例谈几何画板在一次函数应用题的教学尝试

张惠瑜

摘 要：让学生经历将实际问题抽象成数学模型，并利用模型解决问题，可以使学生获得对数学理解，同时在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.几何画板具有准确性、快速性、动态性等优点，运用它来探究一次函数模型应用题，可以改变以往的学习方式，让学生以更加积极主动的姿态参与到问题的研究中，从而让学生获得更多的数学活动经验.

关键词：一次函数；模型；应用题；几何画板

引言

一次函数是初中阶段学生学习的第一种函数，在一次函数学习中，学生可以体会函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式.学好一次函数可为学习其他函数奠定坚实的基础.一次函数模型的应用问题是初中函数学习的重要内容.几何画板是一个优秀的教学软件，它提供一个通用的数学和物理的教学环境，具有丰富而方便的创造功能.作为一个有力的几何作图工具，它可以把点和各类函数的图象在坐标系中准确快速地描绘出来[1 ].几何画板与一次函数模型的应用题整合，可为师生的教学构建一个做数学的实验平台，能充分调动学生学习的积极性和主动性，弥补传统教学方式的直观性、动态性等不足，有利于重点难点的突破，提高学习的效率，优化课堂的教学.

笔者参加了《数学建模视角下的初中数学实验教学研究》课题，展开了相关内容的学习和实践.下面谈谈几何画板运用于一次函数模型应用题的实践：

1 比较大小问题

一次函数方案选择问题是一次函数应用题中一个重要题型，其中往往需要比较两个函数的大小关系。

1.1 问题实践

例1 一种节能灯的功率为10瓦（即0.01千瓦）售价为60元，一种白炽灯功率为60瓦（即0.06千瓦）售价为3元.两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）.如果电费价格为0.5元/千瓦·时，消费者选用哪种灯省钱？

分析可得，用节能灯的总费用为：y1=0.5×0.01x+60，使用白炽灯的总费用为：y2=0.5×0.06x+3，引导学生利用几何画板生成的y1，y2图象，用图象法比较大小，在x轴的正半轴取点D，作过点D垂直于x轴的直线与y1，y2的图象分别交于B、C两点，随着D点在x轴上运动，可以追踪B、C两点的坐标的变化情况，如图1.

由图1学生可以直观地感受随着x的变化y1，y2的大小关系的变化情况.从而体会用图象法比较函数大小的直观性.

1.2 体会

借助图象比较两函数的大小是比较函数大小常见的方法.以往动态问题的教授要在黑板上不断比划或者是画出多图，比较费时费力.而现在让学生借助几何画板制图，能让原本静止的直线动起来，交点也随之动起来，进而生成两动点的坐标，图象的信息准确而丰富，让学生进行分析和讨论，激发学生学习热情.学生在对比动态中两交点的横纵坐标时，能够更加清晰地了解函数的大小随自变量的变化情况.

2 拟合函数问题

函数与图形的拟合，是指通过观察图形，读取问题中的数据，合理地选择相关的函数，并利用待定系数法求出函数解析式，从而解决问题.

2.1 问题实践

例2 奥运会每4年举办一次，奥运会的游泳成绩不断地被刷新.如男子400m自由泳项目，1996年奥运冠军的成绩比1960年的约提高了30s，下面是该项目冠军的一些数据：见表1.

根据上面资料，能否估计2012年伦敦奥运的冠军成绩？

可以利用几何画板把年份和对应的冠军的成绩作为坐标画在平面直角坐标系中，为了更好地观察点，可以把1980年认为横坐标为0，从而有（0，231.31），（4，231.23），……，如下图2，可直观感受到这一串点基本在同一直线上，且从左到右呈下降趋势，从而确定选用一次函数来拟合，此时引导学生利用几何画板画直线的功能，选取其中两点作一条直线，进行观察.经多次选取观察可得，当直线过第2点和第8点时，则这八个点有的这直线上，有的在直线两侧且比较接近直线，如图2.

用第2点（4，231.23）及第8点（28，221.86）的坐标，求得冠军成绩与年份的近似符合的函数关系为y=-0.3904x+ 232.792.

运用所求得的函数可得：2012年时的x值为32，得y=-0.3904×32+232.792=220.2992（s）.因此，可以预测2012年奥运会男子400m自由泳的冠军的成绩约是220.2992s（事实上，2012年伦敦奥运会我国选手孙杨以3分40秒14的成绩，即220.23s取得了冠军，与预测的值相仅0.0008s！此次预测非常准确！）2016年时的x值为36，得y=-0.3904×36 +232.792=219.7376s，预测2016年的冠军成绩为219.7376s.从而体会通过拟合函数可以建立数学模型进行研究和预测的实际意义.

2.2 体会

生活中利用函数进行拟合分析是很有用的，但一些实际应用问题，数据可能比较大，比较不规整，若手工作图，既费时费力且误差会比较大，不利于分析，几何画板能够准确快速生成坐标和函数，能克服这些问题.其次，对于给定的离散的点，需要尝试才能确定函数的形式，正如上述的操作，需要多次作出图象来判定其接近程度，使用几何画板能够快速地进行拟合，建立模型，为后续运用函数解决问题节约了时间.

3 分段函数问题

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数.分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段的实际问题，例如分段计费、分段路程、分段面积等，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.

3.1 问题呈现

例3 依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过2 000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过2 000元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x，x=全月总收入-2 000元，税率如表2所示.

（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1～3级纳税额f（x）的计算公式；

（2）小张2008年10月份工资总收入为4 200元，试计算小张10月份应纳个人所得税多少元？

（3）已知小吴2008年11月份的应纳个人所得税额为475元，试计算小吴当月的工资总收入.

以下利用几何画板进行实践活动.

经过分析得函数解析式化简得：

借助几何画板生成函数图象（由于不能重复命名，第二、三段函数暂时分别以g（x）、h（x）表示），将图象生成为如图3所示，第（2）问：当小张的工资总收入为4200元时，则此时的全月应纳税所得额x=2200，代入第三段函数解析式可得应纳税额为205元.也可利用几何画板作直线x=2200与分段函数的交点，所得交点的纵坐标即为应纳个人所得税额.第（3）问：以往的做法是令f（x）=475，分别代入三段函数的解析式，求得对于的x的值，再检验所得的x的值是否在对于的自变量的取值范围之内.这样做需要进行多次的计算.而学生利用画板作出直线y=475与分段函数图象的交点，则易得交点的横坐标为4000，如图3，即为全月应纳税所得额4000元，则当月的工资总收入为6000元.

3.2 体会

利用几何画板模拟分段函数图像可让我们直观地感受到在不同的自变量的取值范围下，函数的不同的变化趋势，能够方便得出每一个分段的最值，利用函数图象可解决已知自变量的值求函数值的问题，或者已知函数值求自变量的值的问题，在分段函数中第二个问题往往需要讨论，利用图形法提高解题的效率，从而进一步体会数形结合方法的妙用。

4 体会与感悟

让学生经历将实际问题抽象成数学模型的过程，并利用模型解决问题，可以使学生获得对数学的理解，同时在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展.几何画板具有准确性、快速性、动态性等优点，运用它来探究一次函数模型应用题，可以改变以往的学习方式，让学生以更加积极主动的姿态参与到问题的研究中，通过观察、猜想、交流、实验、验证、推理、自主探究，有利于学生数学建模、数形结合、分类讨论等数学思想的形成，提高了学生解决问题的能力，体验了数学的实用性，体验了科技的便捷性.正如新课标所倡导的“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去.”“信息技术与课程整合”是我国面向21世纪教育教学改革的新视点.教师要积极主动地更新观念，在学科教学中多尝试各种教育技术工具，为学生创设更多实验教学环境，以提高教学的效率.

参考文献：

[1]李发斌. 利用“几何画板”动态学习一次函数的图象和性质[J]. 软件导刊，2005（2）：32-33.