妙用数形结合思想优化中职数学解题思维探讨

2016-10-08

成才之路 2016年25期

戴晨燕

摘要：数形结合具有形象直观、易于理解的特性。结合教学实例，从以“数”构“形”、理解记忆，以“数”助“形”、直观显现，数形结合、方便快捷三个方面探讨中职数学解题教学中妙用数形结合思想，提高学生的解题能力。

关键词：中职；数学；数形结合；解题思维

中图分类号：G718.3 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）25-0056-01

华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”在数学中，“数”和“形”是两个最基本的对象，数形结合具有形象直观、易于理解的特性。通过图形的描述、代数的论证，可以做到以形助数，以数助形，相互转化，协调发展。在中职数学解题教学中，数形结合思想是一种特有的解题思维，是知识转化为能力的桥梁，往往能取得出奇制胜的效果。下面，以中职数学中具有代表性的习题为例，对数形结合思想的具体运用进行研究。

一、以“数”构“形”，理解记忆

数学概念都比较抽象，在理解数学概念时，教师可以借助具体实物、图形、模型等，帮助学生增强形象思维，并引导学生认真观察，从而将具体的“形”与抽象的“数”在头脑中渐渐对应起来，揭示其几何意义。这样的教学方式，利于培养学生的数学思维，增强对抽象的数学概念的认识。例如，中职数学基础模块上册中较为重要的数学概念——“集合”，是学生以后学习求解函数取值范围的必要基础。应用数形结合方法是解决集合问题的主要方法，文氏图是其中的主要手段之一。文氏图是运用封闭的曲线，以表示集合这一概念，并同时可以涵盖其相互关系的图形。图1就是一个基本的文氏图。如果描述成数学语言，就是集合A与B出现相交，全集∪包含集合A、B。下面来看一个例题。案例1：校运动会比赛共400人参加，参加径赛项目的有150人，参加田赛项目的300人。请问有多少人同时参加了2个项目？通过阅读题意发现，这是一道简单的集合问题。先假设A={参加径赛项目的选手}，B={参加田赛项目的选手}，x=同时参加AB两项目的人。x=A∩B=50（人）。可见，引入数形结合思想，利用文氏图方法进行求解，可以让解题变得简单。

二、以“数”助“形”，直观显现

在一个几何问题中，恰当地将几何问题代数化，即将解决问题的过程巧妙转化为易于理解的代数演算来完成，从中找出蕴含的代数关系，可以使复杂问题简单化，省去大量的理论分析过程，轻松解题。案例2：四边形ABCD内接于圆E，如图2所示，E是圆心，AC⊥BD，O是AC和BD的交点，G是CD边上的中点，EF⊥AB，F是垂足，求证：EF=OG。此案例如果一味运用几何方法求证，容易会让思维陷入瓶颈，学生也会感觉求证过程很难。但如果将其转化为代数问题，则会让人产生一种“柳暗花明又一村”之感。如图3所示，设直线AC为x轴，直线BD为y轴，建立直角坐标系，那么A、B、C、D坐标可对应为（-a，0），（0，-b），（c，0），（0，d）。已知G是CD边上的中点，又因为E是圆心，EF⊥AB，所以，F也是AB边的中点，F、G的坐标分别是。E在AC、BD的垂直平分线上，推出E的坐标为。直接计算EF和OG的距离，可以得到EF=OG=。这样，在仔细观察图形的基础上，恰当利用“以数助形”，化复杂的图形的性质和几何意义为易为理解的代数关系，收获了出奇制胜的效果。

三、数形结合，方便快捷

在具体的解题过程中，教师应引导学生做到数形结合，在形象思维与抽象思维的交叉运用中，寻求最为简捷的解法。案例3：倾斜角为60°的直线AB过椭圆的左焦点，与椭圆交于点A和B，如图4所示，若|FA|=2|FB|，求椭圆的离心率。解：设准线与x轴交点为M，过A、B作准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E。设|AB|=3t，由|FA|=2|FB|，可以得出|AF|=2t，|BF|=t。因为直线AB倾斜角为60°，可以得出∠ABH=30°，|AH|= |AB|=t。然后再根据椭圆第二定义，就可以得出|AH|=|AD|-|BC|=，所以 t=，即e=。可见，通过“数”与“形”的相互渗透，综合应用圆锥曲线的统一定义，结合解含有60°的直角三角形，求椭圆的离心率，运算量小，方便快捷。