巧用图形变换，妙解平面几何问题
2024-06-15庞凰琴
庞凰琴
【摘要】在初中几何问题中，有时需要对图象进行变换实现题目条件的迁移或者等价转化.如果能够灵活运用图形变换，在某些情况下可以大大降低问题的难度.本文将结合几道例题来谈如何利用图形变换解决平面几何问题.
【关键词】图形变换；平面几何；初中数学
常见的图形变换形式有：平移，旋转，对称等.不同的变换形式意味着几何量要满足不同的性质.同时在变换的过程中还要根据已知条件和图形特点作出适当的辅助线.下面来看几种不同类型的图形变换问题.
典例分析
类型1 平移变换
例1 如图1所示，在直角三角形ACB中，∠C= 90°，D、E两点分别为CB、CA延长线上的点，BE与AD的交点为P，BD=AC，AE=CD，求∠APE的度数大小.
解 如图2所示，将线段BD沿BE的方向平移，平移的长度为线段BE的长度，得到新的线段DQ.
连接DQ、AQ，可知四边形BDQE是平行四边形，
其中EQ∥CD，DQ∥BE，
BD=EQ.
因为∠C=90°，
所以∠AEQ=90°，即可得∠C=∠AEQ.
因为BD=AC，
所以EQ=CA.
在△CAD和△EQA中，CA=EQ，∠ACD=∠QEA，CD=EA，
则△CAD≌△EQA.
所以AD=AQ，∠CDA=∠EAQ.
因为在直角三角形ACB中，∠C=90°，
所以∠CAD+∠CDA=90°.
因为∠CDA=∠EAQ，
则∠CAD+∠EAQ=90°，
所以∠DAQ=90°.
所以△QAD是等腰直角三角形，∠AQD=∠ADQ=45°.
因为DQ∥BE，
所以∠APE=∠ADQ=45°.
评析 观察题目，只有一个已知条件有关角的度数，所以对于题目所求的角的度数仅依靠角度之间的运算肯定是远远不够的，因此就要考虑从边的角度处理.再观察题目中的条件“BD=AC，AE=CD”，发现这两个条件中涉及的边在图形上比较分散，因此考虑平移，从而使条件更加集中，产生更多的特殊角进行运算.
类型2 旋转变换
例2 如图3所示，已知△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，E、F两点是BC边上的点，且满足∠EAF=45°，试证明：BE2+CF2=EF2.
证明 如图4所示，将△ACF绕点A按顺时针方向旋转90°.
因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
所以AB=AC.
旋转后AC边与AB边重合，即旋转后的三角形为△ABD.
所以AD=AF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠C=45°，BD=CF.
因为∠EAF=45°，∠BAC=90°，
所以∠BAE+∠CAF=∠BAE+∠BAD=∠DAE=45°=∠FAE.
在△ADE与△AFE中，
AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，
所以△ADE≌△AFE，
则EF=DE.
因为∠DBE=∠ABD+∠ABC=90°，
所以EF2=DE2=BD2+BE2=BE2+CF2.
评析 对于本题所要证明的等式，易想到用勾股定理.而应用勾股定理的前提是要有一个直角三角形，题目中“已知△ABC是等腰直角三角形”可得AB=AC，它们有着共同的端点的长度相同的线段，因此可以考虑通过旋转的方式来对图形进行变换.
类型3 对称变换
例3 如图5所示，在平面直角坐标系xOy中，存在A（-2，0）、B（0，4）、E（0，1）.将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′.当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标.
解 如图6所示，将点B沿射线AE的方向平移AE线段的长度得到点M，则点M的坐标为（2，5）.
连接BM，易证四边形BME′A′是平行四边形，则A′B=E′M.
因为点E的坐标为（0，1），将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′.
设AA′=n，则EE′=n，
点E′（n，1），即点E在直线y=1上.
作点M关于直线y=1的对称点M′，
连接E′M′，则点M′（2，-3）.
当B、E′、M′在同一条直线上时，BE′+E′M′最小，即此时A′B+BE′取得最小值.
设直线BM′的表达式为y=kx+b，
代入点B、M′的坐标得k=-72，b=4，
所以直线BM′的表达式为y=-72x+4.
当y=1时，x=67.
所以点E′（67，1）.
评析 对称变换一般用于最短路径，或者线段相加最小值类的问题.在“两点之间线段最短”的基本定理下，通过对称得到三点共线的条件，从而得到最小值.有时对称变换亦可用于某些本身包含对称性的图形，如正方形、圆形等等.
结语
总的来说，要想灵活运用图形变换简化解题，最重要的一步就是选择合适的变换方法.平移常用于题目中已知条件在图形中距离较远、不够集中的情况.而旋转则主要用于同端点的等长线段，在构造全等三角形时经常用到旋转的方法.而对称则适用于求解最小值或者是一些对称图形的情况.在实际的解题过程中，往往需要运用多种转换方法，学生需要根据题目的具体情境合理选择.
