关于动态几何中线段函数关系问题的探究

崔曙刚

[摘  要] 动态几何中的函数关系问题较为特殊，需要在分析图形特性的基础上构建线段之间的函数关系，故问题解析需立足几何特性，结合与“数”联系紧密的性质定理破题. 文章结合考题探究解题方法，并深入总结思考，提出相应的教学建议.

[关键词] 几何;线段;函数关系;勾股定理;相似

问题综述

数学因“运动”而精彩纷呈，动态几何也成为近几年中考的热点，围绕图形运动出现了一些探究数量关系的问题，涉及点动、线动、面动多种类型. 图形运动带来了一系列的规律，衍生了众多研究函数关系与图像、面积最值、线段长度等问题.

函数关系与图像是其中较为常见的问题类型，往往问题以动点为依托，形成线动，探究其中点、线、面之间的函数关系，如线段之间的关系式、几何面积函数等. 问题解析要采用“以静制动”的策略，即分析运动中的规律，把握其中的特殊状态，将动态问题转化为静态问题. 解析过程要充分采用数形结合、分类讨论、模型构建等思想方法，简化图形，降低思维难度.

问题探究

2021年无锡市中考几何压轴题为动态几何问题，且以“点动”为背景探究关系构建，下面笔者深入探究问题的破解方法.

1. 考题呈现

考题：已知四边形ABCD是边长为1的正方形，E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，设BE=m.

（1）如图1所示，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF.

①当m=时，求线段CF的长;

②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值;

（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式.

2. 问题解读

问题图形较为复杂，需要学生把握图形构建过程，充分提取其中的特殊关系. 根据题干信息可知关系构建思路：动点E→动线段AE→动△AEF. 而复合图形中存在如下特殊性质.

四边形ABCD：正方形，具有正方形的性质;

△AEF：等腰直角三角形.

3. 逐问剖析

第（1）①问为设定BE长m=，则动态图形固定，求CF的长，可依托CF构建直角三角形，利用勾股定理求线段长.

过点F作BC延长线上的垂线，设垂足为G，如图2所示. 根据题意可知，在△ABE和△EGF中，有∠B=∠G，

∠AEB=∠EFG，

AE=EF， 所以△ABE≌△EGF（AAS）.由全等特性可得GF=BE=，EG=AB=BC，所以EG-EC=BC-EC，即CG=BE=. 在Rt△CGF中，由勾股定理可得CF==.

第（1）②问实则分析m与h的函数关系，其中m表示BE的长，h为△PQE的边QE上的高，需要依托几何性质来构建函数关系. 分析可知高的位置较为一般，需要对其加以转化，几何中可通过全等或相似来实现线段转化，具体如下.

将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，再过点P作EQ的垂线，设垂足为H，如图3所示.

根据旋转特性可得△ABE≌△ADE′，∠B=∠ADE′=90°，∠BAE=∠DAE′，∠AEB=∠E′，AE=AE′，BE=DE′，所以∠ADC+∠ADE′=180°，即C，D，E′三点共线. 在△EAQ和△E′AQ中，有AE=AE′，

∠EAQ=∠E′AQ

AQ=AQ， ，所以△EAQ≌△E′AQ（SAS），则∠E′=∠AEQ，EQ=E′Q. 因为∠PEC=90°-∠AEB，∠QEP=90°-∠AEQ=90°-∠AE′D=90°-∠AEB，所以∠PEC=∠QEP，所以EF是∠QEC的平分線，由角平分线的性质可知PH=PC. 由（1）知∠BAE=∠CEP，∠B=∠C=90°，可证△ABE∽△ECP. 所以=，即=，可得CP=m（1-m），所以PH=h= -m2+m=-

m-2+，由函数性质可知，当m=时，h取得最大值，且最大值为.

第（2）问则是研究BC上垂直平分线被△AEF所截线段长，E为动点，其位置将影响到△AEF的位置，进而导致所截线段长不同. 分析线段长y与BE长m的关系，可以以BC的中点为分界点来分别讨论，并结合图像构建关系.

①当点E位于BC中点的左侧时，即m<，如图4所示.

设点H为EP和MG的交点，因为∠BAE=90°-∠AEB=∠HEG，∠B=∠HGE=90°，可证△ABE∽△EGH. 所以=，即=，所以GH=-m2+m. 因为MG∥CD，G是BC的中点，则MN为△ADQ的中位线，所以MN=DQ. 由（1）问可知EQ=DQ+BE，可设DQ=x，则EQ=x+m，CQ=1-x. 在Rt△EQC中，由勾股定理可得EC2+CQ2=EQ2，则（1-m）2+（1-x）2=（x+m）2，可解得x=，所以MN=.从而可推知y=NH=MG-GH-MN=1--m2+

m-，整理可得y=1-m-+m2.

②当点E位于BC中点的右侧时，即m>，如图5所示. 因为MG∥AB，则=，=，所以HG=. 同情形①，可得MN=DQ=，所以NH=MG-HG-MN=1--=，即y=.

综上可知，y=1-m-+m2或y=.

总结思考

1. 策略分析

上述为动态几何综合题，共分两大问，从解析过程来看，需要利用几何线段来探究其中的线段长度关系，第（1）①问属于特殊情形，而第（1）②问及第（2）问则属于一般情形下的线段关系探究. 从根本上来看，需要解析图形的结构，把握性质特征，利用几何知识来构建关于线段长的函数关系.

对于动态几何，求线段之间函数关系的问题需要关注其中的特殊結构和关系. 一是特殊结构，即直角三角形，利用勾股定理对三边关系的体现来构建函数;二是全等关系和相似关系，利用全等关系来实现等线段转化，利用三角形相似对应边成比例来构建线段的比例关系，进而构建函数关系. 故求解线段之间的函数关系，有两大解题策略：

一是提取复合图形中的直角三角形，由勾股定理构建线段关系;二是提取复合图形中相似三角形，由相似性质构建线段比例关系，或提取其中的平行线段，构建线段比例关系.

2. 题型探究

动态几何中分析线段之间的函数关系，主要有两种题型：一是考题中所呈现的直接求线段间的函数关系，二是与面积或周长相关的，间接分析线段间的函数关系. 对于题型二，则还需要构建对应模型，如周长问题中将其转化为线段之和，重点分析其中的未知线段;面积问题中结合面积公式构建面积模型，必要时可采用面积割补的方法. 下面笔者举例探究题型二中的动态几何面积函数关系问题.

例题：如图6所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=12，BC=5，点M在边AB上，且AM=6. 动点D在边AC上运动，且不与点A和C重合，设CD=x.

（1）设△ABC与△ADM的面积之比为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;

（2）当x取何值时，△ADM为等腰三角形？写出你的理由.

解：（1）点D在AC上运动，△ADM的边DA会随之变化，但该边上的高不变，边AM也不变. 结合面积公式可得S=AC·BC=30. 过点M作AC的垂线，设垂足为H，如图7所示. 因为MH∥CB，则△AMH∽△ABC，可得=，所以MH=，AD=12-x，所以S=AD·MH=（12-x）.可知y==（其中0

（2）要使△ADM为等腰三角形，有三种可能. ①当AD=AM=6时，可求得x=6;②当MD=MA时，可求得x=;③当AD=MD时，可求得x=.

综上可知，当x=6，x=，x=时，△ADM均可以为等腰三角形.

教学建议

上述深入探究了动态几何中的线段函数关系问题，问题虽为几何，但同时具有了“数”的特性，也是该类问题最大的特点. 在教学探究时，需要强化学生基础知识，引导学生总结方法，掌握动态问题的转化策略，下面笔者提出几点建议.

建议1：强化基本函数，总结函数性质

线段函数关系问题的解析过程必然涉及基本的函数，如常见的一次函数、二次函数和反比例函数，探究时需要归纳函数，关注函数的变量及取值，同时结合图像了解函数曲线特征性质. 尤其是二次函数，需要结合图像分析其顶点坐标，掌握函数的单调性、对称性，以及分析最值的研究方法. 教学中教师可引导学生采用对比归纳的方法，从单调性、变量取值、曲线图像等方面加以分析，帮助学生强化基础知识.

建议2：归纳解题方法，总结构建技巧

动态几何中的线段函数关系问题，最为显著的特点是为几何赋予了“数”的特性，而构建过程需要立足几何特征，把握几何性质，这就要求探究时重点关注具有“数”属性的性质定理. 勾股定理和相似比例式在问题解析时最为常用，前者构建了三角形的三边平方和关系，后者则构建了两三角形的边长比例关系. 两大性质定理巧妙地串联了线段之间的关系，是破题的核心定理，教学中教师要引导学生深刻理解性质定理，掌握关系构建的方法技巧.

建议3：把握特殊位置，“动中取静”破题

动态几何问题具有诸多的不确定因素，对于因动点引起的几何变化，可采用两大策略破题：一是关注图形中的特殊位置，利用特殊点来分类讨论;二是设定线段未知量，推导线段关系，实现动态问题的相对“静态”. 以上述考题为例，就采用了策略二，设定关键线段，提取线段关系，将问题转化为关于线段参数的函数. 因此，教学中教师要引导学生充分掌握两大解题策略，理解其中的思想内涵，并结合实际问题来培养学生的解题能力.