渗透数学思想，提升思维能力

林杉

【摘要】本文从渗透分类讨论思想、数形结合思想、化归思想和方程思想四个方面讨论在教学中渗透数学思想的方法，以提升教学的有效性.

【关键词】数学思想；初中数学；课堂教学

数学知识中蕴含着丰富的数学思想，领会数学思想是提升思维的基础.在课堂教学中教师要着重在知识讲授中挖掘数学思想，使学生的思维真正参与学习活动，在观察和分析问题中体会数学方法，感悟问题背后隐含的思想内涵，从而真正发展思维能力，提升核心素养，促进学生的终身发展.

1 立足基础知识，渗透分类讨论思想

分类讨论思想在解决数学问题中有着广泛的应用，是指对一个问题的多种情况进行分别讨论的思想［1］.在教学中渗透分类讨论的思想，使学生养成分类意识和习惯，对于提升学生对问题地正确认识就显得尤为重要.

案例1 有理数

师 假设a为有理数，请问-a一定为负数吗？

生 -a一定为负数.

师 大家都同意这个观点吗？我们不妨想一想有理数的定义，哪些数是有理数？

生 有理数有三种情况，可能是正数、负数或者为0，所以我们要进行分类讨论.若有理数a为正数，那么-a为负数，若有理数a为负数，那么-a为正数，若有理数a为0，那么-a为0.

本例中教师以问题设计考查学生对有理数定义的理解，以具体的实例引导学生从知识点的定义出发进行思考，开展分类讨论，从而正确解答.经过课堂教学中的多次训练，能够促进学生形成分类讨论的思维习惯，实现思维能力的突破，强化对知识定义的理解.

2 巧用图象资源，渗透数形结合思想

数与形是数学研究的两大对象，在解决数学问题过程中常常需要将数与形进行相互转化，从而使问题迎刃而解.渗透数形结合思想能够将图片与文字相结合，实现形象思维与抽象思维的相互转化，有效提高解决问题的效率.

案例2 绝对值

师 今天我们学习了绝对值的概念，请你根据图1说一说a和b的含义.

生1 根据绝对值的定义，a表示的是a到原点的距离，b表示b到原点的距离.

师 很好，那么请大家根据图1，计算a-b和a+b的值.

生2 根据图1可以看到a>0，b<0并且a

在教学中渗透数形结合的思想能够发展学生思维的灵活性，培养学生的创新意识.本例中教师借助数轴帮助学生理解绝对值的概念，让学生养成借助图象解题的习惯，学会将抽象知识具体化，提升解题能力.此外，有理数加法法则和乘法法则的学习也可以应用数轴进行数形结合，帮助学生更加直观地理解抽象数学符号的具体含义，强化学生对知识的理解，达到事半功倍的效果.

3 建构数学模型，渗透数学化归思想

化归思想是转化与归结的总称，是指将那些不易解决的陌生问题通过类比、联想、推理等数学方法转化为熟悉的和易于解决的问题.应用化归思想可以引领学生将复杂的综合性问题转化为学生已经解决过的问题，即用学生已经掌握的数学模型解决新出现的问题.

案例3 如图2，以AB为直径的半圆上有一点C，将AC、BC进行连接，AB等于10，tan∠BAC=34，求阴影部分的面积.

图2

解题分析 本题中的阴影部分为两个弓形，在初中数学学习阶段没有学习直接计算弓形面积的公式，因此解决这道题需要使用化归的思想，引导学生将不能直接解决的问题进行转化.

师 观察图形我们知道阴影部分是两个弓形，虽然我们没有办法直接进行求解，但是我们学过圆和三角形面积的计算，那么我们是否可以将阴影部分的面积进行转化，从而寻找解题路径呢？

生 我们可以用半圆的面积减去△ABC的面积就能得到阴影部分的面积.

解 因为AB等于10，所以半圆的面积等于

12×πr2=252π，

因为AB2=AC2+BC2，AB=10，tan∠BAC=34，

所以AC、BC的长度分别为8和6，

所以△ABC的面积等于12AC·BC=24，

阴影部分的面积则等于252π-24.

化归思想是运用学生已知的数学模型将不能直接解决的问题向学生已经会解决的问题进行转化［2］.在解决较为复杂的几何问题时，教师要引导学生寻找熟悉的规则图形，将不规则的图形进行转化、拆解、割补等，使看似难以解决的问题迎刃而解.

4 发展逆向思维，渗透方程解题思想

方程解题思想是从求解问题入手分析数量关系，并通过数学语言将数量关系转化为数学模型，进而建立方程或者方程组进行问题求解的思想.方程思想是初中数学解题以及考查中的重要内容，渗透方程思想可以促使学生的思维从记忆型向理解型转化.

案例4 方程解题思想

我校运动会举行跳绳比赛项目，分为男生和女生两支队伍进行比赛，七（3）班在“单摇”项目中，男生和女生分别平均每人每分钟跳80下和60下，计时一分钟，则男女生一共跳了1560下.在“双摇”项目中，男生和女生分别平均每人每分钟跳42下和26下，计时一分钟，则男女生一共跳了764下.求七（3）班派出的跳绳队伍中，男女生各多少人？

师 本题要求解男女生人数各为多少人，我们不妨将这两个未知数作为已知量，按照题目给出的等量关系进行反向推理，列方程进行求解，有没有同学能够尝试一下？

生 我们设男女生人数分别为x和y，按照题意可以列方程80x+60y=156042x+26y=764，解方程组可得x和y分别为12和10.因此七（3）班派出的跳绳队伍中，男生为12人，女生为10人.

方程思想可以帮助学生解决那些通过正向推导无法直接找到答案的问题，发展学生的逆向思维能力［3］.本例中教师从学生的实际生活出发编制试题，引导学生采用反向推导的方法，将求解的问题设为未知数x和y，并且按照题意整理出x和y的等量关系，进而通过列方程进行求解.

5 结语

分类讨论、数形结合、化归与方程解题思想是初中数学中的常用思想，掌握这些数学思想和方法能够提升学生的解题能力，深化学生对知识的理解，感悟数学学习的价值.提升学生的思维能力，发展核心素养.

参考文献：

［1］刘敏.试析化归思想在初中教学中的应用［J］. 中国校外教育，2019（35）：81-82.

［2］薛海林.例谈数学思想方法的渗透：以“有理数”的章节教学为例［J］.中学数学.2019（22）：19-20.

［3］高峰官.关注隐性课程资源中数学思想方法的运用：“分类讨论思想运用专题复习”设计与思考［J］.中学数学，2019（20）：30-32.