无图无真相，有图有真相

周薇

[摘  要] 以一节初三数学复习课为例，提出无图题求解的教学路径，即小试牛刀，感知不变;对比发现，理解不变;拓展升华，强化不变. 这有利于学生在获得构图一般方法的过程中，领悟以不变应万变的辩证思想.

[关键词] 初三数学;复习课;不变;无图

无图题是中考中重要的一类题型，综合考查了学生运用所学知识解决问题的能力. 因此，探讨其解决的通法具有一定的现实意义. 在无图题的构图过程中，有利于培养学生直观想象能力、数学概括能力等，在获得构图一般方法的过程中，领悟以不变应万变的辩证思想.

小试牛刀，感知不变

问题1 在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF=90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为________.

学生独立思考，笔者抽部分学生到黑板上演示，学生画出了相应的图形. （如图1、图2所示）.

师：问题1没有图形，你是如何确定点F的位置的呢？在等腰直角三角形ADF中，什么是确定的？什么是不确定的呢？

生：在这个试题中，菱形ABCD的大小与形状是确定的，等腰直角三角形ADF的形状确定，但是位置不确定. 因为等腰直角三角形ADF是以菱形的边为直角边作的，但是点F可以在AD的上方，也可以在AD的下方. 如图1所示，当AF在AD上方时，延长FA交BC于点E. 因为AB=6，∠ABC=60°，根据锐角三角函数，得BE=3，AE=3，所以S=BC×AE=6×3=18，而菱形的对角线把菱形分成面积相等的两部分，所以S=×18=9，根据三角形的面积公式，得S=AF×BE=×6×3=9，S=×6×6=18，所以S=S+S+S=9+27.如图2所示，当AF在AD下方时，根据三角形的面积公式，得S=AF×BE=×6×3=9，S=×6×6=18，根据前面的计算，得S=×18=9，所以S=S+S-S=27-9. 所以△BDF的面积为27+9或27-9.

师：如果试题中没有给出图形，我们可以根据题意画出所有符合题意的图形，然后分析题意，找到解题思路.

设计意图 给学生设置无图题，引导学生根据题意画出相应的图形. 同时，通过问题的提出，引导学生从理性的角度分析为什么要这样画图，进而促进学生通过深入分析，形成画图的意识.

对比发现，理解不变.

问题2 在△ABC中，AC=2，D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为________.

有了上述的学习经验，大多数学生能画出第一种图形，如图3所示. 在求异思维下，部分学生能画出第二种情况的图形，如图4所示.

师：你是如何想到符合题意的图形有两种？

生：因为已知△ABC，AC=2，只有一条边确定的三角形的形状与大小是不确定的，所以可能存在锐角三角形与钝角三角形两种情况. 如图3、图4所示.

师：比较图3与图4，你能发现哪些不变的图形与数量关系呢？

生：△ACD的形状与大小不变，△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，直角边AC=2不变，线段AB与BD的数量关系不变，始终为AB=3BD，还有直线CD与直线BC所夹锐角的度数不变，正切值始终为.

师：比较图3与图4，你能发现变化的是什么？

生：发生变化的是点B的位置，由于点B的位置不同，引起了线段BC长度的变化，如图3所示，当点B在线段AD上时，过点B作BM⊥CD，垂足为M，因為CD⊥AC，所以BM∥AC，根据相似三角形的判定定理，得△DBM∽△DAC，根据相似三角形对应边成比例，得=，因为AB=3BD，AC=2，所以==，所以BM=，在Rt△BMC中，由tan∠BCM=可得，BC=BM=;如图4所示，当点B在线段AD的延长线上时，过点B作BN⊥AC，交AC的延长线于点N，因为CD⊥AC，所以BN∥CD，根据相似三角形的判定定理，得△ADC∽△ABN，根据相似三角形对应边成比例，得=，因为AB=3BD，AC=2，所以==，解得CN=，在Rt△BNC中，由tan∠CBN=tan∠BCD=可得，BC=CN=×=5，所以线段BC的长为或5.

师：如何解决无图类的几何试题呢？

生：从上面的解答过程可以看出，找出所作图形中不变的图形，然后再根据所给数量关系画图，是解决此类问题的关键.

设计意图 问题1的解决，使学生建立了画图的意识，尝试把无图变为有图. 对比图3与图4两个图形，是为了找到它们的相同点与不同点，让学生变换视角看待问题，在反思归纳的过程中得到解决无图类问题的关键是构图，而构图的关键是找到不变的图形与不变的数量关系.

拓展升华，强化不变

通过上述的探究，学生得到了构建图形的一般方法，此时笔者给出了有一定综合背景的问题，以促进学生进一步巩固理解所学知识.

问题3 ☉O的半径为5，△ABC内接于☉O，AB=AC，BC=6，则△ABC的面积是________.

师：在这个问题中，不变的是什么？不能确定的是什么？

生：在这个问题中，☉O的大小是确定的，半径是5，所以可以先画一个☉O，△ABC与☉O的位置关系也是确定的，即△ABC是☉O的内接三角形. 对于△ABC，已知AB=AC，BC=6，它的形状与大小是不确定的，可能有两种情况，即当△ABC是锐角三角形时，如图5所示，连接AO并延长交BC于点H，连接OC. 因为AB=AC，根据圆心角定理，得=，根据垂径定理，得AH⊥BC，所以∠CHO=90°，CH=BC=3，因为OC=5，在直角三角形OHC中，由勾股定理，得OH==4，所以AH=OA+OH=9，所以△ABC的面积=AH×BC=×6×9=27;当△ABC是钝角三角形时，如图6所示，连接AO交BC于点H，连接OC. 因为AB=AC，根据圆心角定理，得=，根据垂径定理，得AH⊥BC，所以∠CHO=90°，CH=BC=3. 因为OC=5，在直角三角形OHC中，由勾股定理，得OH==4，所以AH=OA-OH=1，根据三角形的面积公式，得△ABC的面积=AH×BC=×1×6=3.综上所述，△ABC的面积是3或27.

设计意图 通过问题3的训练，引导学生善于寻找问题中不变的量与变化的量，进而得到不变的图形与变化的图形. 此题是一道与圆有关的试题，考查了圆的有关性质，学生只有分类画出两种符合题意图形，才能得到正确的结果，虽然图形有别，但是解决这两种情况的思路几乎相同.

一点感悟

课堂教学的主体是学生，问题的引导要符合学生的认知规律，贴近学生的最近发展区，以实现课堂教学目标的达成. 本课中的问题设计贴近学生的最近发展区，立足学生解题经验的基础上，要求学生改变视角重新探求构图方法，促进了学生思维的不断发展. 数学学习是学生主动建构知识的过程，教师从两个常见的问题入手，通过启发归纳的方法，引导学生探究解决无图试题的一般方法，整个课堂有生生互动与师生互动，在观察比较、归纳总结中，得到构图的一般方法，体现了以不变应万变的辩证思想.