用向量探讨直线方程

周佳

摘  要：本文从向量和直线在判断平行、垂直时结论的相似性出发，来探讨向量与直线的联系，并利用向量作为工具来讨论直线中的夹角问题、点到直线的距离问题.

关键词：向量;平行;垂直;夹角;点到直线的距离

我们知， 对于直线l1：A1x+B1y+C1=0（A1，B1不全为0），l2：A2x+B2y+C2=0（A2，B2不全为0），有l1∥l2？圳A1B2=A2B1，A1C2≠A2C1，l1⊥l2？圳A1A2+B1B2=0.

对于向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），有a∥b？圳x1y2=x2y1，a⊥b？圳x1x2+y1y2=0.

从上面两个结论可以看出，直线和向量在判断平行垂直时非常相似，二者必然有一定联系，下面从几个方面探讨.

直线的平行与垂直

对于直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），先讨论A≠0，B≠0的情况，直线斜率为k=-=，易构造向量（B，-A）∥l，又与l垂直的直线斜率为k==，则向量（A，B）⊥l.

易验证当A=0或B=0时，上述结论仍然成立.

则对于直线l1：A1x+B1y+C1=0（A1，B1不全为0），有向量（B1，-A1）∥l1，向量（A1，B1）⊥l1，同理对于直线l2：A2x+B2y+C2=0（A2，B2不全为0），向量（B2，-A2）∥l2，向量（A2，B2）⊥l2.

因为当向量（B1，-A1）∥（B2，-A2）时，有A1B2=A2B1，则直线l1∥l2时，也有A1B2=A2B1.

因为当向量（A1，B1）⊥（A2，B2）时，有A1A2+B1B2=0，则直线l1⊥l2时，也有A1A2+B1B2=0.

从而探讨出直线和向量在判断平行垂直时相似的原因.

用向量求直线的夹角

当直线l1与l2相交时，设夹角为θ（0<θ≤），由一知向量（B1，-A1）∥l1，向量（B2，-A2）∥l2，则向量（B1，-A1）与（B2，-A2）的夹角为θ或其互补角.

则利用向量的夹角公式推得cosθ=（B1，-A1）？摇×（B2，-A2）？摇

=.

用向量法另证点到直线的距离公式

设点P（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0，且Ax0+By0+C0≠0），我们知道教材中关于点到直线的距离公式的推导运算是比较麻烦的，下面用介绍两种用向量推导的方法，并进行比较.

方法一：如图1，过P作PN⊥l交l于点N，在l上选取一点不同于N的点M（x1，y1），则Ax1+By1+C=0.

图1

由一知向量（A，B）⊥l，则（A，B）∥. 又向量（x1-x0，y1-y0）∥，则∠MPN为向量（A，B）与（x1-x0，y1-y0）的夹角或互补角，由二知，=×cos∠MPN=×（A，B）？摇×（x1-x0，y1-y0）？摇

=×

=

=.

（根据Ax1+By1+C=0得）

方法二：由一知向量（A，B）⊥l，所以（A，B）∥，由共线定理知，存在λ，使得=λ（A，B）=（λA，λB），则点N（λA+x0，λB+y0），由于点N在l上，将点N代入l方程得：A（λA+x0）+B（λB+y0）+C=0，

解得λ=-.

所以=（λA，λB）=λ·=×=.

上面两种方法可以看出向量作为一个工具来推导点到直线的距离公式比直接用平面几何方法推导要简洁很多.

小结

本文从三个方面用向量探讨了直线，可以看出向量和直线方程之间确实是紧密联系、相互渗透的，而且向量也是一直探讨直线方程的有效工具.