对与角的平分线有关的几何题的变式探究

2023-12-30张前

数学学习与研究 2023年21期

张前

【摘要】数学核心素养下的变式探究是对教材知识点的深度剖析与整合，也可为学生的解题提供模型，借以提高学生解决此类问题的速度与正确率.文章明确了变式探究能够在新课标指导下落实“双减”政策，收到“减负增效”的效果，同时在几何计算中注意数形结合思想、整体思想的运用，能够进一步加深学生对“图形与几何”的理解与掌握，在提升学生数学思维能力的同时，使其数学核心素养进一步得到培养.

【关键词】变式探究；初中数学；数学思想

与角的平分线有关的几何题是初中数学的重要内容之一.角平分线的定义在具体运用中既可以写作两角相等的形式，也可以写作一个角是另一个角的2倍的形式，还可以写作一个角是另一个角一半的形式.根据解题的需要，学生应灵活应用这几种形式，同时在计算中注意数形结合思想、整体思想的运用.

一、教材原题呈现

人教版七年级数学上册P140习题4.3第9题：

如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.

（1）如果∠AOB=40°，∠COD=30°，那么∠BOD是多少度？

（2）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？

分析：（1）此问利用角平分线的定义以及角的和、差运算，再根据已知条件，即可求得∠BOC和∠COE的度数，从而求得∠BOD=70°.

（2）此问与（1）中的解法相反，由已知条件易求∠COE和∠AOC的度数，从而求得∠AOB=40°.

思考：对于（1）中的问题，是不是还可以这样理解，射线OC将∠AOE分成∠AOC和∠COE，即射线OC在∠AOE的内部，其他条件不变，利用整体思想也可求解∠BOD是多少度.

所谓整体思想，是指在考慮数学问题时不着眼于它的局部特征，而着眼于它的整体结构，把联系紧密的量作为一个整体来看的数学思想.运用这种思想能使问题由复杂化转向简单化，达到化繁为简的目的，在中考中这种思想方法应用较多.而数形结合思想是指把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题路径的目的.

这个一般性结论暂且称之为角平分线模型1.这个模型推理运用了两个角的和、数形结合思想以及整体思想.熟练掌握该模型的解题思路、方法、过程和结论，以后再遇到这种题型就可以节省大量的计算时间，尤其在做解答题时，心中立刻就会有了思路，能快速写出推理过程，轻松写出答案，从而提升数学解题水平.

由此可见，对以上模型结论的消化与吸收、理解与掌握在平时的练习或考试中会起到至关重要的作用，对于填空题和选择题可以直接运用结论简单快速地得到答案，对于解答题，心中更是有数，能快速书写解答过程，避免了冗长的思考、分析、探究，从而节省大量的考试时间.

在上面的变式中，射线OC为一个内角或一个角外的任意一条射线，接下来，我们继续找“变”，如果一个角内出现两条任意射线，且对每条射线与角接近的边所组成的角作角平分线，那么原来的角与两角角平分线的夹角以及角的内部任意两条射线的夹角又有什么关系呢？

四、一个角内出现两条任意射线

变式8：如图8所示，OB，OC是∠AOD内的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，求∠AOD的度数.

分析：此题主要考查了角的平分线的定义，以及角的和差之间的关系，然而题中并没有给出∠MON和∠BOC具体的度数，这就需要进行一定的分析、推理才能进行规律总结，然后在以后的练习和考试中，只要出现此模型，我们就可以直接运用该结论秒得答案.

解：∵∠CON+∠BOM=∠MON-∠BOC，

∠MON=α，∠BOC=β，

∴∠CON+∠BOM=α-β.

∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，

∴∠CON+∠BOM=∠DON+∠AOM，

∴∠DON+∠AOM=α-β.

∵∠AOD=∠DON+∠AOM+∠MON，

∴∠AOD=2α-β.

此变式我们称之为模型3.

由以上的变式探究可以看出，数形结合思想贯串始终，同时类比思想、分类讨论思想也穿插其中，这就突出了对学生数学核心素养的培养，同时进一步落实了对数学新课程标准的有效实施，突出了“双减”落实，达到了“减负增效”的效果.

教师对教材的原题进行分析、探究，论证变式的合理性，可引导、启发学生对变式问题进行猜想论证，在这一过程中经历再发现、再探究、再论证，再通过精准的数学语言去表达，培养学生发现、探究的数学精神以及数学语言表达能力.同时，教师应进一步培养学生的解题思维能力，通过对一题的变式进行对问题思考的发散，总结解题方法，锻炼解题能力，培养学生“一题多变”的数学思维，同时把握中考命题方向，紧扣教材，吃透教材，深度分析教材，把知识串联起来进行综合运用，达到由成功变式到成功猜想、论证的目的.

由此也可看出，学生数形结合思想及整体思想等数学思想的建立远非一朝一夕能够做到的，需要在熟练掌握教材的基础上反复练习、总结才能形成.对角的平分线定义的探究运用只是浩瀚数学王国中的一粒沙尘，更多的数学奥秘有待于我们去进一步深入探究.