依据新课标内容要求 探索初中数学概念教学路径

毛丽丽

摘要：数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和法则的逻辑基础，是师生课堂沟通交流的语言，是“四基”中“基础知识”的核心。教师要结合新课标内容要求，探索初中数学概念教学路径。

关键词：新课标；初中数学；概念教学路径

“因式分解”这一内容属于“数与代数”中的“整式与分式”模块，是承启整式乘法与分式的关键一环。虽然本课是一节概念课，但教师除了培养学生对概念本身的理解之外，更重要的是促进理解因式分解所蕴含的互逆思想和以退为进解决问题的最优化思想。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）对本节教学内容没有做具体要求，但本节课却是后续“能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）”的基础和数学意义上的逻辑起点。

一、课前研讨

基于新课标的要求，教师要能引导学生从应用数学概念中领悟数学思想并提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，培养数学思维和创新意识，提升数学核心素养。

（一）在强化情境设计与问题提出中引入概念

新课标指出，注重发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养。教学中，教师一是要注重创设真实情境。真实情境的创设可从社会生活、科学和学生已有数学经验等方面入手，围绕教学任务，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材。二是要重视设计合理的问题。教师要在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题，也可以引导学生提出合理的问题。提出的问题应引发学生的认知冲突， 激发学生的学习动机，促进学生积极探究，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，体会数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言，增强学生认识真实世界、解决真实问题的能力，树立学好数学的自信心，养成良好的学习习惯。

新概念的引入是概念课的首要环节。由于概念的产生和形成过程都不相同，引入方法也就不同。教师要紧扣教学内容核心和学情，根据学生的真实能力，创设不同的情境和问题来引入概念。

（二）在挖掘概念本质的基础上理解概念

1.内涵与外延

新概念的引入是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于内涵丰富、外延广泛等原因，学生的认知很难一步到位，需要较长周期的反复认知、实践、理解。教师重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，使学生理解概念的本质，是学生能正确使用概念的前提。

2.区别与联系

数学概念是数学教学内容的知识单元，概念之间的联系则形成了教学内容体系的框架结构。它们之间有着密切的联系，教师把个别概念放在概念的相互联系中教学，有助于揭示概念的本质。教学时，学生要清楚新概念是建立在哪些已学的数学概念基础上的，明确新旧概念之间的区别与联系，为准确理解新概念打下坚实的基础。

（三）在自编题目的过程中巩固概念

教师引导学生利用概念提出数学问题是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。除了常规习题外，教师引导学生自编题目也是一种非常有效的方式。学生自行编题能激发学习兴趣。此时，他们往往比较兴奋，因为自行编题是一种创造，会有一种成就感。不仅如此，学生在呈现自己的作品时，都希望得到他人的好评，因此比较用心。此外，学生要自行编题，就要弄清楚已知什么，要求什么，就必须要对数学知识有深刻的理解，而这些都需要全身心地投入学习。同时，在这个过程中，学生的核心素养也会逐步提升。

（四）基于对数学概念的理解整体把握教学重点并进行教学设计

1.整体把握教学

对于因式分解的概念，常规教学一般都是先类比因数分解的教学，再引入因式分解的教学，是从概念名称表面做文章。而在初中阶段，因式分解最主要的作用是为分式、方程等相关内容的学习提供基础，利用因式分解进行简便运算属于解题技巧，居于

2.进行教学设计

【教学目标】感悟因式分解的必要性，形成运用因式分解的意识；通过拼图恒等式，对比整式乘法与因式分解的区别与联系，形成因式分解的概念；通过编题，掌握判断和验证整式乘法与因式分解的互逆关系；通过学习活动的开展，理解因式分解是代数的恒等变形，发展数学运算、直观想象等核心素养。

【教学方法】任务驱动法、自主学习法、合作学习法、探究学习法。

【教学流程】创设情境→合作学习→班级展示→明确新知→巩固练习→小结提升→当堂测试。

二、课堂设计

基于课前的研讨，笔者设计了本节课的课堂内容。

（一）强化概念引入

师：今天老师下楼的时候，对门的小朋友问了我一个问题，我说我们班的同学可以解决，晚上我要把解答的方法拿给他。

（自然引出问题，激发了学生强烈的兴趣）

（教师深入各学习小组巡视，持续鼓励）

下面是小组合作精彩瞬间：

A组，一个学生认为应该把x约分。

C组，也不甘心直接代入计算，组长一直带着组员研究，接着组长讲，把x2+x换成x（x+1），为什么有个1呢？一个学生插问。他好像明白了，1是占位的。组长接着讲，再约分化简代入。

师：你们找到了几种方法呢？（学生的答案是一种，两种，还有说三种的）

B组（法二）：同意C组的做法，还有一种做法是直接把2023代入计算。

A组（法三）：直接代入，再采用B、C两组的办法来简化运算，即

师：晚上回家后，我告诉对门小朋友哪种方法比较合适？

生：最后一种。（大多数学生的呼声）

這时，一位组长说：“小朋友是几年级的学生？如果是四年级，告诉他法二，法三也行，他已经学过分配律了。”

师：如果他是六年级或七年级的学生呢？

生：法一毫无疑义。

由于此引例的有效设计，后面两道习题完成的质量非常高。

师：84能被7整除吗？

生：能，因为得数是12。

师：得数是12为什么可以证明84能被7整除？

生：因为没有余数。

师：还可以怎么说？

生：12×7=84，所以可以整除。

师：还有其他方法吗？

生：84还可以拆成70+14，7+7+……7，共有12个7相加，因此可以被7整除。

师：你们的想法很有创意，挑战来了，请问20082+2008能被2009整除嗎？

生：提取因数2008，化成2008×2008+2008×1=2008（2008+1），所以能整除。

（二）助推概念生成

第一组：观察下面拼图过程，写出相应的关系式。

第二组：将下列四个图形拼成一个大长方形，再写出相应的关系式。

第三组：有甲、乙、丙三种图形，用两个甲中的正方形，三个乙中的长方形，一个丙中的正方形拼成一个长方形，再写出相应的关系式。

师：根据自己的情况，任选一组或多组，结合拼图过程，你能不能根据图形写出等式？

生：独立解决问题。（学生参与热情较高，多数学生至少选择两组。拼图过程使学生体会了数形结合思想，发展了几何直观）

师：你能发现几组等式的共同特征吗？

生：加的形式转化成乘积的形式，也就是三个等式左边都是多项式，右边是积的形式。

师：这样的变形就是我们今天要学习的“因式分解”，你能否结合这几个例子给大家说说什么是因式分解吗？

生：把一个多项式化成几个因式（后改成整式）积的形式叫作因式分解。

生：把加的式子变成乘积的形式。

师：可以减吗？

生：可以，就是把加减形式的化成乘积形式的。

师：你是否理解了什么是因式分解？

生：多项式变形为整式乘积的形式。

（三）挖掘概念本质

师：请独立完成教材练习。

生：相反也可以说成互逆。

师：判断4x2 - 64 = 4（x + 4）（x - 4）是否是因式分解。

生：形式上是，实际上不是。

师：还有什么是互逆关系呢？

生：互逆命题，互逆定理，如勾股定理和逆定理，乘和除，加和减，现在又学到了整式乘法和因式分解等。

（四）编题巩固概念

在本节研讨课中，教师可以安排两次编题。第一次编题安排在探究整式乘法与因式分解互逆后，让学生将互逆思想内化为自己的知识体系。第二次编题安排在整除题型后，此时距离下课还有5～6分钟（学生的疲惫期），学生编出的题目都是整除的题目，没有扩大前面的学习成果。

三、课后反思

（一）引入的效果

三种不同方式对应着学生对数学的不同认知水平和与知识的迁移水平。方法二俗称“硬算”，体现了解题人扎实的计算能力，但同时显得解题人的视角不够宽、处理问题的手法不够灵活。方法三是探索规律的实践，体现了解题人在尝试中摸索数学现象内在规律的素养，显示出学生务实的学习态度、灵活的解题手法。方法一体现了“会用数学眼光观察世界”，学生面对数学问题能够不急于“出手”，而是在“嗅”到了不宜采用“硬算”的气息后，认真分析题目的内在规律性；通过逆向思维，反向应用整式乘法的分配率、乘方的意义、正向迁移分解因数、分数的基本性质，实现了化繁为简、变难为易；没有具体的数值运算，透射出解题的智慧与老练，体现了对字母表示数、对“代数”内涵的深刻理解。方法二是“强攻”，方法一是“智取”，方法三介于二者之间，也不失为一种解题的较好策略。

（二）学生编题的作用

编题的过程既能体现正向对因式分解的理解，又能考查逆向用整式乘法的验证。组间交换互考、互批，既有利于学生学习积极性的调动和好胜心的激发，又有利于学生在班级展评中满足自我实现的心理需求。但是，一节课进行两次编题是否得当，还需再研讨。同时，如果教学时间允许，第二次编题在何时呈现仍值得探究。此外，两题是否可以合二为一，也需要再探索。

（三）教法选择及理论依据

选用“任务驱动”的教法，能促进学生发现问题、解决问题。在问题的探究过程中，教师应不限制探究方式、不暗示探究方法，引导学生采用“小组合作学习”的学法。教师可通过“独立思考→小组探究→班级展示”的流程，有效调动学生学习的主动性、积极性；通过“组间出题互考→班级简评”的实践活动，促进学生对所学知识的内化与应用，有效提高学生的学习兴趣。

总之，教师要结合教学内容及具体的学情，采取合理的教学策略，让概念教学取得良好的效果，使学生透彻理解、灵活运用数学概念。

参考文献：

［1］郑燕穗.基于深度学习理论的初中数学概念课教学［J］.数学教学通讯，2023（17）.

［2］马晓琴.重视数学概念教学，强化概念本质理解［J］.中学数学，2023（8）.