2014高考数学江苏卷第17题有纰谬

郭继强

摘  要：确定椭圆的方程只需两个独立的条件，而2014高考江苏卷17题却给出了三个互相独立的条件，故其存在多条件的问题，通过笔者的分析、演算得以验证，并且给出了改进的题目.

关键词：高考;江苏;椭圆;条件;纰谬

笔者近期认真研读了2014高考数学江苏卷，觉得第17题存在一定的纰漏.原题如下：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A 作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.

（1）若点C的坐标为，，且BF2=，求椭圆的方程;

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.

图1

笔者认为此题的第（1）问存在多条件的问题，作为高考题实为不妥，因为这样显得非常不严谨，违背了出一道数学题的基本理念，给做题者带来一定的误导.

我们知道确定一个椭圆，只需两个相互独立的条件即可，然而此题在求解椭圆方程时，却给出了三个相互独立的条件：（1）C，;（2）BF2=;（3）B，F2，A三点共线，非常不严谨. 标准答案是根据条件（1）和（2）求解的，当然很快就能完成. 实际上，从这三个条件中任选两个均可求解，下面笔者作出演示：

首先就去掉BF2=这一条件进行求解：

由以上的条件（1）可得+=1.

①

由条件（3）可得kBF2=kAF2？圯-=？圯4b-3bc=c. ②

由②可得c=，再由b2+c2=a2可得b2+=a2，再将此式代入①整理：27b3+9b2-3b-33=0？圯（b-1）（27b2+36b+33）=0此方程只有唯一解，即b=1，因为方程27b2+36b+33=0无实数解，从而可得a=，所以椭圆的方程为+y2=1.

接下来，笔者就去掉C，这一条件进行求解.

首先由条件（3）可得4b-3bc=c？圯c=，再由b2+=a2，因为BF2=，即a=，所以b2+=2，整理可得

9b4+6b3-b2-12b-2=0？圯（b-1）（9b3+15b2+14b+2）=0. （*）

下面研究方程9b3+15b2+14b+2=0的实数解：

构造函数f（x）=9x3+15x2+14x+2，因为f ′（x）=27x2+30x+14，所以f ′（x）>0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，不难发现f（0）=2>0，f（-1）=-6<0 所以函数f（x）的零点在区间（-1，0）上，而b>0 ，所以方程（*）只有b=1，所以椭圆的方程为+y2=1.

事实上，本题只要将题干中的条件的位置稍作修改，就无懈可击了. 改题如下：

如图2，在平面直角坐标系xOy中， F1，F2分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b）.

图2

（1）若点C的坐标为，，且BF2=，求椭圆的方程;

（2）连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C，若F1C⊥AB求椭圆离心率e的值.

笔者认为，一道数学题中的条件不可少，当然也不可多，特别是高考题，条件多余会给考生一个误导，同时也显得不够严谨. 笔者认为出题人的本意可能是如果不给出条件BF2=，计算量就会过大，而且也会有超出考试大纲的嫌疑，所以加上了这个条件，这个条件加得既巧妙又贴切，如果单单从考生的角度出发，是件好事，不过要是能够将此题做出改进会更好.