基于笛卡尔思维法则的初中数学应用题教学

谭远泊

[摘  要] 应用题的教学向来是初中数学教学的一大难点，文章通过笛卡尔的思维法则和波利亚的转述对此难点进行分析，旨在运用他们的数学教学理论指导初中数学应用题教学，并提出一些笔者的建议和思考.

[关键词] 笛卡尔思维法则;波利亚的转述;应用题教学

笛卡尔的思维法则

笛卡尔是近代西方最伟大的数学家之一，他创立的解析几何学，为日后微积分的形成奠定了坚实的基础. 同时，他还被黑格尔誉为“近代哲学之父”. 他的伟大之处在于他善于运用数学思想来分析世界万物所隐含的自然哲理，并运用哲学思辨精神来诠释人们的生活与世界. 在思维的指导法则中，他提出了解题的通用方法，希望通过这種方法“一劳永逸”式的解决所有现实生活中的实际问题. 这个宏伟的设想不仅仅在当时看来是那么的遥不可及，即使在几百年后的今天看来，仍然是一个几乎不可能实现的想法. 但是，他的思想对于现今的中学数学教学而言却具有重要的价值.

笛卡尔的通用方法大致可以分为三步：首先，将任何种类的问题都转化为数学问题;其次，将所有数学问题都转化为代数问题[1];最后，将所有代数问题都转化为单个方程的求解问题. 在他的思维法则中，包含了中学数学最常见的两大思想方法，即转化与划归的思想和方程思想. 笛卡尔对于日常问题的方程化设想虽然不可能实现，但他对科学的影响是巨大的. 他的方案虽不能用于所有场合，但是对于中学生解数学题，特别是解“文字类”的数学应用题大有裨益，值得大家认真学习，这会让学生乃至一线的教师避免许多常见的错误和不必要的麻烦.

波利亚的转述

事实上，在后世的数学教育家和数学爱好者中，对于笛卡尔的方程思想感兴趣的人远远不止一个，但其中最知名的当属波利亚. 波利亚不仅仅承袭了笛卡尔的思维法则，还对他的法则进行了恰当的转述. 如果说笛卡尔的通用方法是高屋建瓴、难以触碰的思维法则，那么波利亚的转述则是行之有效、真实可感的可操作层面的具体步骤.

波利亚将笛卡尔的思想法则归结为四步：首先，对问题要有很好的理解，然后把它划归为如何去确定某些未知数. 其次，以最自然的方式来考查问题，把它当作是已解决了的，并以适当的次序使所有由条件规定的未知量和已知量之间所必须保持的关系具体化. 再次，分化出一部分条件，根据这部分条件把同一个量用两种不同的方法表示，从而得到未知量之间的一个方程. 照此做下去，把条件分成与未知量个数一样多的部分，进而得到与未知量个数相等的一个方程组. 最后，把这组方程简化为一个方程[1].

波利亚的转述不是单纯地将笛卡尔通用方法进行复制粘贴，而是加入了对于数学应用题教学的深入思考和可行性建议. 作为一线教师，在实际教学时，还需要结合自身实际教学情况和周围环境加以把握和应用，争取最大化地将两位大师的思想精髓运用到教学实践中来.

值得注意的一些问题

通过波利亚的转述，笔者认为，一线中学教师在教导学生运用方程解应用题时还应该注意以下一些问题.

1. 磨刀不误砍柴工

学生在不具备相关基础知识时，不要去盲目解题. 学生在没有完全理解问题之前，也不要着手去做问题. 只有当二者都具备，他的解题才是有意义的，而且会更加水到渠成. 笔者在曾经的教学实践中，发现很多初中数学学习困难学生的一个共性：一般都缺乏最基础的数学或是语文知识. 语文基础知识的匮乏导致他们对于数学应用题的题干理解产生了很大的认知偏差，进而导致忽略题目中的关键条件或是误解了核心信息. 数学基础知识的匮乏导致他们不知道运用哪些数学定理、公式、法则去解决相关的数学实际问题. 例如：在解决工程问题时，如果一个学生连“工作效率×工作时间=工作总量”这种基础的数学公式都不知道的话，很难想象他能够做出什么工程类的数学应用题. 基于此，在日常教学过程中，教师应该有意识地培养学生的阅读能力，并对学习困难学生的数学基础知识进行针对性的补习.

2. 一个萝卜一个坑

通常情况下，题干中的一个未知数应该能找出一个与之相对应的方程. 方程的左右两端往往代表着运用两种不同方式去表示同一个数学量，寻找等量关系无疑是构造方程的核心. 题干中如果出现两个或两个以上的未知量，同样也应该先找出含有这些未知量的对应个数的方程，这一组方程从本质上而言就是题目中各个已知等量关系的等价数学变形，这也是笛卡尔书中的原意. 当然，笛卡尔也建议让人们把所有这些方程最终要化简为一个方程，其实这也就是解方程组的核心思想“消元”. 因此，在教学过程中让学生按图索骥式的针对所设未知量个数确定对应方程的个数很有必要. 当然有时也会出现例外，后面的例2将会进行详细的说明.

3. 删繁就简三秋树

笛卡尔认为，解数学题的过程其实质就是：把一个含有许多概念的问题剖析并简化为最简单的形式. 初中生在解数学应用题时，同样应该学习借鉴这样的思维方式. 近年来，随着中考试题的改革，越来越多的中考题都与实际生活相联系，特别是数学应用题. 数学来源于生活并应用于生活，这本无可厚非，而且这也符合教育家弗赖登塔尔一向主张的“现实”的数学教育特征. 但随之而来往往也就会产生一些问题，例如文字信息的大量呈现，甚至是无关信息的干扰往往会扰乱学生固有的解题思维，并让学生产生一定的认知障碍. 此时，如何删繁就简并提取题干中的有用信息无疑是值得一线教师注意的一个问题. 同时，对初学者而言，教师在教学时应该事先讲明白哪些问题可以进行简化，例如对于行程问题的分析可以通过线段图来进行分析，人物可当作一个点，人物行动的轨迹可以简化为一条线段，人物的运动一般默认为匀速直线运动. 相反的，是哪些问题不能忽略特殊情况和题目中的隐含条件，例如在求解实际应用题时，对于端点情况的验证以及整数类可行解的讨论. 事实上，教学过程中的舍与得其本质上就是教学智慧的一种体现.

4. 人生看得几清明

有时候，人们看到的未必是事实，真正的事实和真相有时候往往隐藏在错综复杂的数学等量或是不等关系中，需要人们去深入发掘. 波利亚在《数学的发现》一书中列举了好几个例子，告诫人们：条件对于确定未知量而言有时候未必是充分的，眼睛也可能会欺骗人. 一般而言，解题的初步设想肯定是n个方程对应n个未知数，然后通过对这n个方程进行求解从而得到唯一的答案. 学生的直观想法总是单纯而美好的，但有时候题目往往未必顺遂心意，题目很可能是欠缺某些条件的“不完备”或是“结构不良”性问题. 此时，对于这种不定方程问题，学生应该认真审视题目的题干，寻找题目中是否隐藏着被遗漏掉的某些关键信息. 这个过程不容易，但这却是学生不可或缺的解题步骤.

例题解析

接下来，笔者通过两道例题，结合笛卡尔的思维法则和波利亚的转述对初中数学应用题教学进行阐释.

例1 轮船在平静水面上的航行速度为每小时40 km，它携带有正常航行12 h所需要的燃油量. 如果它在水流速度为每小时10 km的河道中逆流航行，并须安全返航，问它最多航行多远就必须返航？

解析 这是一道很简单的课后练习题，抓住题干中的已知量和未知量，通过速度、时间、路程三者间的等量关系建立方程，不难求解. 设轮船最多航行s km路程，得到方程：+=12，从而得出该轮船最大航行距离为225 km就必须返航. 看起来本题确实很容易，但是作为一线数学教师，是否就这样草率的结束本题呢？笔者想，通过刚刚对笛卡尔的思维法则和波利亚转述的探讨，对于该题我们应该进行适当地拓展.

对该题进行一般化推广，学生可以设轮船在平静水面中的航行速度为v，水流的速度为w，t为轮船总的航行时间. 再令x代表单程航行的距离. t代表轮船逆流而上航行的时间，t代表轮船顺流而下航行的时间，用表格将轮船的航行路程、时间和速度三者间的关系表示出来：

由已知，显然可得：t=t+t，由航程、速度、时间三者间的关系，将t和t消掉就可以轻松得到：+=t，再化简，就可得到：x=.

此时，学生再对该结果进行分类讨论.

（1）如果w=0，则2x=vt. 这时假定轮船在平静的水面上航行，轮船实际航行总路程等于轮船最大航程的两倍，很明显这是符合实际情况的.

（2）如果w=v，则x=0. 此时水流速度等于轮船在平静水面上的航行速度，显然轮船无法逆流而上.

（3）如果0

结合笛卡尔的思维法则和波利亚的转述，此题回过头来再重新审视一遍. 第一步，先对问题进行理解，这是一道 “逆水行舟”的行程问题. 已知量是轮船在静水中的航行速度、水流速度以及轮船的携带油量. 未知量其实不少，有轮船的最大航程、逆流而上的航行时间、顺流而下的航行时间，轮船逆流而上的航行速度等，但学生要求解的未知量只有一个，即轮船的最大航程. 未知量和已知量有什么内在的联系？无外乎三个行程问题中最常见的公式：速度×时间=路程，静水中的船速-水流速度=逆水行舟的速度，静水中的船速+水流速度=顺水行舟的速度. 第二步，将问题当作已经解决，根据刚才的三个公式，将题目中的已知条件和未知条件进行梳理，并用表格的形式将它们展现出来. 第三步，根据已知条件和刚刚列出的表格列出三个方程：t=t1+t2，t1=，t2=. 第四步，将这组方程简化为一个方程并进行求解，从而得出最后的答案. 为了得出更一般的结论，同时检验该答案的正确性，再对该答案的一般情况进行讨论，发现数学运算最终结果和实际情况相符合.

例2 （2020年重庆市中考B卷18题）为了刺激消费，某商场决定开展促销活动，方案如下：在收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一只（除颜色外其他特征均大致相同），顾客购买商品达到一定金额可获一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元. 商城分三个时段进行统计，汇总的最终结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍;第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为多少元？

解析 本题考查了方程组的正整数解. 因为题目中涉及已知量和未知量都较多，虽然有三个时段，摸到三种颜色不同的球共有九种组合，但其核心还是摸不同颜色球的个数. 而不同时段摸到不同颜色球的次数相互间有固定的比例关系，因此学生不妨设第一时段统计摸到红、黄、绿三种球的次数分别为a，b，c，根据题干中的比例关系，我们可得到第二时段统计摸到红、黄、绿三种球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿三种球的次数分别为a，4b，2c. 再由题干中所说的三个不同时段的返现金额可以很容易得到方程组250a+210b+70c=2510，

（50a+120b+20c）-（50a+30b+10c）=420.化简，即25a+21b+7c=251，

9b+c=42，做到这里貌似是没法继续下去了，题干中的所有条件好像也都已用完. 但仔细审视一下该题的题干，学生会发现这道实际应用题中未知数的取值是有范围的，结合a，b，c代表的具体含义，很明显它们都只能取正整数. 因此学生不妨消掉其中的一个未知数b，得到a=

，

c=42-9b，结合刚刚所提到的a，b，c的取值为正整数，得

≥0，

42-9b≥0，得到b的范围为≤b≤. 又因为b只能取正整数，所以b=2，3，4. 简单验证一下，可知当b=2或3时，a的值非正整数，因此不符合题意，应舍去. 综上所述，只有当b=4时，a=5，c=6符合题意. 此时第二时段返现金额为150a+60b+40c=1230（元）.

回顾此题，学生最大的解题障碍一般源于对冗长题目的莫名恐惧，并对这种题目都会有一种天然的抗拒心理，特别是对于语文成绩较差的学生更是如此. 但随着中考试题的改革，这种更“接地氣”的“冗长”类实际应用题会越来越多，怎样从繁杂的信息中提取有用的数学信息，并将其转化为数学语言，这变得尤为重要. 根据波利亚的解题理论，教师可以教导学生在草稿纸上绘制合适的表格，捋清所有已知量和未知量以及它们之间的关系，再设法求解问题就会变得顺利很多. 学生对本题的第二个障碍，源于对默认隐含条件的忽视，即没有注意到红、黄、绿球都为正整数这一实际情况，导致设三个未知数却只列出两个方程的尴尬处境. 因此，教育学生认真审题确实很有必要，特别是在他们解题碰到困难的时候.

小结

波利亚曾说：你的五个最好的朋友是：what，why，where，when，how[2]. 教师教学时也应指导学生秉承这一思想. 当他们解题感到疑惑时，应该让他们多问几个“是什么”“为什么”“怎么样”，当他们真正弄清这五个方面的时候，很多问题往往也就迎刃而解了. 教师在教学过程中应认识到：真正要传授给学生的是数学解题的一般思维方式，而并非某几道数学问题的最终答案. 因为在教学过程中，很多时候思路和过程往往比最后的答案要重要得多. 正如数学家R·柯朗所说的那样：数学，作为人类思维的表达形式，反映的是人们积极进取的意志、缜密的推理以及完美的追求[3]. 只有当学生真正明白怎样运用现有的知识去自主地解决未知的困难时，他们才开始真正学会数学的思维法则.

参考文献：

[1]G·波利亚. 数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M]. 刘景麟，曹之江，邹清莲，译. 北京：科学出版社，2009.

[2]G·波利亚. 怎样解题——数学思维的新方法[M]. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2011.

[3]R·柯朗，H·罗宾. 什么是数学[M]. 左平，译. 上海：复旦大学出版社，2011.