参数方程几何构造圆锥曲线轨迹探究

洪朝晖

摘  要：计算机软件可以直观形象地理解曲线参数方程中参数的几何意义，并由此看到在参数控制下的曲线形成过程. 本文探讨在几何画板软件中，以参数方程为原理，利用轨迹操作构造圆锥曲线的主要思路与方法.

关键词：参数方程;曲线轨迹

几何构造轨迹简介及绪论

圆锥曲线的表示形式主要有：定义、标准方程、极坐标方程与参数方程，其中，定义绘制圆锥曲线并不困难，但是其做法的适用范围则非常局限，标准方程与极坐标方程涉及数量的乘除运算，这在几何操作中难以实现.本文探讨在几何画板软件中，以参数方程为原理，利用轨迹操作构造圆锥曲线的主要思路与方法. 允许使用的操作有：

◆ 在曲线上取一点;

◆ 作直线、线段、射线;

◆ 过一点作一直线垂线;

◆ 过一点以一线段长作圆;

◆ 取直线与圆、直线与直线的交点;

◆ 取相关联的两点，绘制一点自由移动时另一点的轨迹.

由以上的基本操作，给定所需点，可以绘制圆锥曲线.

椭圆、双曲线与抛物线的作图

（1）如图1，给定点P，Q，R（PQ⊥PR），要求绘出以P为中心，以PQ为长半轴，以PR为短半轴的椭圆.

？摇？摇考虑椭圆的参数方程x=acosθ，y=bsinθ， 利用圆中的三角函数线，完成所需操作.

作图步骤：

1. 连接直线PQ，PR;

2. 以P为圆心，分别以PQ，PR为半径作圆C1，C2;

3. 取C1上一点M，连接PM，与C2交于K;

4. 过K作PR的垂线，过M作PQ的垂线，两垂线交于S;

当M在C1上移动时，S的轨迹即为所求椭圆，在这一过程中，有∠MPQ=θ，S（acosθ，bsinθ）.

对于双曲线，注意到x=asecθ，y=btanθ，可以有类似的操作方法.

（2）如图2，给定点P，Q，A（PQ⊥PA），要求绘出以P为中心，以PQ为实半轴，以PA为虚半轴的双曲线.

作图步骤：

1. 连接直线PQ，PA;

2. 以P为圆心，分别以PA，PQ为半径作圆C1，C2，C1与PQ交于D;

3. 取C2上一点B，作直线BP;

4. 过B作BP的垂线，与PQ交于C，过D作PQ的垂线，与BP交于E;

图2

过C作PQ的垂线，过E作DE的垂线，两垂线交于F，当B在C2上移动时，F的轨迹即为所求双曲线. 过程中，有∠DPB=θ，F（asecθ，btanθ）.

（3）如图3，给定点P，Q，要求绘出以Q为焦点，以PQ中点O为顶点的抛物线.

图3

对于抛物线，有 x=，y=，因此同样可以制作轨迹，抛物线的参数方程与其他两者稍有区别，应另外作图.

作图步骤：

1. 连接直线PQ，作PQ中点O;

2. 取PQ上一点M，以M为圆心，2PQ为半径作圆C1，过M作PQ垂线与圆C1交于H，连接OH;

3. 以O为圆心，以OM为半径作圆C2，过O作PQ垂线与圆C2交于G;

4. 过G作OG的垂线，与OH交于F.

当M在射线OQ上移动时，F的轨迹即为所求抛物线的上半部分.

镜像进行操作，即可得到抛物线下半部分E的轨迹. 在此例中，∠HOM=θ，F，.

圆锥曲线的另一种绘制方法

根据圆锥曲线的定义，以下的绘制方法也是可行的，但这种方法适用范围窄，故仅就椭圆作法加以简单介绍.

如图4，该作图方法的主要原理是，先作出焦点，而后过焦点作定半径的圆，两圆相交的点的轨迹即为椭圆，具体步骤不再详述.

推广

本文所述利用参数方程与三角函数线构造曲线的方法并不限于圆锥曲线. 事实上对于参数方程为三角形式的曲线，均有类似的做法，以下举两例，同上不再详述作图步骤.

先考虑x=acosθ，y=bscsθ，即+=1，如图5.

图5

再有x=btanθ，y=ascsθ，即-=1，如图6.

图6

以上思想均是相同的. 故不给出具体步骤，也不再举他例佐证.

总结

在圆锥曲线的几何轨迹表达中，可以发现它的方式与函数式表达有很大区别. 由于不能进行数量关系的运算，这让教材中圆锥曲线的方程难以直接使用;而结合三角函数线的参数方程则给予了我们很大的方便，可以仅仅运用垂直与圆的性质产生数量关系，从而进一步达到构成轨迹的目的. 同样地，这一方法也不仅限于圆锥曲线，可以通过改善，刻画更复杂的参数曲线运动.