一元一次方程在解实际问题中的应用

王明强

【摘要】列一元一次方程解应用题是初中代数的重要问题，通过建立一元一次方程，可以利用数学方法解决各种实际问题，如行程与工程问题、销售与储蓄问题等，涉及时间与距离的关系、售价与利润的关系等.然后通过代数的运算和方程的变形，求解未知数的值，从而得出实际问题的答案.本文分析一元一次方程在解实际问题中的应用，并举例解析，以期帮助学生对利用一元一次方程解决实际问题有更全面的掌握.

【关键词】一元一次方程；初中数学；解题技巧

1 行程（工程）问题

解决有关行程（工程）的问题，通常利用图示法表示题目中各量之间的关系.将题目已知量和待求未知量标在图上，以揭示潜在的条件，使问题更加清晰明了，然后列出方程解决问题.

以行程问题为例，其基本关系为“路程=速度×时间”，常用等量关系为：（1）相遇问题，快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离；（2）追及问题，快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离；（3）航行问题，顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度.

例1 小明和小红两人的家相距2200m，星期天两人相约见面然后一起去市图书馆，已知小明每分钟走70m，小红每分钟走60m，小红从家里出发2min后小明也从家里出发了，请问小明出发多久后两人相遇？

思路分析 小明、小红两人的相遇情况如图1所示.

解 设小明出发x分钟后两人相遇，

根据题意有70x+60（x+2）=2200，

化简得130x=2080，

解得x=16.即小明出发16分钟后两人相遇.

点评 行程问题在各种题型中都有涉及，且难度差别较大，这是因为行程问题涉及起点、终点、方向及交通方式等多个条件，任何条件的改变都有可能造成解题方法的不同.行程问题中最基本的等量关系是“路程=速度×时间”，需要熟练掌握并灵活应用.

2 配套问题

如果一个物件由A，B两种零件构成，用m个A种零件和n个B种零件构成该物件，求如何安排生产零件的工人，才能使所生产的全部零件都能配套成整物件，这类问题就是配套问题，常用的等量关系为：A产品的数量×n=B产品的数量×m.

例2 某家具厂新进5立方米木料，准备制作一批桌椅，已知1张桌子配4把椅子，1立方米的木料可制作5张桌子，或制作30把椅子，现要使制作出的桌子、椅子恰好配套，请问制作桌子和椅子的木料应分别为多少？

解 设用x立方米的木料制作桌子，则剩下（5-x）立方米的木料制作椅子，则可以制作5x张桌子，30（5-x）把椅子，要使制作出的桌子、椅子恰好配套，必须有使得“椅子数=4×桌子数”，

所以30（5-x）=4×5x，解得x=3，

则5-x=5-3=2.故制作桌子的木料为3立方米，制作椅子的木料为2立方米.

点评 配套问题常见的是“1∶n”型，即1个甲种零件和n个乙种零件配成一个物件，但也有“n∶m”型（n，m均不为1），后者在寻找相等关系、列方程时更容易出错，需要更加谨慎.

3 销售问题

销售问题就是销售中的利润问题、打折问题，一般涉及进价、原价、售价、利润、利润率等基本量及其关系.销售问题的基本关系：利润=售价-进价（成本价），利润率=利润÷进价×100%；常用等量关系：利润或利润率与其他量之间的关系.

例3 某服装店为了减少库存积压，将两款不同型号的夹克上衣以120元/件的价格进行出售，其中一件亏损20%，另一件盈利20%，请问这种售卖方式服装店是盈利还是亏损？请求出盈利或者亏损额.

解 设盈利20%的那件衣服的进价为x元，则利润是20%x元，根据进价与利润的关系，列方程得x+20%x=120，解得x=100.

设亏损20%的那件衣服的进价为y元，则亏损20%y元，列方程得y-20%y=120，解得y=150，

则两件衣服的利润为120+120-100-150=-10（元）.

故这种售卖方式服装店亏损了，亏损了10元.

点评 要判断盈亏，需计算实际售价与进价的差，若差为正数，则盈利；若差为负数，则亏损.另外利润问题中有些数量关系比较隐蔽，在掌握其基本等量关系的基础上，要深层挖掘题目中能反映问题总体意义的等量关系，据此列出方程.

4 储蓄问题

解答储蓄方面的实际问题时，首先要弄清本金、利息、本息和、期数和利率的概念.其基本关系为：利率=利息÷本金，利息=本金×利率×期数，这是解决储蓄问题常用的等量关系.

例4 小张同时储蓄了两笔钱，第一笔钱的年利率为3.7%，第二笔钱的年利率为2.25%，一年后共得到15.6元的利息，两笔钱的总额为500元，请问小张的这两笔钱数分别是多少？

解 设以第一笔储蓄的钱数为x元，则第二笔储蓄的钱数为（500-x）元，

根据题意有3.7%x+2.25%（500-x）=15.6，解得x=300，

则500-x=500-300=200.

所以小张以这两种形式储蓄的钱数分别为300元和200元.

5 比赛积分问题

比赛分为单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛）和双循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行两场比赛），一般都会规定胜、负、平一场各积几分.比赛中的积分问题常用等量关系为：比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数；比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分.

例5 某县城举办中学生足球比赛，共赛8轮，每队均需赛8场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知在这次足球比赛中，实验中学队最后得17分，其中打平的场数是负场数的2倍，请问实验中学队胜了几场？

解 设负的场数为x，则打平的场数为2x，

则胜的场数为8-x-2x，

由题意得3（8-x-2x）+2x=17，

解得x=1，

所以8-x-2x=5.故该队胜了5场.

点评 涉及比赛的关键词有比赛场数、胜场数、平场数、负场数、胜场积分、平场积分、负场积分、总积分等，根据积分规则，运用正确等量关系式即可解答问题.

6 等积变形问题

解决等积变形问题解的关键是准确牢记体积面积、周长公式.抓住两个等量关系：①形变体积不变；②有时形变引起体积变化，但质量不变.常用公式：长方体体积=长×宽×高；圆柱体体积=πr2h（h为高，r为底面圆半径）.

例6 桌面上有A，B两圆柱形的水杯，水杯A的底面积为80cm2，水杯B的底面积为100cm2，已知水杯B是空的，水杯A装满了水，若将水杯A中的水全部倒入水杯B中，则水杯B中的水位高度比原先水杯A的水位高度低了8cm，求水杯A的容积.

解 设水杯A的高度为xcm，则水杯B中水位高度为（x-8）cm，根据两水杯中水的体积不变可得80x=100（x-8），解得x=40.故水杯A的容积为80×40=3200，即3200cm3.

7 结语

一元一次方程是代数学中的基本概念，在解决实际问题时具有重要的应用价值.列一元一次方程解实际问题的关键是设出合适的未知数，找准等量关系，如果问题中的等量关系不明显，无法直接得出时，则需要借助一些特殊的方法将等量关系显现出来，如列表法、图解法等.掌握一元一次方程的解法对于解决实际问题具有重要意义.

参考文献：

［1］余臻秀.初中数学一元一次方程之行程问题教学例谈［J］.基础教育论坛，2023（18）：81-83.

［2］王博睿.培养初中生模型观念的教学研究［D］.北京：中央民族大学，2023.