产生与发展常常经历比较长的历史过程，在这个历史过程中，会有一些主要“步骤”，这些主要步骤是这一数学知识整个发展过程的“标志性”阶段，这些标志性的阶段常常是人类认识这一数学知识的必经过程。因此，借鉴人类历史上认识这一数学知识的主要步骤，可以指导教学，设计教学的顺序，比如，德摩根强调代数教学中的历史次序，认为教师在教学代数时，不应该一下子把新符号都解释给学生，而应让学生按照历史的顺序去学习符号。又如据蒲淑萍、汪晓勤的研究证明，学生对“用字母表示数的认知发展过程”和“字母表示数的意义演进过程”之间存在一定的相似性。①由此可见，须先了解字母表示数的历史发生、发展过程。

1.字母表示数的历史演进主要步骤

追溯历史，不难发现，“用字母表示数”作为代数学最基本的内容，主要经历了古老的文字表达算术、丢番图用字母表示未知数，直至韦达与笛卡尔系统的符号表达的3个质变、关键时期。19世纪德国数学史家内塞尔曼依据时间顺序并结合代数的表达方法，在其《希腊代数》中首次将代数的数学历史时间划分为三个主要阶段：修辞代数→缩略代数→符号代数。②对应符号代数的历史发展过程，其用来表示数的“字母”在“具体意义”上的历史演进过程为：记数（表示特定的数）→未知（特定的未知量）→一类（任意的已知量或未知量）。其发展的路径是缓慢、曲折、总体呈螺旋上升的。字母表示数的功能在人类探索现实生活的数量关系中，经由从具体到抽象、特殊到一般的反复认知与发展的过程才得以逐步推进和完善。

2.根据演进主要步骤确定教学“序”

字母表示数的具体意义演进过程经历了3000余年的漫长历程，因此要让学生经历真实的历史进程。正如弗赖登塔尔指出“有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤”。③即让学生经历字母表示数意义的三个主要历史步骤：记数→未知→一类。那么，现实情况学生对字母表示数意义的理解会处在哪一步呢？

笔者对某校的五年级学生进行前测，前测试卷（部分）是根据人民教育出版社2013年出版的教材（以下简称“人教版2013年教材”）五年级上册第53页例1改编而成（如图1），测查的目标是依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的“在具体情境中能用字母表示数”制定。测查学生在具体情境中对数学信息（问题）的理解能力，对具体情境的数量关系的理解与抽象能力，对具体数（包括数字算式）的抽象与概括能力及表征方式。

从统计表看，学生的表征差异较大，共有7个水平层次，且低水平层次人数较多。其中表征中没用字母的学生占70.17%，属于符号代数的初始阶段——“修辞代数”；29.83%学生进入了用字母表示“缩略代数”的阶段。在进一步访谈中可看出，学生对用字母表示的意义的理解上，大多数学生停留在较低层次的“记数符号”，少部分达到了用字母表示“未知量”的水平（如图2）。在表征中虽用到字母符号，但他是用特定的符号“×”表示小红的年龄，用“××”表示爸爸的年龄，与历史中丢番图的表征方式具有较强的相似性。

测查中学生所表现的情况，跟教材编排是相关的。翻看人教版2013年教材，第一学段编排一些“图形符号表示特定量”内容，意在为学生积累符号表示未知数的基本经验，为理解字母表示特定未知数奠定基础；第二学段编排的重点是，学习用字母式 1表示数量关系（一类量）。从宏观看，教材对“字母表示数”的内容呈现，大致遵从了该内容的历史形成过程。但从微观看（测查数据），对字母意义演进的水平层次设计不够，如从前期“图形渗透特定未知量”到“运用字母式表示数量关系”的跨度过大，期间跨越了对字母表示数意义的理解，包括字母表示“未知量”（特定未知量和未知变量两种意义），字母表示已知变量等。这些环节的缺失即对其意义缺乏思辨和提升，导致大部分学生在运用字母式表示数量关系时符号意识不强，多数处在符号历史的初级阶段“修辞代数”，对字母表示数的意义的理解概括程度低，基本处在“记数阶段”。

根据用字母表示数的历史发展顺序及学生的实际情况，重构字母表示数教学的“序”。从易到难，设计三个环节（如图3）。此“序”与人教版2013年教材比较，增加环节一用字母表示“未知量”，它是字母表示数的意义演进过程中的第二个关键步骤，是本课的理解基础。其目的是既培养学生的符号意识，实现表征符号化（用字母表示未知量），又提升“未知量”的意义，促使学生从“特定未知量”走向“未知变量”，为用字母式表示数量关系奠定理解的基础；环节二是用字母和字母式表示“一类量”（变量），它是字母表示数意义演进过程中的第三个关键步骤，是本课的核心重点，目标是认识字母和字母式可一般化表示变量，先认识字母表示变量（小红年龄），提供推理出字母式的逻辑基点，让学生可以通过类比推理，得到表示爸爸年龄的字母式；环节三为理解字母式表示关系，是本课的难点，其目标是初步感悟字母式不仅能表示数（对象），还能表示关系（过程），调整认识的步骤，先认识字母式表示数，再在比较中认识字母表示关系。

（二）要根据历史发生的主要问题设计教学的“关键问题”

历史发生原理指出，学生会重蹈知识发生过程中的关键步骤。閱读历史可知，一个数学知识从某个关键步骤发展到下个关键步骤并非是一蹴而就的，其发展过程是漫长的，问题也是众多的。那在学习该数学知识的课堂中，让学生经历怎样的问题情境才比较好呢？我们可以根据该数学知识在历史关键步骤的过渡、转变中发生的主要问题，重构符合当下学生心理特征的关键问题情境。

对用字母表示数的意义教学，需还原历史，站在历史的长河中去研究用字母表示数为何会产生、解决了什么问题、每个步骤间的关键变化是什么等深层次的问题。借鉴这些历史发展中的主要问题，设计成课堂中的关键问题，让学生像历史中的数学家一样进行思考。

查阅数学史，在公元前3000年前后，字母主要表示“记数”（特定数），如希腊字母“H”表示100，这解决了人类最初的记数问题，对数有了清晰的表达，这与我们熟悉的用0～9的数字符号表示数，在本质上没有多大的区别。到公元前3世纪，主要代表人物丢番图开始使用字母表示代数学，如用希腊字“数”的第一个音节的缩写符号来表示特定的未知量。这是字母表示数历史上的第一次关键转变，它使得字母表示数，除了具备“确定”意义，还增加了“不确定”的意义，即未知意义。尽管这只是一种特定的缩略表示，但对代数学来说，无疑是一大进步。它使得代数学的表达（主指方程）变得简洁，但此时的字母仍没有表示“一类量”。直至16世纪，法国数学家韦达在前人积累下来的经验基础上，有意识地、系统地使用字母表示数。在他的《美妙的代数中》，首次用元音（母音）A、E、I等表示未知数，辅音（字音）B、C、D等表示已知数。1 这被公认为是对传统代数的突破，是代数学发展历史的一座重要里程碑。这一阶段的字母表示数，显然超越了各类数量的具体特定，开始从一般意义上去表示，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问。从中发现，这一转变使得字母表示数的意义，从简单的“缩略代替”转变为具有抽象、概括的“一般性”。

1.根据主要问题创设情境，自然生发“关键问题”

从“记数”到“未知量”的关键问题是表示对象即“数”发生了变化，从具体、确定的数到未知、不确定（待定）的数，使得字母表示数的意义，也从“已知确定”拓展到“未知不确定（待定）”。据于此，笔者创设从已知确定的数到未知不确定的数变化的一个数学问题情境（如图4）。任务一中，前两幅图中的数量是确定的，分别是3个和5个1元硬币，而第三幅图的存钱罐要表示的数量，虽然是未知、不确定的，但其情境对学生来说是熟悉的，学生可以借助一些生活经验，完成这个具有挑战性的任务。

在另一次基础较差班级对比测查中发现，用改编人教版2013年教材五上例1的问题情境（如图1），学生在用“式子”表征爸爸年龄时用到字母的仅为2.7%，但同是这些学生在解决（如图4）的问题情境时，有36.64%的人在表征中自发用到字母。全班学生对字母表示数意义的理解，呈现三个典型阶段（如图5），即记数阶段，如（1）式，采用具体数表征；未知量阶段，如（2）式，采用其他符号或文字进行缩略表征；第三阶段，一类量（初步）阶段，如（3）式，用字母表征，认为字母可以表示任何数。这与字母表示数意义的历史演进过程具有相似性，可成为重要的学习素材。笔者对此进行了教学实践。

（1）表征对象从确定到不确定。

呈现如图4的问题情境，学生尝试表达，然后依次呈现出一些典型表征方式。

提出关键问题1：刚才，老师看了同学们的作业后，发现前两幅图大家表示一致：3和5，而第三幅图存钱罐的表示却不同，这是为什么？

生：因为前面，我们能看到圈内有3个硬币和5个硬币，而存钱罐里硬币我们不知道。

生：前面的硬币个数确定的，是3和5；存钱罐里的硬币是未知、不确定的。

师：看来同学们都认为，前两幅图的硬币个数是确定的，可用数表示；而存钱罐的硬币个数，无法确定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。

（2）聚焦未知表征的对比。

由低到高整体呈现三种典型表征（如图6）。

提出关键问题2：这三种方法，你欣赏哪一种，为什么？

生：我喜欢第二种，“8”只表示了一种，用文字写的意思很明白。

生：我选第三种，“8”是表示一种，存钱罐中的硬币不只是8，还有很多可能，用“文字”写较麻烦，字母较为简单。

生：我也选第三种，“8”是确定的，而存钱罐里的钱是未知的，不确定的，字母可以表示多种情况，又简洁。

从上述的教学实践看，重构的表征未知量的问题情境，既符合当下学生的实际，又能凸显字母表示未知量的内在需求。教师引导学生对不同表征进行对比，就自然生发出对两个关键问题的思辨，产生交流的欲望。在交流中，初步感悟字母表示不确定数的意义及优越性。可见“字母表示未知量”的情境是能让学生产生共鸣的“触发点”。

2.根据主要问题提供对比素材，自然触发“思辨问题”

从字母表示数意义的“未知量”阶段过渡到“一类量”阶段，其主要的问题是表示“对象”的意义发生了“质变”，即从特定量（特殊）到变量（一般）。因此，要据此创设出类似的问题情境。数只能表示一个特定的情况，字母不仅能表示一种特定的情况，还能表示一个集合中任意一个值的量。这是两者的本质区别，也是字母表示数的优势所在，即用一般化表示一类量。它是从算术思维过渡到代数思维“质”的飞跃的重要标志。在前测中发现，虽然同样都是用字母表示存钱罐的硬币数，但对字母表示数意义的理解却处在不同的水平层次（如图7）。图7中的（1），虽用字母a表示未知量，但把字母a想成某一个数。图7（2）中的字母a，则可以表示任何数，具有广泛性。两者对于“变量”意义的理解还不够到位，因此需要进一步对比与思辨。

实践中，会在环节一和环节二各契入两种典型表征“数和字母”的比较，对其表示的“意义”进行重点对比，从而自然触发“思辨问题”（如圖8）。

师：刚才同学们认为，存钱罐里的1元硬币数是未知的、多种情况的，所以用字母来表示，c可以是0个，也可以是1个、2个……最多是200个（指这个存钱罐最多放的1元硬币数）。提出思辨问题1：分别用1与c表示存钱罐里的硬币有什么不同。

生：1是表示确定的，c表示未知的、不确定的。

生2：1是确定，只表示一种情况，c是不确定，可以表示任何数。

生3：1只能表示一种情况，c能表示存钱罐里所有可能硬币数中的任意一种情况，如0～200中的任意一个数。

在实践中，学生对字母“c”表示未知量意义的理解与前测相同，也处在不同的水平层次，生1是把字母当成了“未知”的替代物，生2则把字母提升到了一般数的层次，生3对“变量”有了初步的理解。经过对比、思辨、交流等数学活动，促使学生对字母表示数的意义的认识从低水平层次向高水平层次的转变，较为深刻地理解字母表示变量的意义，也进一步体会到字母表示数的优越性。也为环节二中用字母式表示具体情境中的数量关系（变量）及辩论“思辨问题2”，即“4+32”与“a+32”有什么不同，铺垫理解的基础。整个过程，让学生沿着数学家提出概念所走过的路程，经历“一次次地引发概念冲突，一次次地修正概念，一次次地完善概念”的探究过程。

（三）要根据历史发生的主要困难干预学习中的“障碍”

在数学知识的发生、发展过程中，数学家们常常会走一些弯路，碰到一些认知上的困难或障碍。历史发生原理指出，学生作为一个群体会重蹈历史上数学家们曾经遭遇的这些困难，成为他们认知中的学习障碍。因此，教师要了解数学家曾经走过的弯路，碰到的那些认知障碍，可提前在课堂教学中采取一些干预策略。

数学家对一类量的认识以及用含有字母的式子表示一个结果亦是经历漫长的历史过程。诚如M·克莱因对美国的“新数学运动”的批评：从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡尔以前，没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数1。用字母表示一类量，并非仅仅是“用字母代替数”，而是形式背后的思维转变，即从算术思维向代数思维过渡。要顺利完成过渡，其思维必须经历从数字到符号，从特殊到一般，从程序到结构的飞跃，每一步都是困难重重。

在这个过渡中，代数数学概念的“二重性”是人们碰到的最主要的一个障碍。所谓数学概念的二重性，是Sfard在皮亚杰反省抽象理论的基础上，根据数学的特殊性提出的。Sfard（1991）认为，抽象数学符号 （如：未知数x）必须基于两种不同的方法来思考，一为结构性（视为一个对象），一为操作性（视为一个过程）2。在代数中，如字母式a+32，既表示a与32相加这一个过程操作，又表现为对象、结构，即a+32的结果就是a+32。

代数概念的二重性，之所以难理解，不仅仅是因为它本身具有的抽象性，还在于对它的建构要抵制已有知识经验的强烈负迁移。因为“式”如3+2算术中，其目的是为了求出算式的结果，是具有操作性的、表示过程的，学生潜意识中要把3+2计算为5；而在代数运算中是结构性的，是形式变换，关注结构，注重关系，此时的“式”除了体现过程外，更多是关系结构的形式化。也就说，学生对“式”的已有经验在重构、扩充“字母式”表示数意义的过程中将变为负迁移。

在教学实践中，相对应的干预策略：从易到难；铺垫基础；迁移比较。

从易到难：合理安排整节课的“序”（如图2），把认识字母式概念的二重性放在最后。先经历从数字到字母符号，字母表征的理解与使用是重要的转折点；再从特殊到一般，字母表征只是进入代数思维的第一步，其背后的支撑是一般化的想法；最后是从程序到结构的思路，即通过比较认识到字母式概念的二重性（前文已有，不再累述）。

铺垫基础：理解“字母式”既能表示过程，又能表示“对象”的基础是什么？Booth提出：“如果学生不能理解两个集合（假定分别含有5个和8个）物件的总数可以写成5+8，那么要他们理解a+b表示了两个集合（分别含有a个和b个）物件的总数就更不可能了。”1显然要改造学生已有的经验，使他们认识到“算式”如5+8，也可表示“对象”。改造过程要结合“=”意义重构一起进行，“=”在算术中，代表运算得到结果，是具有方向性、程序性的。而在代数中，“=”代表一种等价关系，因此“=”左右两边需有同样的大小，没有方向性，具有结构性。因此教学要从重构“=”的意义开始。

师：在这些算式中“=”表示什么意思？

生：1+32=33……

生：小红年龄加32等于爸爸的年龄。

师：左边的1+32与右边爸爸的年龄33是相等的。那“1+32”算式可表示爸爸的岁数？

生：可以表示，因为左右相等。

师：那你喜欢用1+32表示爸爸的年龄呢，还是喜欢用33来表示呢？

生：我喜欢33，因为它很清晰。

生：1+32，能看出爸爸的年龄，还知道比小红大32岁。

生：我也选1+32，从“+32”可看出与爸爸年龄的关系。

……

迁移比较：代数思维是一种假设性的思维，它是建立在符号基础上。当学生认为小红的年龄是变化情况，假设用a表示时，就能从具体算式中自然地“迁移、概括”或利用爸爸与小红之间不变的年龄关系“推理”出爸爸的年龄为a+32，这就自然地建构了字母式能表示对象的意义。再用图8中的4+32与a+32同样表示爸爸的年龄的对比中说不同之处，进一步强化a+32表示对象的意义。要想让学生明白a+32的过程性，就必须要对这个“式”本身进行思辨，这样的经验对学生来说是比较缺乏的，因此在教学中，增加了另一个字母式即a+28。让它产生于a的对比，从而理解a+28这个字母式包含的关系。

课件呈现：小红的年龄a，贾老师的年龄a+28。

师：看呈现的数学信息，你知道了什么？

生：我知道了，贾老师比小红大28岁。

师（追问）：你是怎么知道的？

生：贾老师的年龄是a+28，是用小红年龄a加28得到的。

师：谁听明白了？

生：可以从a+28与a比，知道贾老师是a加28，所以大28岁。

师：哦，原来a+28比a大28，反过来可以怎么说？

生：a比a+28小28。

师：这么说，a+28不仅可表示贾老师的年龄，还可表示贾老师与小红年龄间的大小关系。那刚才的a+32又表示什么呢？

生：a+32表示了爸爸的年龄。

生：a+32不仅表示了爸爸的年龄，还可以看出爸爸比小红大32岁这个关系。

课件呈现：a+32不仅可以表示爸爸的年龄，还可以表示爸爸与小红的年龄关系。

师：根据刚才的经验，看一看“（a+32）+30”会是谁的年龄？

生：我觉得是爷爷的岁数，因为a+32是爸爸的年龄，他比爸爸还要大30岁。

生：姥姥的岁数，因为（a+32）+30比a+32大30。

生：爸爸的长辈都有可能。

生：只要比爸爸大30岁的人都有可能。

师：（a+32）+30表示什么意思？

生：（a+32）+30表示比爸爸大30岁那些人的岁数，又可看出比爸爸大30岁。

在类比推理或从具体数字算式的概括中，初步认知字母式表示对象的含义。再在字母式与字母的比較中，认识字母式所蕴含的关系，在解释、说理中领悟字母式的过程性。在实践中可见，在说明字母式“（a+32）+30”表示谁的年龄时，对字母式表示的对象进行了又一次更深层次的抽象，在解释过程中，又一次完成对象到过程的转变。整个学习过程，使学生初步完成对字母式既表示“对象”，又表示“过程”的建构。

以上从实践中而得的启示，概而言之是以历史发生原理为基础，通过研读符号代数的数学史，理解“符号代数”及“字母表示数意义”的关键步骤，结合学生个体认知特征，在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题，使之贴合学生学习的思考路径，然后从易到难给出上述重构的问题系列，展开课堂教学，将数学冰冷的美丽转变成火热的思考，有效解决学生学习过程中存在的问题与障碍。

（浙江省新昌县城东小学 312500）