例谈化归思想在初中数学中的应用

陈琪

[摘 要] 化归是一种重要的数学思想，它的使用可以让复杂问题简单化，让陌生问题熟悉化，让一般问题特殊化，让抽象问题具体化. 在初中数学教学中，教师要注意化归思想的渗透教育，本文结合教学实践，分析了化归思想在初中数学中的常见应用.

[关键词] 初中数学；化归思想；常见应用

化归思想广泛地出现在初中数学的教学内容和一般问题之中. 教学中教师有意识地渗透这一思想，引导学生对其进行理解和感受，能有效提升学生的科学素养，发展学生的思维能力和问题解决能力，为他们后续的数学学习打下扎实的基础.

将陌生问题化归为熟悉问题

初中生在处理数学问题时找不到相应的解题途径，往往是因为问题对他们来讲太过陌生. 面对此种情形，可以设法将问题化归为比较熟悉的问题，这样他们就可以用自己掌握得最为扎实的知识和方法对其进行处理. 比如含有多个未知数的方程组，我们可以采用代入法或加减法对其进行消元处理，进而将其转化为一元方程来进行求解；还有将单项式的乘除法运算转化为有理数乘除法与同底数幂乘除法运算、将多项式与单项式的乘除法转化为单项式的乘除法等. 这样的处理手段符合人类认知的一般规律，是对学生迁移思维的训练和发展，有助于学生对已有的认知进行深度理解和应用.

例1 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD，BC为其上下两底，AB=CD，两条对角线AC和BD相互垂直，并相交于O点，已知上底AD长为3，下底BC长为5，求对角线AC的长度.

分析 在处理梯形的有关问题时，我们往往要构建辅助线，例如将腰或对角线进行平移，或是延长两条腰等，由此构建三角形或是平行四边形，将原问题转化成我们所熟悉的三角形或平行四边形问题来进行解决. 这是一个基本思路，而在具体操作中还要结合问题的具体特点来选择合适的方法. 本题中有一个重要条件：两对角线相互垂直，这很容易让人想起直角三角形中特殊的边长关系，是否可以这样来实施化归呢？进一步研究发现，我们可以将对角线AC平移到右侧，即如图1所示，过D点画出AC的平行线，与BC的延长线交于E点，这就构成了一个等腰直角三角形，这样我们就可以运用三角形的知识对问题进行处理.

在运用化归思想来处理问题时，教师要指导学生找到恰当的化归目标，这样才能有助于降低问题处理的难度. 如果盲目地构建辅助线，随意地对问题进行变化，只会让问题更加复杂. 比如在对本题的处理中，如果是添加高或是将AC分解成OA与OC的和来计算答案，就使得问题的处理更加复杂.

将复杂问题化归为简单问题

將复杂问题进行简单化处理也是数学问题处理的常见做法. 在初中数学学习中，通过观察和研究，一个复杂而繁难的问题往往可以化归为若干个较为简单的问题，这种化整为零的方法易于学生步步为营、逐个击破. 教师以这种方法来引导学生对问题展开分析，能够降低对应问题的难度，从而有效对接学生的能力水平，同时使学生体验问题由繁到简的化归过程，也将帮助他们积累繁难问题的处理方法，提升他们问题解决的能力. 比如初中数学中，我们经常将多边形的问题化归为三角形的问题就是这一思想的体现. 再例如，探索“一元一次方程的解法”时，教师先要引导学生由简到繁地学习一元一次方程处理的基本步骤，在此基础上明确方程变换的基本目的：无论多么复杂的一元一次方程，我们都要设法将其转化为x=a的基本形式，这也就是方程的解. 而其他步骤都是为这最后一步服务，将复杂的方程逐步演化为其最简单的形式. 当学生在探索的过程中能够深刻领会一元一次方程不断移项、变化的本质和目的，他们也将深刻理解方程求解的一般化规律，这比死记硬背方程求解步骤更容易为学生所接受.

例2 图2为五个半径都等于1的圆，其圆心分别为A，B，C，D，E，则图中的五个扇形阴影区域的总面积为多少个平方单位？

分析 学生初次接触这个问题时可能会感到无处着手，按照一般化的处理，学生可能会先求出单个扇形阴影区域的面积，然后对其进行相加来求出最后的结果，这是非常困难的. 但是进一步思考却可以发现：因为圆的半径是一个已知数据，联系到扇形的面积计算公式，所以我们只要明确扇形所对圆心角的度数，即可确认答案的取值. 而且，我们还应该明确本题求解的是一个整体的结果，而并非单个扇形面积. 同时我们还可以发现这些扇形的圆心角正好是五边形的外角，这些角度的总和正好等于360°，所以答案也就非常明显了：图中扇形阴影区域正好拼凑成一个完整的圆形，总面积为π.

将一般问题化归为特殊问题

数学命题一般具有广泛性，即它的成立是针对一般情形而言的，但是在解决实际问题时，学生发现一般化的问题往往难以找到问题解决的突破口. 这种情形下，教师可以引导学生将这些问题向特殊情形进行化归，从而方便学生寻找问题的解决思路，这种化归思想源于“特殊寓于一般”的客观规律. 在特殊情形的问题解决之后，学生将从中受到启发，并最终形成一般问题的处理方法. 例如在引导学生研究一元二次方程的求解方法时，教师都是先采用配方法来得到方程的求根公式，而这一结论又恰恰对一般化的方程具有普遍的适应性. 再例如我们将圆进行五等分处理，从而得到了正五边形，在此基础上我们推广出结论：将圆进行n等分，可以得到正n边形，这些内容都体现出“由特殊到一般”的化归思想，通过这样的处理方法能够培养学生的创新意识和发散思维.

例3 图3所示为n个边长都等于1 cm的正方形，其中每一个正方形的中心恰恰落在另一个正方形的顶点上，求n个正方形的重叠区域的面积之和为多少？

分析 n个正方形对应着一种较为一般化的情形，初中生面对这种问题很难寻找到思路，教师可以启发他们先从最特殊的方面入手：研究两个正方形重叠区域的面积，如图4所示，可以证得：△ADM≌△ACN，如此即可将重叠区域的面积转化为△ACD的面积，也就是正方形面积的四分之一，以上就是从一般到特殊的转化. 然后由特殊回归一般的操作，学生将非常容易理解，单个重叠区域的面积为cm2，n个正方形可以形成n-1个重叠区域，因此最终的面积之和为cm2.

数与形之间的相互转化

在数学问题处理的过程中，我们发现某些数学问题采用对应领域中的知识进行处理，方法将非常复杂，效率也大打折扣，但是采用其他领域的知识进行解决，就显得很有技巧性，整个过程简易而新颖. 数形结合的分析方法就是上述思想的重要体现，华罗庚先生就很推崇这种做法. 他指出，“数缺形时则少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好”. 在初中数学的教学过程中，教师要注意这一方面思想的渗透，比如采用函数图像来研究函数性质，通过函数解析式来研究函数图像，这些就是数形结合思想的显著体现.

例4 方程-x2+5x-2=正根的个数为______.

分析 本题为一个分式方程，如果通过移项的方法将其化归为整式方程，就会出现三次项. 这明显超过学生理解的范围，所以这不是一种合适的化归. 那怎么处理这个问题呢？这就需要用到数形结合的思想了. 教师可以引导学生将“数”化归为“形”来进行研究，具体的做法是将上述方程转化成两个函数：抛物线y=-x2+5x-2与双曲线y=，分别构建它们的函数图像，从图5所示的情况可知，在x>0的范围内有两个交点，因此原方程有两个正根.

综上所述，化归思想有着灵活多样的应用形式，而且没有一个固定的界限，只是在使用时各有侧重. 而实质上，化归思想只是我们换一个角度来思考和分析问题，让思路朝着有利于问题解决的方向发展，这样的处理是采用多种方法来对同一个问题进行演绎，也正是数学研究的魅力所在.