诱导公式应该换代

何秀杰

摘  要：现行教材下的诱导公式具有两大问题：由诱导公式本身给出的运算规则，只能得出结果的绝对值，不能确定符号，因此是半个完全公式，尚待完善;诱导公式太多，有6组，每组4个共24个，其符号需另外再看象限及函数名称来确定，也有24种，相当复杂. 对此，本文给出一组新的诱导公式，并将其应用于具体的例子中.

关键词：三角基本性质;诱导公式;升级换代

笔者认为现行教材下的诱导公式具有如下问题：由诱导公式本身给出的运算规则，只能得出结果的绝对值，不能确定符号，因此是半个完全公式，尚待完善;诱导公式太多，有6组，每组4个共24个，其符号需另外再看象限及函数名称来确定，也有24种，相当复杂.

下面介绍一组新公式

sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα， n∈z.

可以解决上述问题.

证明如下：

证法一：由和角公式Sα+β，sin（nπ+α）=sinnπcosα+cosnπsinα=cosnπsinα=（-1）nsinα，（cosnπ=（-1）n）.

由和角公式Cα+β，cos（nπ+α）=cosnπcosα-sinnπsinα=cosnπcosα=（-1）ncosα.

所以sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα， n∈z.可见公式nπ+α是独立于诱导公式之外的新公式，显然nπ+α（n∈z，α∈R）包含2kπ±α，π±α，且结果的符号由公式中的（-1）n自动确定.

下面介绍公式nπ+α的几何意义.

证法二：如图1，将任意角α的终边OP1绕原点O旋转π，得角π+α，这时点P1到达P2，由于P1，P2关于原点对称，设P1（x，y），则P2（-x，-y），令OP1=r，由此

sinα=，cosα=，

sin（π+α）==-sinα，

cos（π+α）==-cosα，

所以sin（π+α）=- sinα，

cos（π+α）=-cosα.

由于α的任意性，则

sin（2π+α）=sin[π+（π+α）]=-sin（π+α）=-（-sinα）=（-1）2sinα，

sin（3π+α）= sin[π+（2π+α）]=-sin（2π+α）=（-1）3sinα，

一般地，sin（nπ+α）= （-1）nsinα（n∈z+）.

同理，cos（nπ+α）= （-1）ncosα（n∈z+），

显然，tan（nπ+α）=tanα（n∈z+）.

若将角α的终边OP1绕原点O旋转-π，得角-π+α. 这时点P1（x，y）仍到达点P2（-x，-y）的位置.

显然sin（-π+α）=-sinα，

cos（-π+α）=-cosα，

采取同样的过程可以得到

sin（-nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z+），

cos（-nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z+）.

又（-1）-n==（-1）n.

所以，sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），

cos（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z）.

这样我们得到下面公式：

对于任意角α，有

sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），

cos（nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z）.

这个证法构造了公式nπ+α的几何意义，这是一个动态的模型，它直观地告诉了我们一个重要规律：sinα，cosα随角的变化，每增加一个π（-π），函数值改变一次符号，绝对值不变. 它的代数表达即公式：

sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），cos（nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z）.

有了这组公式，再与–α的公式配合，就可将任意角的三角函数转化为同名的锐角三角函数. 这样就可用公式nπ+α替代2kπ±α，π±α，所以同时用二组公式2kπ±α，π±α解决的问题，用公式nπ+α一次就解决了. 因此用nπ+α解答问题，一般可将过程精减一半，且符号随（-1）n（n∈z）给出，省去了用诱导公式“符号看象限”最复杂的部分，因此题的难度至少降低.

在应用nπ+α时，

1. 将角化为nπ+α（n∈z）的形式.

2. 当n为偶数时，符号为“+”，当n为奇数时，符号为“—”，转化为同名三角函数.

例1 求下列三角函数的值

（1）cos1290°=cos（7×180°+30°）= -cos30°=-，

（2）2kπ+α，π+α.

下面用2kπ+α，π+α来解：

（1）解：cos1290°=cos（360°×3+210°）=cos210°=cos（180°+30°）

=-cos30°=-.

后者增加了两个步骤，又有两次“符号看象限”复杂的判断.

（2）解：sin-π=-sinπ= -sin4π+π=-sinπ=-sinπ+

=sin=.

后者增加了两个步骤，又有两次“符号看象限”复杂的判断.

比较前后两种解法，使用公式nπ+α过程减少，难度至少降低3/4.

例2 （2011武汉调研）已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零实数，又知f（2011）=-1，求f（2012）的值.

用公式2kπ±α，π±α来解（标准答案）：

f（2011）=asin（2011π+α）+bcos（2011π+β）

=asin（2010π+π+α）+bcos（2010π+π+β）

=asin（π+α）+bcos（π+β）=-asinα-bcosβ

=-（asinα+bcosβ）=-1，

所以asinα+bcosβ=1

所以f（2012）=asin（2012π+α）+bcos（2012π+β）=asinα+bsinβ=1.

用公式nπ+α来解：

f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）=（-1）xasinα+（-1）xbcosβ，

f（2011）=（-1）2011asinα+（-1）2011bcosβ= -asinα-bcosβ=-1，

所以asinα+bcosβ=1，

所以f（2012）=（-1）2012asinα+（-1）2012b·cosβ=asinα+bcosβ=1.

比较两种解法：后者，一经代入公式，即将前者复杂的化简过程精减掉，难度降至初中二年级水平，简单得令人兴奋！

以下二例摘自《世界著名三角学经典著作钩沉》平面三角卷P95，哈尔滨工业大学出版社.

例3 已知n用7除余3，化简

cos-π+cosnπ-π+cosnπ-π.

解：设n=7k+3，则

原式=cosπ-π+cosπ-π+cosπ-π

=coskπ-+cos（3kπ+1）π++cos（5k+2）π-

=（-1）kcos+（-1）3k+1cos+（-1）5k+2·cos

=（-1）k+1cos+（-1）k+2cos=0.

例4 化简sinx+n，n∈N.

解：当n为偶数时，∈N，

所以sinx+n=sinx+π=（-1）sinx;

当n为奇数时，设n=2k+1，则

sinx+（2k+1）=sinx+kπ+=（-1）ksinx+=（-1）kcosx=（-1）cosx.

在探索公式nπ+α的证明中，我们发现了sinα，cosα随α的变化，每增加一个π（-π），函数值变更一次符号，绝对值不变. 这一规律的推论，可得sinα，cosα的周期是2π;这一规律的代数表示，即公式

sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα，n∈z，α∈R.

由于这个规律角的间隔是π，这是使函数值具有代数规律性变化的最小的角的间隔，2kπ是π的整数倍，故2kπ±α（k∈N）是nπ+α（n∈z，α∈R）的个例，因此可用公式nπ+α更替π四组公式，使诱导公式得以换代. 又因为在角的间隔为π时，又有确定的用代数式表示的函数值相对应，使公式的结果含符号，结束了“符号看象限”的时代！同时又使诱导公式由半个完全公式升格为1个完全公式，这是三角学的历史性进步！

这还说明理论上的微小发现，可以带来实用计算上的飞跃发展！

由于sin+α=sin-（-α）

=cos（-α）=cosα，

cos+α=cos-（-α）=sin（-α）= -sinα，

所以，公式+α可归并于-α，这样新一代诱导公式就为：

sin（-α）= -sinα， cos（-α）= cosα①

（-α）

sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα，tan（nπ+α）=tanα.（n∈z）②（nπ+α）

sinα=cosα，cosα=±sinα ③α

共三组，较现行的六组精减了一半.

关于符号，-α的函数符号全部为“+”，只有-α的函数符号有变化，又由于角α，-α的终边关于x轴对称，α与-α的余弦线相同，正弦线是相反数，

所以cos（-α）=cosα，sin（-α）=-sinα，这就彻底结束了“符号看象限”的时代！