挖掘题目隐含条件，寻找解题突破口

周瑞明

摘  要：在数学解题教学中，教师要经常引导学生在解答完题目后进行再思考，从重视一题多解、重视一题多变到培养学生抓住问题本质的能力，进一步来巩固所学知识和提高其解题能力，充分发挥数学解题教学的价值，让数学解题教学取得更好的效果.

关键词：数学教学;解题

在今年的高三复习备考中，笔者在函数的二轮复习中碰到了一道试题：2009年山东数学理科卷16题. 为了提高高三数学课堂复习的效率，对题目进行深入的挖掘是一种很好的途径，特别是历年的高考试题. 本文将对该题目的探究历程以试题解析、探究拓展、反思回顾等环节展现出来，供同仁参考.

原题呈现：（09山东数学理科卷16）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=___________.

试题解析

f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），此式隐含如下条件：函数图象关于直线x=-2对称且f（0）=0;又由f（x-4）=-f（x）可得f（x-8）=f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，这是从条件得到的另一个隐含条件. 这时函数f（x）具有的性质就都暴露出来了，图象也就很容易画出来. 如图1所示，方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1

由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

【命题立意】  本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

探究拓展

探究一：改变条件，巩固相关知识

将试题中的“奇函数”改成“偶函数”，“f（x-4）=-f（x）”改成“f（x-4）=f（x）”，问题改成：则方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上实根的个数为：________.

分析：根据条件变化可画出函数f（x）的图象如下：

图2

此时不难得到方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上实根的个数情况：0个、4个或8个.

探究二：弱化条件，提高问题难度

在问题中若将条件m>0去掉，则x1+x2+x3+x4的值会不会改变，如果会，答案又是什么？

分析：当m>0时同上;

当m=0时，方程f（x）=m在区间[-8，8]上有五个不同的根，不合题意;

当m<0时，方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上的四个不同根分别关于直线x=-2与直线x=6对称，所以x1+x2+x3+x4=-4+12=8.

综上得x1+x2+x3+x4=-8或8.

说明：去掉条件m>0后，题目不仅考查了函数的相关性质，还涉及分类讨论的思想，思维量增加，难度加深，更能考查学生运用数学知识的能力.

探究三：增加条件，命制新题

将问题增加一个条件，就可以改变问题的提问方式. 将问题改造为：

变式1：已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），在区间[0，2]上是增函数且f（2）=3，若方程f（x）=m在区间[-8，8]上恒有四个不同的根，则实数m的取值范围是________.

分析：结合问题的图形不难得到实数m的取值范围为（-3，0）∪（0，3）.

说明：通过改造本题不仅综合考查了抽象函数的性质，以及由函数图象解答方程问题，还涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化与化归思想.

探究四：反思解法，拓展创新

变式2：已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-100，100]上的根从左向右依次记为a1，a2，a3，a4，…，则数列{an}的项数为________，所有项的和Sn为________.

图3

分析：结合图象及函数的周期性（T=8）不难得到数列{an}的项数为50，并且数列{an}的前两项之和a1+a2，次两项之和a3+a4，再两项之和a5+a6，…，构成等差数列，

所以S50=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a49+a50）

=2·（-94）+2·（-86）+…+2·98

=2·（-94-86-78-…+98）

=100.

说明：通过改编，变式2涉及的知识面更广，不仅有抽象函数的性质，还与数列的分组求和紧密联系起来，这就对学生分析问题、解决问题的能力提出了更高的要求，同时还考查了学生运算求解能力.

反思回顾，透析本质

从问题的解答过程可以看到，由题目的已知条件：奇函数和关系式f（x-4）= -f（x）得到函数关于直线x=-2对称是非常关键的一步. 而关系式f（x-4）=-f（x）实际上隐含着周期性，也就是由函数的奇偶性、周期性可以得到函数具有对称性，因此可以得到一般情况下的结论：

性质1 若f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+a）=f（x-a），a∈R+，则f（x）的图象关于直线x=a对称，即f（x+a）=f（a-x）.

证明：f（x+a）=f（x-a）=f[-（a-x）]

=f[（a-x）]，

所以f（x）的图象关于直线x=a对称.

性质2 若f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+a）=f（a-x），a∈R+，则函数f（x）为周期函数，即f（x+2a）=f（x）.

证明：f（x）=f[a-（a-x）]=f[a+（a-x）]

=f（2a-x）

=f[-（x-2a）]

=f（x-2a），

所以f（x+2a）=f（x），即f（x）为周期函数.

性质3 若f（x）为定义在R上的函数，关于直线x=a对称，即f（x+a）=f（a-x），且满足f（x+a）=f（x-a），a∈R+，则函数f（x）为偶函数，即f（-x）=f（x）.

证明：因为f（x+a）=f（a-x），f（x+a）=f（x-a），a∈R+，

所以f（a-x）=f（x-a），

所以f（-x）=f[a-（x+a）]=f[（x+a）-a]=f（x），

即函数f（x）为偶函数.

性质4 若f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x+a）=-f（x），a∈R+，则f（x）的图象关于直线x=对称，即f+x=f-x.

性质5 若f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f+x=f-x，a∈R+，则函数f（x）是以2a为周期的周期函数，即f（x+2a）=f（x）.

性质6 若f（x）为定义在R上的函数，关于直线x=（a∈R+）对称，即f+x=f-x，且满足f（x+a）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）.

说明：从上面我们可以发现如果一个函数具有：奇偶性、周期性、对称性中的两个，那就可以推出它具有第三个性质. 这就是题目的隐含条件，能否找出隐含条件经常是解决问题的突破口. 对于以上性质我们只要知道有这么一种情况就可以，不需要去死记硬背，但关键要掌握推导方法.

结束语

目前，我们都有一个共识，那就是减轻学生数学学习的负担，让他们轻松而愉快地学习数学和学好数学. 对于这一点，笔者认为，只有教师跳入“题海”，进行大量的对试题的文化价值、思维价值、方法价值、教学价值的研究、思考和总结，才能够达到“通过对有限道题的解题教学，让学生领悟一种解许多道题甚至是无限道题也未必能生成的数学机智”的效果，也才能让学生真正地跳出题海，提高数学能力同时学会数学，从而真正减轻学生的学习压力.