初中数学二次函数不同表达式的解答思路分析

张锦霞

【摘要】二次函数既是初中数学的重要内容，也是学习的难点之一.作为基本要素之一，二次函数的解析式是打开函数世界的一把关键“钥匙”，因此，解析式的求解是学习的关键与重点.常见的二次函数解析式形式有一般式、顶点式、交点式，学生只有掌握所有表达式对应的解题思路和方法，才能够提高解题效率，达到解题的目的.文章主要对三种不同的二次函数表达式问题进行分析，通过例题得到一些解题的通法，以便同学们学习和思考.

【关键词】初中数学；二次函数；表达式；解题技巧

二次函数是初中数学很重要的一部分内容，了解二次函数首先应从解析式开始.用不同的形式表達函数解析式是最基本的学习要求，如何应用已知条件求解二次函数的不同解析式也是需要熟练掌握的学习内容.二次函数的解析式问题属于基础性问题，只有掌握其解题思路才能更高效地解题，在此基础上才能解决其他层次的二次函数难题.

二、顶点式

形如y=a（x-h）2+k（a≠0）的解析式被称为二次函数的顶点式，也是初中数学常见的一种二次函数表达形式.求解该解析式需要明确顶点坐标和其他点坐标，将其代入假设的顶点形式解析式中，求得a，h，k的大小，即可得知具体的函数解析式.求解二次函数顶点式问题的具体步骤为：①假设二次函数解析式为y=a（x-h）2+k；②根据所给条件和已知图像，将相关点坐标代入假设的解析式中得到方程组；③运算求出a，h，k的大小，即可得知具体的顶点式表达式.

例2 已知二次函数的最大值是2，图像的顶点在直线y=x+1上，并且图像经过点（3，-6），求此二次函数的解析式.

剖析 首先根据已知条件判断函数的顶点坐标，由已知函数有最大值，可得知函数图像开口向下，故结合直线y=x+1和最大值可求出具体顶点坐标，将顶点坐标和（3，-6）代入假设的解析式中，运算求得a，h，k大小，可得二次函数的顶点式表达式.

解析 假设二次函数解析式为y=a（x-h）2+k（a≠0）.

∵二次函数有最大值2，

∴函数图像开口向下，顶点的纵坐标为2.

∵图像的顶点在直线y=x+1上，且y=2，

∴函数顶点坐标为（1，2）.

将（1，2），（3，-6）代入解析式中，

可得h=1，k=2，a=-2.

故二次函数解析式为y=-2（x-1）2+2，

即y=-2x2+4x.

变式1 如图2所示，点B，M在函数图像上，已知△ABM是边长为3的等腰直角三角形，求该二次函数的解析式.

剖析 假设函数解析式为顶点式，结合三角形的结构特点和已知对称轴求出顶点坐标，将B，M的具体坐标值代入假设的解析式中，求得a，h，k的大小，即可得知具体二次函数解析式.

变式2 如图3所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AB=2，点D的坐标是（0，-4），点A的坐标是（1，0），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，求函数解析式.

剖析 已知二次函数的顶点是点C，故根据平行四边形的性质特点可求出点C的坐标，假设顶点形式的函数解析式，将点A坐标代入解析式中，即可得到答案.

上述例题的分析分别展示了二次函数解析式求解的不同思路，每一种表达形式需要的已知点坐标各不相同，在学习过程中，同学们需要结合其他知识点求坐标具体值，这是必须掌握和学习的重点内容.因此，熟练掌握基本知识点并明确假设的函数解析式表达形式，是求解函数解析式问题的基础与关键.

【参考文献】

[1]何光源.浅谈求二次函数的解析表达式[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2009，23（S1）：91-92.

[2]李大平.课堂随笔：灵活运用二次函数的表达式求二次函数的解析式[J].新课程学习（上），2011（1）：89.

[3]李代莉.浅谈巧设二次函数的表达式[J].中学数学教学参考，2015（27）：95.