探究一道多解 开拓发散思维

朱振华

摘  要：一题多解是对同一个问题从不同的角度进行观察和思考，沟通知识之间的联系，分析各种解题方法之间的差别，找到最佳的解法，对培养和开拓学生的发散思维能力有很大的帮助. 本文通过对一道高考数学题的几种解法的探究，旨在培养学生的发散思维能力及分析、解决问题的能力，以提升学生的解题能力.

关键词：一题多解;发散思维;培养

一题多解就是对同一个数学问题从不同的角度进行观察和思考，沟通知识之间的联系，进而分析各种解题方法之间的差别，并由此找到最佳的解法，对培养和发展学生的发散思维能力以及分析问题和解决问题的能力是极大的帮助. 因此，我们在中学数学教学中尤其是在高三复习课中提倡一题多解的深入探究，这对开拓参加高考考生的发散思维尤为重要. 笔者通过对近年一道高考数学题的几种解法的探究分析，旨在培养学生的发散思维能力及分析、解决问题的能力，以提升学生的数学思维品质.

题目 在△ABC中，已知·=3·.

（1）求证：tanB=3tanA;

（2）若cosC=，求A的值. （2012年江苏高考数学第15题）

解析：（1）因为·=3·，所以AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB，即AC·cosA=3BC·cosB.

由正弦定理，得=，所以sinB·cosA=3sinA·cosB. 又因为00，cosB>0.

所以=3·， 即tanB=3tanA.

（2）因为cosC=，0

由（1），得=-2，

解得tanA=1，tanA=-.

因为cosA>0，所以tanA=1. 所以A=.

评注：本题作为江苏高考数学第15题，虽难度不大，但考查了三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形、平面向量的数量积等知识，综合性比较强，并且对运算求解能力和推理论证能力做了考查. 在（1）中先将·=3·表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明;在（2）中由cosC=可求tanC，由三角形的三角关系，得到tan[π-（A+B）]，从而根据两角和的正切公式和（1）中的结论即可求得A的值.

以上是江苏教育考试院给出的一种参考解答，对本题第（2）问也可以采用这样几种解法，供大家参考.

解法1：因为cosC=，0

由（1），tanB=3tanA，B=π-（A+C），得 -tan（A+C）=3tanA，-=3tanA.又tanC=2，所以tanA=1，A=.

评注：这种解法直接通过cosC=>0、角C为三角形的内角，将角C缩小为0

解法2：由cosC=，0

所以sinA·+cosA··cosA=-3cosA·-sinA·sinA，即4sinAcosA=6sin2A-2cos2A=6-8cos2A，故sin2A+2cos2A=1.

又sin22A+cos22A=1，解得sin2A=1或-. 因为0<2A<π，所以sin2A=1，所以2A=，A=.

评注：本解法也是在高考过程中很多学生一开始想到的一个思路，通过已知cosC=，由余弦想到要求出A的正余弦值，但是在具体操作过程中直接求出单角A不是太容易. 由（1）中sinBcosC=3cosBsinA，B=π-（A+C），转化为关于A，C的三角关系式，特别是转化到sin2A+2cos2A=1. 解出sin2A=1或-是本解法的关键.

解法3：由cosC=，0

评注：本解法同样是求出角A的某个三角函数值，从而求出角A.但在本题解法中，我们用到了三角形中的一个结论：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，又根据（1）的结论tanB=3tanA，得出4tanA+2=3tan2A·2，进而求出角A的正切值tanA=1.

解法4：由·=3·，

得bccosA=3accosB.

又cosA=，cosB=，

所以2a2-2b2+c2=0，而cosC=，所以=，所以=，=，所以cosA==，所以A=.

评注：本解法完全打破了前面几种解法的解题思路，而是利用余弦定理将bccosA=3accosB，转化为边的关系：2a2-2b2+c2=0，=，=，再次利用余弦定理求出cosA=，由角转边，再由边转角不失为一种较好的思路.

反思：对于考生来讲，由于在思维的角度、水平和方式等方面存在差异性，故在考试过程中想到或快速找到的解决方法也不同. 很多考生解决时往往根据cosC的条件，可能只想到求出sinA或cosA，阻碍了思路，因此没有很顺利地找到最佳方法，也影响了考试时的心态.如果能拓宽思路，转化角度，发散思维，用提供的第一种解法求出tanA，这个问题就迎刃而解了，而本文的另外几种解法给大家开阔了思路，对培养学生的发散思维有一定的帮助.

一题多解作为数学解题教学的一种常见方法，对学生发散思维能力的培养和提高有较大的作用，也是创新能力，分析、解决问题能力的培养的有效方法之一. 一题多解的思维策略往往要注重联想、类比、反思，把一个新的问题转化为某一个已经解决或较易解决的问题，最终实现问题的解决，同时对学生学习负担的减轻，提高学生学习数学的效率大有帮助. 探究一题多解，开拓发散思维，激发学生的创新思维，使学生能够全面地发展成为具有探索科学精神，拥有良好创新思维品质的新时代高素质人才.