用联系发展的观点看解析几何

刘奇玲+王若维

摘 要：作者作者用辩证唯物法的观点，用联系的、发展的眼光对初高中的数学学习与高职解析几何学习在内容和研究方法上进行了比较，结合时下对解析几何的重新审视，得出了对解析几何的新的理解：数形结合的思想方法是解析几何的一个核心思想方法；高职的解析几何是对初高中解析几何内容的发展和补充，但更是在研究方法上的提炼和升华。

关键词：联系的；发展的；解析几何；数形结合

唯物辩证法告诉我们，世界是普遍联系、变化发展的。而社会的进步与发展，不仅需要有专业训练的公民，更需要的是有教养的公民。车尔尼雪夫斯基说，要使人成为真正有教养的人，必须具有三个品质：渊博的知识、良好的思维习惯和高尚的情操。人格教育是数学教育的目的之一。

数学教育作为教育的一部分。在发展人、发展社会方面起着重要作用。数学教学不仅仅是传授给学生一定量的数学知识，更重要的是教师通过知识载体对学生实施能动的心理和智能的引导。以启迪智慧，挖掘潜能，发展思维，培养创新意识和解决问题的能力。这对于解析几何教学尤为重要。我们认为强化“数学思想方法”的教学是实现上述目标的重要举措。

数学是职教的一门公共必修课，解析几何是数学的一个重要的部分，现在人们越来越认识到数学是一门科学，数学是一门关键的技术，数学教育在人的全面发展中的功能应是工具功能、育智功能和自我完善功能的统一体，而解析几何则是实现这些功能最直观高效的手段。

数学又是一种文化，这就决定了数学教育的文化性目的。正像语言词汇不能全然与语法、句法或实际的民族文化教育相分离一样，数学知识不能孤立于该领域中共生的方法、理论及社会文化发展这个大系统。数学教育在传授知识、培养能力的同时，还应充分注意其应有的文化教育价值，解析几何的发展史就是古典数学到现代数学的发展史，从开普勒到伽利略，到笛卡尔、费马，这些科学家的经典轶事、解析几何的研究历程所拥有的学术价值是无可估量的、其文化价值更是灿烂璀璨的。

用普遍联系的、变化发展的观点来看待解析几何，可以发现：高职的解析几何是对初高中解几内容的发展和补充，但更是在研究方法上的提炼和升华。

解析几何是依据数形结合的思想方法建立起来的一门学科，解析几何的基本思想就是用代数方法研究几何，最基本的做法就是把空间几何结构代数化、数量化。即先把几何问题转化为代数问题，用代数的知识解决后再返回到几何中去。

解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。其中平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，这种方法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质；在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

而这种联系的、发展的观点在解析几何的研究中是普遍存在的。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。数形结合的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。它对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具

初高中的数学学习的过程就是这种数形结合的思想形成的过程：初中阶段在建立了用字母代表数字的代数思想，了解了代数式、一元一次方程和简单几何图形后接触了平面直角坐标系，第一次把一个点和一对有序的实数对应起来。在接下来的二次函数、平面几何的学习中不断在渗透这种由形到数，再由数到形的思想方法。到了高中阶段，直线与方程之间建立起了直接的对应关系，联系的、发展的解析几何的思想形成了。之后一元二次不等式的求解，三角函数的了解，圆锥曲线的研究以及线性规划的应用都是这种思想方法的实践。甚至向量也有坐标表示，立体几何的研究中更是建立了空间直角坐标系，把平面解析几何发展到了空间解析几何。

在“空间直角坐标系”这一课的教学中，老师一般都会在课上介绍了法国数学家笛卡儿，正是向传统和权威挑战的巨大勇气，使他创立了解析几何学，特别是笛卡儿理论中的两个概念——坐标概念和利用坐标方法把两个来知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的概念。在笛卡儿之前，数学家们也研究F（x，y）=0这样的不定方程，但都只关心它的整数解，并不关心，F（x，y）=0的一切实数解。笛卡儿破天荒地第一次将它视为一条平面曲线，这就是笛卡儿的伟大之处。这些轶事使学生对将要学习的解析几何产生了极大的好奇心。可见联系的、发展的解析几何的思想其实是始终贯穿在初高中数学的学习过程中的。

但是，初高中数学的内容毕竟有限，研究方法也是稚嫩的。例如：位置是空间中最原始的概念。两点间位置的位差就是一个最基本的几何量，而向量正是位差的抽象化，向量的运算就是基本几何性质的代数化。向量的加法反映了位移和平行四边形定理，向量的倍积反映了相似。向量的内积、外积反映了面积、长度、角度的关系。这些不但说明向量代数可作为解析几何的研究工具，也利于加深对数形结合思想的理解。但高中数学对向量的运算仅仅只在加，减，数乘之外了解了一下点乘运算而已。又比如，二次曲面（椭球面、双曲面与抛物面）的研究蕴涵着数形结合、化归和变换等重要的思想方法。由于这些曲面都是用解析法（即方程）来定义的，它们的几何特征都不明显，所以必须通过方程来了解曲面的性质，进而推想出它所表示的曲面的大致形状，而高中解析几何的研究也局限于代数运算能力，对柱面、锥面、球面、旋转曲面是回避的。

然而即便这样，解析几何的数学思想和数学方法却一直是初高中数学的重要内容，学会分析、综合、归纳、演绎、概括、类比，建立函数模型，用数形结合思想解决问题是学生在初高中数学学习中的最大收获。尤其是数形结合思想，现在我们知道数形结合的基本思想是在研究问题的过程中，把数与形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题。实现了由数到形和由形到数的相互转化，进而使抽象问题具体化，直观问题深刻化，复杂问题简单化，特殊问题一般化。

例如：在复平面上，点，向量与复数建立了一一对应的关系。可见复数与向量有着密切的联系，将向量与复数结合起来，可方便地解决某些涉及到旋转的图形问题。

所以数形结合思想方法其实是贯穿解析几何全部内容的。例如，由形到数，从几何性质出发，建立直线与平面的方程；由数到形，从平面、直线方程出发，探求点、线、面之间的位置关系和度量关系、从二次曲线的方程出发，探究其所代表的线的形状，不仅从直观上了解曲线的大致形状，而且为进一步化简作了准备。

总之：“数形结合”沟通了代数与几何最基本对象之间的联系，使几何的概念得以用代数方式表示，几何目标得以用代数方法达到。反之，代数语言因为得到几何解释而变得直观、易懂。用联系的观点看待几何和代数，用发展的观点反观初高中的解析几何学习，可以发现，数形结合的思想方法是高职解析几何的一个核心思想方法。也就是说高职的解析几何是对初高中解析几何内容的发展和补充，但更是在研究方法上的提炼和升华。