运用数形结合解答一次函数问题

刘焕

摘要：一次函数是初中数学中的重要函数.解答一次函数问题不仅要灵活运用所学的基础知识，而且还需要相关的数学思想作指导.其中数形结合思想立足“数”与“形”间的内在逻辑关系，通过“数”与“形”的相互对照可及时找到解答问题的切入点，确保一次函数问题的高效解决.

关键词：初中数学；数形结合；一次函数

运用数形结合解答一次函数问题的关键在于具备数形结合解题的意识，同时，能够实现“数”与“形”之间的正确、针对性转化，将抽象、不易解决的问题变得直观、容易解决.当然还应做好不同一次函数问题解题过程的审视，弥补解题的短板，尤其注重成功经验的积累与灵活迁移.

1 巧解参数范围

求解参数范围一般运用不等式知识.对于一次函数问题，通过数形结合，运用观察法也能迅速得出结果.

例1当x>-3时，对于x的每一个值，函数y=-12x+3的值都大于等于函数y=kx（k≠0）的值，则k的取值范围是.

解析：解题的关键在于对题干的等价转换.题干可转化为当x>-3时，函数y=-12x+3的图象在函数y=kx（k≠0）图象的上方.

对于函数y=-12x+3，将x=-3代入得到y=92.将点-3，92代入到y=kx，解得k=-32，此时满足题意.在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图1所示.

将函数y=kx的图象绕着原点顺时针旋转，当函数y=kx的图象和函数y=-12x+3的图象平行时，无交点，此时k=-12，满足题意；当函数y=kx的图象由直线y=-12x旋转到直线y=-32x时，也满足题意；继续旋转则不满足题意.

综上分析，满足题意的k的取值范围为-32≤k≤-12.

点评：运用数形结合解答一次函数问题的关键在于“数”与“形”的正确转化.该题中依托图形，通过图形的旋转找到参数的取值范围，非常直观.

2 巧解参数最值

求解参数最值常用不等式、二次函数知识，而对于一次函数的最值问题，通过数形结合解决却不失为一种新的解题思路.

例2已知p=2x+1，q=-2x+2，若规定函数y=1+p-q（p≥q），1-p+q（p

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析：解题的关键在于正确理解题意.根据题干条件，由p≥q，得2x+1≥-2x+2，则有x≥14.同理由p

联系一次函数图象及性质，画出y的图象，如图2所示，由图可清晰地看到函数y的最小值为1.

故选择：C.

点评：该题情境新颖.解题时需要深入理解题意，化陌生为熟悉.而后运用一次函数知识正确画出图象，通过观察图象的最低点得出参数最值.

3 巧解点的坐标

求解一次函数问题中点的坐标离不开平面直角坐标系.常通过数形结合，合理运用几何知识进行计算.需要注意的是，勾股定理在其中也较为常用，应注重应用.

例3如图3所示，A（-8，0），B（-2，8）是△ABC的顶点，点C在y轴正半轴上，AB=AC，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为.

解析：过点B作BG垂直x轴于点G，如图4所示.由A（-8，0），B（-2，8），得AO=8，GO=2，AG=8-2=6，

BG=8.在直角三角形AGB中，由勾股定理可得AB=AG2+BG2=62+82=10（这里亦可直接使用两点间的距离公式直接求得AB=2+（8-0）2=62+82=10）.由AB=AC，得AC=10.在直角三角形AOC中，由勾股定理可得OC=AC2-AO2=102-82=6，所以点C的坐标为（0，6）.

设直线AB的方程为y=kx+b，将点A，B的坐标分别代入得-8k+b=0，-2k+b=8，解得k=43，b=323，则y=43x+323.设直线AB向右平移n个单位长度到达直线A′B′处，则直线A′B′的解析式为y=43（x-n）+323，因其过点C（0，6），代入解得n=72.易得点C′的坐标为72，6.

点评：结合题干创设的情境，作出辅助线，灵活运用勾股定理求出相关线段长度.运用一次函数知识求出直线的解析式，从平移的视角出发不难求出目标点的坐标.

4 巧解线段长度

求解线段长度是初中阶段的常见几何问题.常通过几何图形性质作答.部分问题看似考查的是几何知识，实则考查一次函数知识.意识到这一点，通过数形结合，便能迅速找到解题突破口.

例4如图5，已知边长为2的正方形ABCD，边BC的中点为E，点F在AE上，且满足EF=CE，连接CF并延长交AB于点G，则BG的长为.

解析：以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图6所示.根据题意，易得A（0，2），C（2，0），E（1，0），则根据待定系数法容易求得AE所在的直线解析式为y=-2x+2.

由点F在AE上，可设点F（m，-2m+2），其中0

设CF所在直线的解析式为y=kx+b，将点F，点C的坐标代入得255=1-55k+b，0=2k+b，解得k=1-52，b=5-1，则CF所在直线的解析式为y=1-52x+5-1.

令x=0，得y=5-1.

故GB的长为5-1.

点评：该题以正方形为背景设计问题，运用几何知识求解难度较大.运用正方形的性质构建直角坐标系，将几何问题转化为一次函数问题，实现数形结合，解题思路变得清晰.

综上所述，一次函数在初中数学中占有重要地位，不仅是学生学习的重点，而且是中考的必考点.在中考中，一次函数问题情境常考常新，解题思路灵活多变，其中通过数形结合，更容易理顺解题思路，使复杂问题变得简单化，因此，在日常的学习活动中，应夯实一次函数基础，理解一次函数各参数的含义，积极运用数形结合解答一次函数问题，提高知识运用熟练程度，不断积累应用经验，实现解题能力的有效提升.

参考文献：

申小兰.数形结合探究一次函数问题.初中生学习指导，2023（32）：34-35，39.

江俊俊.赏析一次函数图象 领悟数形结合思想.初中生学习指导，2022（29）：28-29，27.

钱红娟.数形结合：给思维展翅的机会——以“一次函数”的教学为例.基础教育论坛，2021（10）：88-89.