复习课，不妨从学生的认知平衡入手

摘 要：《立体图形表面积和体积（复习）》是苏教版小学数学六年级下册的一节复习课，其主要功能是梳理学习内容、构建知识体系、提炼数学方法、积累活动经验。教学时，可从整理、练习、提升三个维度，设计“理一理”“练一练”和“拎一拎”活动，通过知识梳理、查漏补缺、实现认知平衡；同时基于学生的已有经验，制造认知冲突，帮助学生打破原有的认知平衡，建立新的平衡，从而为复习课增值。

关键词：《立体图形表面积和体积（复习）》；复习课；认知平衡

【课前思考】

皮亚杰认为，儿童心理发展是个体通过同化和顺应日益复杂的环境而达到平衡的过程。以已有的认知结构解释新情境就是同化，个体改变原有认知结构来适应新的需要就是顺应，而平衡是使认知结构和环境之间达到最佳适应状态的生物驱动力。这对深入理解复习课的教学意蕴大有裨益。因为认知平衡是短暂且惰性的，教师应基于学生的已有经验，创设认知冲突，帮助学生打破原有的认知平衡，建立新的认知平衡。

学生的年龄特点决定了其知识多呈散点状分布，因此，复习课要注意引导学生进行横向和纵向的关联融通，以“结构图”等形式显性呈现，建立知识框架，达成整体认知。复习课不仅要帮助学生拾遗补漏、补充经验，以实现认知平衡，更要引导学生对内容结构、思想方法等进行深度挖掘与重构，打破原有的认知平衡，逐步实现对数学知识的个性化理解，建立新的认知平衡。如此，学生的学习兴趣才得以激发，才更愿意主动质疑、探究，复习课的教学价值才能得以增长。

基于以上思考，笔者尝试从整理、练习、提升三个维度来设计这节复习课：整理维度设计“理一理”活动，活动目的是梳理知识，整体建构，建立认知平衡；提升维度设计“拎一拎”活动，活动的目的是使学生“跳一跳，摘到桃”，打破原有的认知平衡，建立新的认知平衡；练习维度设计“练一练”活动，活动目的是帮助学生巩固新建立的认知平衡。这三个活动可以看作一般复习课的基本活动流程，具体到每节课中，有时也可穿插进行。

【教学目标】

1.借助结构图，巩固立体图形表面积与体积知识。

2.通过对比，加深对面积和体积本质的理解。

3.激发数学学习兴趣，培养质疑、反思等学习习惯。

【教学过程】

一、理一理：内容的回顾与拓展

出示问题：（1）你理解的立体图形是什么样的？（2）如何由平面图形得到立体图形？（3）相邻面积和体积单位的进率如何？（4）常见立体图形的表面积和体积公式是什么？

师：小组交流后全班汇报，自由补充。

学生汇报后，形成知识结构图（如图1）。

师：长方形面积为什么可以用“长×宽”表示？还有哪些图形的面积可以用“长×宽”表示？

师：“长×宽×高”为什么可以表示长方体的体积？还可以用来表示什么图形的体积？

师：为什么长方体和圆柱体的表面积公式都可以记为“底面积×2+侧面积”？

师：为什么长方体和圆柱体的侧面积都可以使用“底面周长×高”来计算？

[设计意图：六年级学生处于认知发展的过渡期，概念的扩充可以帮助学生更好地认识平面图形与立体图形的区别与联系，更深入地理解面和体。这里强调知识的“全面”复习，包括横向和纵向两个层面。横向的归纳是复习课最低层次的目标要求，在达成此目标的前提下，也需要注重纵向的梳理。“理一理”活动引导学生从长方形（平面图形）的面积开始梳理，借助多个对比问题，引导学生从整体的视角重新审视以往的学习内容和过程，结构化地梳理知识，使知识从孤立走向关联，帮助学生建立认知平衡。]

二、拎一拎：方法的概括与创新

师：（出示图2、图3、图4）这三幅图分别是用什么方法来求立体图形体积的？

师：这三幅图都是通过计算物体包含单位立方体的个数来计算体积的。还记得我们是怎么推导常见立体图形体积的吗？

师：长方体体积公式，我们是用摆单位立方体来探索的；圆柱的体积公式，我们是把圆柱沿着底面直径切开转化成长方体得出的；圆锥的体积公式，我们是通过倒水实验，依据圆柱和圆锥体积的关系得到的。求三种图形的体积，用了三种方法。为什么明明用一种方法就可以计算图形的体积，我们却学习了三种方法？

师：（指图1中的圆柱体积公式）有同学说，圆柱的体积还可以用“侧面积×底面半径÷2”来计算，想想为什么？

[设计意图：同时出示图2—4是为了强调体积概念的共性，即体积是物体包含的单位立方体的个数，这样更易于学生迁移。我们在教学“体积”时，往往强调更为上位的转化思想。转化思想的应用有一定难度，因此被安排在几个年级分段教学，但到了六年级的复习阶段，学生的认知已经有所发展，可以较清楚、完整地理解这一系列转化过程。笔者尝试将两种学习序列完整呈现出来，一方面帮助学生回忆“物体包含单位体积的个数是其体积”这一基本推导方法，另一方面帮助学生梳理已学习的立体图形体积的转化过程。呈现圆柱体积公式的另一种计算方法，可以引发学生的认知冲突，打破原有的认知平衡，建立新的认知平衡。]

三、练一练：习题的反思与融合

（一）综合性练习

师：（出示图5）你知道蜂窝煤为什么这样设计吗？根据图上数据，你能算出制作一块蜂窝煤大约需要用多少立方分米的煤吗？若将蜂窝煤装箱，一排4块，每层3排，共2层，需要多大的纸箱（纸箱的长、宽、高分别是多少）？纸箱的体积和表面积分别是多少呢？

[设计意图：蜂窝式设计从数学角度来说是为了增加表面积，充分体现了生产设计者的智慧。这道题既涉及表面积又包含体积，此基础上，还可以追问煤的利用率问题，让单元知识相互关联，体现复习课的综合性。]

（二）易错题练习

师：一个小麦堆的底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重750千克。（π取3.14）这堆小麦大约重多少吨？

师：为什么题目不直接告诉我们圆锥的底面积，而是告诉我们底面周长呢？仅仅是为了增加解题难度吗？

[设计意图：这道题的计算思路很容易找到，但学生在求出等底等高的圆柱体积后，常忘记除以3。因此，笔者尝试联系生活设问，给易错题植入新的思考，抓住关键词“麦堆”，将学生带入情境，充分想象小麦堆的形状。再通过课堂设问：“为什么题目不直接告诉我们圆锥的底面积，而是告诉我们底面周长呢？”引导学生发现实际生活中，麦堆的底面积不易直接测出。]

（三）多解法对比练习

师：厂家想给长方体饼干盒的四周贴上漂亮的彩纸。罐头盒长12厘米，宽8厘米，高10厘米，至少需要多少平方厘米的彩纸？

[设计意图：这道题有两种解法，一种是将长方体四个侧面的面积分别相加，另一种是用“底面周长×高”来计算。两种解法都对，但体现了不同的思维水平。教师可请学生评价两种解法，让学生在比较中发现两种解法的列式看似符合乘法对加法的分配律，但在实际操作中却有不同意义。]

参考文献：

[1]施银燕.美国加州教材立体图形部分的编排特点与启示[J].小学教学（数学版），2016（4）.

[2] J.皮亚杰，B.英海尔德.儿童心理学[M].吴福元，译.北京：商务印书馆，1980.

（王欢，江苏省南京市竹山小学，邮编：211100）