化归思想在初中数学教学中的运用

尤春明

[摘  要] 在数学教学过程中，由于数学知识内容繁多，涉及的知识领域也很广泛，因此我们需要对相关的知識进行梳理，通过归类让学生更好地掌握同一类问题的解决方法. 这种方法叫作化归，通过化归思想，可以让数学问题简单化.

[关键词] 初中数学;化归思想;运用

在初中数学中常用的基本思想有：化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想，其中，化归思想既是各种思想方法的基础，又是各种思想方法的灵魂，堪称解决问题的法宝. 它几乎贯穿于全部中学数学内容，而且统领着众多的数学方法. 所谓化归，就是化简归纳，把复杂化为简单，未知化为已知，抽象化为具体，高维化为低维. 在数学教学中渗透化归思想，有助于发展学生的思维能力和解决问题的能力，进而提升学生的数学素养.

复杂化简单，逐个击破

复杂的问题通常都是由一个个简单的问题交织修饰而得来，许多难题都是经过简单题目的多重变形得到的. 因此，在解决此类问题时应先仔细观察推敲，找到基础知识点，再判断是如何变形，通过化归思想抽丝剥茧，拨开迷雾，抓住问题的本质，化分成若干个简单问题再逐个击破，以求解或是得到求解的启示，最终达到解决复杂问题的目的.

例如，有一道小立方块相关的问题：一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上，如图1，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，请计算被他涂上颜色部分的面积.

看到问题，学生很有可能认为分别计算立方体每一层的露出面积，最后相加即可. 本小题只有三层且边长都是整数、小数字，假若立方体堆四层、五层甚至若干层呢？假若边长的数字不是1分米这样简单的数字呢？此时我们还用笨方法一个个算出露出的面积再去相加吗？这种方法不仅费时费力，还不能保证正确率，稍有不慎，最后的答案就会算错. 此时我们可以换一种思维方式，改变一下划分露出面积的方式，看看会有什么变化. 于是，我们分别站在模型的正面，侧面和上面观察，将模型凹凸不平的露出部分化为简单的由若干个小正方形拼凑成的平面图形，再相加同样能够得到露出的面积！通过观察，我们不难发现从正面、侧面都有6个小正方形，从上方俯视可看到9个小正方形，所以，最后的面积可以通过正侧面的6个小正方形以及上方看到的9个小正方形的面积相加之和，即6×4+9，求得为33平方分米.

观察和分析是学生探索发现知识的重要手段. 教师要引导学生在观察中发现规律，在观察中将复杂问题简单化，运用各种方法实现转化，跳出思维的束缚，从而锻炼数学思维，提升数学能力.

未知化已知，冲出迷雾

数学问题是一张大网，每一个结点就是一个小的数学问题，众多数学问题都是可以直接或间接相互转化的. 解决数学问题如果像鱼在网中一样，只知道不断挣扎，拼命乱撞，这样不仅游不出去，还会越缠越紧. 因此我们需要抓住问题与问题之间的联系，将陌生未知的问题转化为熟悉已知的问题，在简单问题的基础上，一步一步演算，然后运用已有的知识储备或学习经验加以解决，实现知识的嫁接，这是我们学习的基本策略.

例如，如图2，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AB ∶ BC=6 ∶ 5，平行四边形ABCD的周长为110，面积为600. 求cos∠EDF的值.

分析可知，题目要求的cos∠EDF是无法直接得出的，因此可以考虑将其转化为我们所熟悉的直角三角形中的角. 已知四边形的内角和为360°，即∠EDF+∠EBF+∠DEB+∠DFB=360°，而∠DEB，∠DFB都是直角，所以∠EDF，∠EBF两角相加为180°，即互补;同时，由平行四边形的性质：邻角互补可知，∠BAD、∠EBF两角互补，所以∠EDF=∠BAD，这样就巧妙地将问题的焦点转移到了∠BAD上，同时这个角在直角三角形ADE中，要求其余弦值只需根据题目分别求出AE，AD的长度即可.

在这道题中，我们很好地运用了化未知为已知的解题方法. 因此，在以后的解题过程中，我们的思维不能受限，需要多重思考，看能否将未知问题化作已知的极易解决的问题，不遗漏每个细节，转化为熟悉的面孔. 这样从旧知识向新知识延伸，丰富了学习方法也增添了学习过程中的乐趣，更锻炼了学生的逻辑思维能力.

正面化反面，逆流而上

一个命题的题设和结论是因果关系的辩证统一体，解题过程中，如果按照直观的思维去解题往往会遇到麻烦，不能正常地完成解题. 这时，不妨从它的反面出发，逆流而上，也许另有捷径.

例如，在两个袋子中分别放有6张卡片，且每个袋子中的每张卡片分别标有1、2、3、4、5、6的不同数字，现在从两个袋子中任意各抽出一张卡片，则两张卡片上的数字之和不是7的概率是多少？

这道概率题想必让不少同学头疼过. 由于部分学生不知道怎么转化，所以会使用笨方法，将所有两个数之和的情况一一列举出来，那么需要分别求出两张卡片上的数字之和为2，3，4，5，6，8，9，10，11，12的概率然后相加，这样就比较烦琐，一不小心就会漏掉一种情况，导致满盘皆输. 而如果能反过来想，总的概率是“1”块蛋糕，如果吃掉“两张卡片上的数字之和为7”的那一份，剩下的不就是“数字之和不是7”的概率了吗？出现数字之和为7 的情况有1+6，2+5，3+4，4+3，5+2，6+1共六种情况，而总共可能的情况有6×6=36种，所以所求概率为1-6/36=5/6. 这样将所问的问题反过来想，会让问题容易许多.

当正面解决问题有困难时，我们可以尝试从反面入手，逆流而上. 这样不仅能起到意想不到的作用，而且还能锻炼学生的逆向思维能力.

不同化相同，找准方向

求“相同”、寻“不同”是非常重要的思想方法，化“不同”为“相同”同样也很重要，在函数问题中应用较为广泛，尤其是在函数的化简和求值中体现得十分明显.

当遇到这种题目时，我们不妨将一部分未知量当作一个整体，将其他未知量通过分析转化成相同的那部分未知量，然后另设一个未知数. 这样会比较直观，而且在之后的求解过程中，也不会因为未知数过多而出现计算错误. 这种通过将不同转化成相同的思想，在试题中经常出现，因此我们需要掌握好这一类问题的解决方法.

一般化特殊，拨开障碍

由“一般”向“特殊”的转化是一种具有方法论意义的思维形式，是人类认识世界的普遍规律，在数学中有着十分广泛的应用. 特别是在如选择题这类不需要写出具体解答过程、只需要填写正确答案的题目中，运用一般与特殊之间转化的思想会便捷许多. “一般”与“特殊”总是相对的，对于“一般”问题来说“特殊”问题的解决往往是比较容易的，可利用“特殊”问题中蕴含的本质联系，通过归纳思维引出“一般”问题的解法. 这种解决问题的方法叫作“特殊化法”，是一种把研究对象或要解決的问题从大范围缩小到较小范围或个别情况，甚至极端情况来考虑，实行“以退为进”的策略，对条件和结论之间关系不明确或题目本身很抽象的数学问题，用“特殊化”替代一般情况往往能起到化繁为简、化难为易的功效.

这里笔者举的具体例子是化归思想在选择题、填空题中的应用. 在解选择题、填空题时，当选择题、填空题结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个值时，可采用特殊化法. 特殊化法一般可取特殊值、特殊位置、特殊数列、构造特殊图形或几何体等.

这题是选择题，我们不必按部就班地进行整体化简，可以采取特殊赋值的方法，从而很轻松地解决这道题. 由题目已知，0>a>b，不妨取a=-1，b=-2，将特殊值代入题目需要化简的式子中，得出一个具体值，然后将其对照四个选项来判断，很快就可以选出正确答案.

在选择、填空题中，答案符合原题意即可. 所以在做选择题时我们可根据题意对问题中的未知数取特殊值或限定特殊范围，再对各选项进行排除，最后方可得到答案. 这种方法在考试中尤为方便，不仅可以节约时间，其准确率也是百分之百.

总之，化归思想可以渗透在教学的各个阶段、各个环节、各个教学内容，熟练掌握化归思想能使数学问题简单化. “授之以鱼，不如传之以渔”“教是为了不教”，在教学过程中教师应充分渗透各种数学思想，努力让学生在自主探索、合作交流、积极思考和实践操作的基础上领悟并驾驭数学思想，发展学生的思维，提升学生的数学素养.