2014年江苏高考卷上“恒成立”问题剖析

黄国丽

摘  要：本文以2014年江苏高考卷上与恒成立有关的4道题目为基本素材，对恒成立问题进行剖析. 恒成立问题一直是高考中的重点、热点问题，今年江苏高考卷上还出现了以恒成立问题为背景的应用题，命题的新颖性与创造性进一步加强. 恒成立问题综合性较强，常渗透着数形结合、函数与方程、分类讨论、化归与转化等重要数学思想，有效地考查学生对数学思想方法的领悟程度，考查了学生的思维能力和解题能力.

关键词：恒成立;参数;数形结合;应用题;函数

恒成立问题一直是高考中的重点、热点问题，涉及内容较多，可考查函数、数列、不等式、导数、数学归纳法及应用建模等诸多方面的知识，题目灵活多变，综合性强. 以恒成立问题为背景的创新题多，可培养学生分析问题、解决问题、综合运用知识的能力. 因此每年许多省市的高考题中都会有此类问题出现. 本文以2014年江苏高考卷上的4道与恒成立相关的问题为基本素材，对“恒成立”问题做如下剖析.

含参数不等式（或等式）中的恒成立问题常用分离参数法

在解决不等式（或等式）恒成立问题时，用得较多的一种方法就是分离参数法. 当参数可以分离时，就把所需考查的某个参数a从不等式（或等式）中分离出来，变形为形如a>f（x）或a

例1  （2014江苏高考第19题）已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.

（1）证明：f（x）是R上的偶函数;

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;

解析：（1）略;第（2）个问题是一种典型的含参数不等式的恒成立问题，此类问题的方法是分离参数m，转化为m≤g（x）的形式，再通过研究g（x）的最值来得到m的范围.

解：（1）？坌x∈R，f（-x）=e-x+ex=f（x），所以f（x）是R上的偶函数.

（2）解法一：由题意，m（e-x+ex）≤e-x+m-1，即m（ex+e-x-1）≤e-x-1.

因为x∈（0，+∞），所以ex+e-x-1>0，即m≤，对x∈（0，+∞）恒成立.

令t=ex（t>1），则m≤对任意t∈（1，+∞）恒成立.

因为=-= -≥-，当且仅当t=2即x=ln2时，等号成立.

所以m≤-.

（2）解法二：由题意，m（e-x+ex）≤e-x+m-1，即m（ex+e-x-1）≤e-x-1.

因为x∈（0，+∞），所以ex+e-x-1>0，即m≤对x∈（0，+∞）恒成立，

令g（x）=，t=ex（t>1），所以g（t）==，

即m≤g（t）对任意t∈（1，+∞）恒成立，

因为g′（t）=，

所以g（t）的单调减区间为（1，2），g（t）的单调增区间为（2，+∞）

所以当且仅当t=2即x=ln2时，g（t）的最小值为g（2）=-，

所以m≤-.

点评：解决此类问题时注意运用函数与方程的思想，化归与转化的思想来解决问题.

利用数形结合的思想来研究恒成立问题

有时恒成立问题如果用分离参数的方法往往需要讨论，甚至难以分离出参数，这时我们可以通过将不等式（等式）整理成一边为函数，另一边为常数的形式，从而问题又转化为研究一个函数的最值问题，而对函数可利用数形结合的思想画出图象，直观、自然地想到解决问题的方法. 比如对于一元二次函数f（x）=ax2+bx+c分别作开口向上和开口向下两种情况，容易发现：当a>0时，若对于任意x∈[m，n]都有f（x）<0恒成立，则f（m）<0，f（n）<0;当a<0时，若对于任意x∈[m，n]都有f（x）>0恒成立，则f（m）>0，f（n）>0.

例2  （2014江苏高考第10题）已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________.

解析：本题也是一道恒成立问题，可用分离参数法，将mx<1-x2中的x分离过去. 因为x∈[m，m+1]，所以需要讨论x的正负，需要讨论m与-1，0的关系. 如果我们研究这个不等式的左边的函数，发现这个二次函数开口向上，要对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，只要两个端点处f（m）<0，f（m+1）<0即可，这样问题就可以顺利地得到解决.

解：由题意，二次函数f（x）=x2+mx-1的开口向上，要对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，只要

f（m）<0，f（m+1）<0？圯

f（m）=m2+m2-1<0，f（m+1）=（m+1）2+m（m+1）-1<0？圯-

点评：恒成立问题虽然用得较多的一种方法是分离参数法，但分离参数需要讨论时，常常不分离参数，而用研究整体函数的思想便可以避免讨论，从而达到简化的目的. 研究整体函数时，有时还需要借助于导数这个工具来作出函数的图象，通过数形结合的思想，可以直观、快速地使恒成立问题得到解决.

以恒成立问题为背景的应用题要弄清恒成立问题的本质

2014年江苏高考卷上试题涉及恒成立的问题类型广泛. 其中还以恒成立问题为背景设计了应用题，其命题具有鲜明的时代特征，体现出命题的新颖性与创新性.

例3  （2014年江苏高考第18题）

如图1，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆. 且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于800 m. 经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处（OC为河岸），tan∠BCO=.

（1）求新桥BC的长;

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

图1

解析：第（1）题略;（2）求面积最大，即求半径最大，设MD=r m，OM=d m（0≤d≤60），由于第（1）小题有两种常用解法，就导致第（2）题也有两种方法用d来表示半径r，从而得到统一的r=，题目中的O和A到圆M上任意一点P的距离均不少于80 m，这其实就是以恒成立问题为背景的一道应用题，问题的本质是要OP≥80，AP≥80.先研究要OP≥80，由于OP≥MP-MO恒成立，所以问题转化为：因为OP≥r-d恒成立，要OP≥80，根据子集间的关系，只要r-d≥80;同理要AP≥80，只要r-（60-d）≥80，从而得到r与d就满足的不等式，再将r=代入，得d的取值范围，再利用d的取值范围求出半径最大值，问题得到解决.

解法一：

（1）如图2，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

图2

由条件知A（0，60），C（170，0），

直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -.

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kBC=.

设点B的坐标为（a，b），

则kBC==- .

kAB==.

解得a=80，b=120.所以BC==150.

因此新桥BC的长是150 m .

（2）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m（0≤d≤60），

由条件知，直线BC的方程为y=-·（x-170），即4x+3y-680=0，

由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r，

即r==.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，

所以r-d≥80，r-（60-d）≥80，

即-d≥80，-（60-d）≥80，

解得10≤d≤35.

故当d=10时，r=最大，即圆面积最大.

所以当OM=10 m时，圆形保护区的面积最大.

解法二：（1）如图3，延长OA，CB交于点F.

图3

因为tan∠BCO=，所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.

因为OA=60，OC=170，

所以OF=OCtan∠FCO=，

CF==，从而AF=OF-OA=.

因为OA⊥OC ，

所以cos∠AFB=sin∠FCO=.

又因为AB⊥BC，

所以BF=AFcos∠AFB=，

从而BC=CF-BF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m（0≤d≤60）.

因为OA⊥OC，

所以sin∠CFO=cos∠FCO，

故由（1）知，

sin∠CFO====，所以r=.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，

所以r-d≥80，r-（60-d）≥80，

即-d≥80，-（60-d）≥80，

解得10≤d≤35.

故当d=10时，r=最大，即圆面积最大.

所以当OM=10 m时，圆形保护区的面积最大.

点评：此题虽然看上去是一道应用题，但我们建立数学模型后再弄清这里恒成立的本质便能将问题顺利解决.用子集的关系，可以得到：

当A≤B恒成立时，要A≤C，则B≤C;当A≥B恒成立时，要A≥C，则B≥C;当A≤B恒成立时，又已知A≤C，则B≤C;当A≥B恒成立时，又已知A≥C，则B≥C.

与自然数有关的恒成立问题

在理科的附加题中，常会出现与自然数有关的恒成立，此类问题有两种常见解决方法，一是用数学归纳法来证明，二是利用二项式定理，也可能会与数列有关，或者对函数中的自变量进行赋值等等. 命题较难时，为了适当降低难度，试题常以两问出现，第一小问的结论常用来暗示第二小问.

例4  （2014年江苏高考第23题）

已知函数f0（x）=（x>0），设fn（x）为fn-1（x）的导数，n∈N*.

（1）求2f1+f2的值;

（2）证明：对任意的n∈N*，等式nfn-1+fn=都成立.

解析：此题的第一小题不困难，按部就班就可以求出来，但第二小题“对任意的n∈N*，

等式nfn-1+fn=成立”，

对这样一个恒成立问题，显然不可能把n的值一个个验证，但仔细观察第一问与第二问，就会发现可以构造函数g（x）=nfn-1（x）+xfn（x）. 通过用对n取特殊值来发现规律，找到等式nfn-1（x）+xfn（x）=sinx+. 因为是归纳猜想，所以可以利用数学归纳法加以证明，证到之后再将等式中的x用来赋值即可.

解：（1）略

（2）证明：由已知，得xf0（x）=sinx，等式两边分别对x求导，得f0（x）+xf ′0（x）=cosx，即f0（x）+xf1（x）=cosx=sinx+，类似可得

2f1（x）+xf2（x）=-sinx=sin（x+π），

3f2（x）+xf3（x）=-cosx=sinx+，

4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）.

下面用数学归纳法证明等式nfn-1（x）+xfn（x）=sinx+对所有的n∈N*都成立.

（Ⅰ）当n=1时，由上可知等式成立.

（Ⅱ）假设当n=k时等式成立，即kfk-1（x）+xfk（x）=sinx+.

因为[kfk-1（x）+xfk（x）]′=kf ′k-1（x）+fk（x）+xf ′k（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x），

sinx+′=cosx+·x+′=sinx+，所以（k+1）fk（x）+xfk+1（x）=sinx+.

所以当n=k+1时，等式也成立.

综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知等式nfn-1（x）+xfn（x）=sinx+对所有的n∈N*都成立.

令x=，可得nfn-1+fn=sin+（n∈N*）.

所以nfn-1+fn=（n∈N*）.

点评：解决本题中的恒成立问题的关键是先根据题意，通过观察与猜想，构造函数，发现等式，再用数学归纳法证明，然后对函数中的x进行赋值，从而得到最终所求的等式. 本题中的恒成立问题运用了数学归纳法以及函数与方程的思想.

综上所述，恒成立问题题型多样，背景丰富，综合性强，我们要具体问题具体分析. 但我们要重视以下几点：1. 注重通解通法，比如分离参数法，转化为求函数的最值，有时不可避免地要进行分类讨论. 2. 遇到新的背景下的问题要弄清问题的本质，学会将不熟悉的、复杂的问题转化为熟悉的、简单的甚至是模式化的问题. 3. 数形结合是数学研究的重要手段之一，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数和形有着十分密切的联系，在一定条件下，可以相互转化，相互渗透. 正因为恒成立问题常涉及高中数学的四大数学思想，所以2014年江苏高考卷上的这4道有关恒成立的命题，其命题的动向是值得广大师生深入思考和研究的.