好的数学问题的价值探寻以及优化设计

樊继威

[摘 要] 好的问题是有意义、有意思、能引发学生新的困惑的问题.在教学中，设计好的数学问题，要从问题的序、质、态等角度入手，要对好的数学问题进行积极的评价，让好的数学问题能促进学生的深度参与、深度实践和深度反思.教师不仅要设计好的数学问题，更要应用好的数学问题，借助好的数学问题，促进学生高阶思维的发展，促进学生数学学习力的提升，促进学生数学核心素养的生成.

[关键词]初中数学；问题设计；问题导学

问题是数学的心脏，也是学生数学思考、探究的触发器.在教学中，教师要善于设计问题，以问题驱动学生的数学学习.好的数学问题往往能切入数学学科的本质，能引发学生的认知冲突，从而让学生产生数学学习的内需力.实践证明，好的数学问题往往使学生数学学习事半功倍.什么是好的数学问题？怎样设计好的数学问题？笔者在实践中展开了一些思考、探索.

好的数学问题的特质

好的数学问题既能体现数学学科的知识本质，又能催生学生的数学思维、想象；不仅是“有意义”的问题，还是“有意思”的问题.有意义，表征的是问题的数学属性；有意思，表征的是问题的学生属性.好的数学问题能让学生产生新旧认知的冲突，进而引发学生的深度思考、想象与探究.好的数学问题能充分发挥问题的导学功能、育人功能，充分彰显问题的导学价值、育人价值等.

1.好的数学问题是有意义的问题

好的数学问题，是有意义、有价值的数学问题.这种数学问题，能让学生有效地把握数学知识的本质属性和关联.比如，教学“全等三角形”这一部分内容时，笔者设计了这样两个问题：全等三角形是怎样的两个三角形？至少需要几个条件才能让两个三角形一定全等？这两个问题，一个是关于全等三角形的本质性的问题，另一个是关于全等三角形的操作实践性的问题，是关于全等三角形的判定性的问题.有了这样两个问题，学生的数学学习就有了相应的支撑.由于好的数学问题能体现数学知识的本质、特质，因此有极高的研究意义和价值.

2.好的数学问题是有意思的问题

好的数学问题能激发学生的数学学习兴趣，调动学生数学学习的积极性，发掘学生数学学习的创造性.好的数学问题是有意思的问题.一般来说，好的数学问题能架构学生的已知和未知，是沟通学生已知和未知的桥梁.好的数学问题能激发学生的认知冲突，让学生产生强烈的探究内需.同时，好的数学问题也能启发、暗示学生的数学学习，能让学生在数学学习过程中产生一些灵感、思绪、直觉等.比如，教学“一次函数”时，笔者将正比例函数引入其中，引导学生比较正比例函数和一次函数，并提出这样的问题：正比例函数和一次函数的联系和区别是什么？这个问题，激发了学生的比较兴趣和积极性，引发学生对正比例函数和一次函数的表达式、特征、图象等进行了全方位的检视，使学生从中自主发现正比例函数是特殊的一次函数.在此过程中，学生不仅深刻地理解了正比例函数，还在正比例函数的学习基础上，深入学习了一次函数.

3.好的数学问题是有困惑的问题

好的数学问题不仅能帮助学生发现问题、提出问题，更能帮助学生分析问题、解决问题.实践证明，好的数学问题往往是能引发学生质疑的问题，能让学生产生新的困惑和障碍.只有当学生在数学学习过程中不断地产生新的问题，才能产生自主的、深度的研究内需.比如，教学“垂直平分线”这一部分内容时，笔者创设了一个情境化的问题：在A，B两个村子之间要修建一所学校. A村的人要求学校距离A村近一些，B村的人要求学校距离B村近一些.如何才能做到公平呢？融入情境的问题，激发学生主动思考：要做到公平，就必须让学校建设的地点距离A，B两个村子一样.如何才能让学校距离两个村子一样呢？学校与两个村子之间是怎样的关系呢？在问题的驱动下，学生将学校、两个村子抽象成点，并用一条线段将两个村子连起来，从而逐步建构出线段垂直平分线的概念.

好的数学问题是学生学习数学的源头活水，能驱动学生数学学习.教师要善于设计好的数学问题，通过好的数学问题，驱动学生数学深度学习，驱动学生数学创新学习.好的数学问题，往往切入学生的最近发展区，往往能契合学生的具体学情，能关注学生的学习特征，关照学生的学习差异等.好的数学问题，能让学生在数学学习中的注意力更集中、思维更活跃.

好的数学问题的设计

好的数学问题不是任意性的问题，而是需要对问题进行优化“提纯”.在教学中，好的数学问题往往比较贴合学生的经验、生活，它源于教师的精心预设，源于课堂的精彩生成.在设计问题的过程中，教师要明确教学目标、内容等.教师不仅要注重好的数学问题的表征，还要注重好的数学问题的呈现形式，注重好的数学问题的引导方式等.

1.优化数学问题的“序”

设计好的数学问题不仅关注问题本身，还要关注问题与问题之间的关系.这就要求教师在设计问题时，要注重问题的“序”，要把好的数学问题建构成一个“问题链”“问题群”.好的数学问题是层次性、阶梯性的问题，能引导学生的数学思考、探究等拾级而上.比如，教学“外接圆”这一部分内容时，给出圆的内接四边形后，笔者设计了以下一些问题：三角形有外接圆吗？四边形有外接圆吗？怎样的四边形有外接圆？这样的问题，从学生的已有知识和经验——三角形的外接圆出发，引导学生逐步探究长方形的外接圆、正方形的外接圆以及一般平行四边形、一般菱形及任意的一个四边形的外接圆.在问题的导引下，学生展开积极的动手实验.通过动手实验，学生认识到正方形、矩形等有外接圆，而其他四边形则不一定有外接圆.那么，其他四边形为什么没有外接圆呢？学生会在问题的驱动下对四边形的外接圆展开深入的探讨.优化问题的“序”，让学生的问题有顺序、有方向、有层次、有针对性、有实效性等.在教学中，教師要把好的数学问题集结成一个问题链、问题块、问题群等，要关注问题的关系，关注问题的整体.

2.提升数学问题的“质”

问题设计应当具有一定的综合性、探索性.为此，教师在问题设计过程中要关注问题的“质”，要借助问题引导学生“像数学家一样进行思考、探究”.“像数学家一样思考、探究”不仅要求问题能导引学生建构、创造数学知识，还要求问题能导引学生形成“看问题的视角”“看问题的立场”，要导引学生形成“数学的眼光”和“数学的大脑”等.通过问题，学生充分经历数学化、公理化、形式化的过程.换言之，问题要能导引学生充分地对数学知识进行组织、迁移和应用.首都师范大学王尚志教授认为“问题是培育学生思维的有效载体”.比如，教学“垂线段”这一部分内容时，笔者借助多媒体呈现了一个人行横道线的视频，引导学生提出这样的问题：人如何行走才能让路线最短？你能将最短的路线画出来吗？这样的问题，一方面引导学生认识垂线段的本质，另一方面引导学生通过实践操作去了解垂线段.这两个问题将理论认知与实践操作等结合起来，更能积累学生的基本活动经验，让学生掌握相关的数学思想方法，进而实现有效的导学.

3.优化数学问题的“态”

问题的“态”是指“问题的适切性”，也就是指“问题能切入学生的最近发展区”，能引导学生从“现实认知水平”过渡到“可能认知水平”.这样的问题，能让学生“够得着”，同时又能够促发学生“跳一跳”.在教学中，我们发现很多教师的数学问题设计，要么是难度过高，导致学生望而却步；要么是没有难度，让学生丧失学习的兴趣.优化问题的“态”，就是要让问题具有一定的挑战性，能导引学生通过思考、探究，获得问题的解决，从而让学生在数学学习过程中获得成功感、成就感、幸福感等.同时，优化问题的“态”，还指通过问题能让学生感悟数学的基本思想方法等.比如，教学“乘法公式”这一部分内容时，承接学生的已有认知，笔者在教学中设计了这样几个问题：①多项式乘多项式的法则是什么？用符号来概括.②如果我们将“（a+b）（c+d）”中的“（c+d）”改为“（a+b）”，就会出现（a+b）（a+b），也就是（a+b）2.请你利用多项式乘多项式的法则计算，你发现了什么？③如何用语言来描述你的发现？如何用符号来表达你的发现？通过这些问题，将学生的先前经验调动起来，让问题发挥“先行组织者”的作用，由此促进学生自主建构数学知识.

设计好的数学问题，就是优化问题的“序”、提升问题的“质”、优化问题的“态”.好的数学问题，能引导学生突破思维障碍，促进学生自主建构数学知识，提升学生的数学建模素养.问题导学是一种符合学生认知规律的教学.教师要充分发挥问题的导学、启思功能，让问题成为学生数学学习的重要支架、抓手等.

好的数学问题的评价

评价一个问题的好，不仅要从事实层面来展开，还要联系具体的学习情境，从价值、意义的层面来铺开.一般来说，好的数学问题往往能引导学生深度参与、深度体验，能让学生充分地经历，能引发学生积极思考、探究.好的数学问题具有情境性、探究性、拓展性、延续性.好的数学问题，能衍生出新的问题，能引发学生深度学习.

1.好的数学问题让学生充分经历

学生深度学习首先需要学生充分经历学习过程.只有充分经历，学生才能把握数学知识的本质特征.在教学中，教师要通过问题不断地让学生处于一种心理失衡的状态，在心理认知不断提升中获得学习进阶.在这个过程中，学生能充分发挥自身的主体性，能充分感受、经历并领悟数学知识发生、发展的过程.比如，教学“轴对称图形”时，笔者首先借助多媒体课件呈现了系列图形，其中有轴对称图形、中心对称图形、不对称图形等.在此基础上，笔者设计出两个问题：一是“你能给这些图形分类吗？”；二是“这一类图形有怎样的共同特征？”.这两个问题，让学生充分经历自主建构轴对称图形的过程，从而建构“轴对称”“对称轴”“轴对称图形”等概念.由于问题让学生经历了分类分析、归类分析的过程，因此学生对“轴对称”“对称轴”等概念的理解较为到位.

2.好的数学问题让学生充分实践

好的数学问题不仅能引发学生深度思考，还能引发学生深度实践.学生在实践中感悟，在实践中发展.实践的过程，就是学生积极主动的创造过程.通过实践，学生能对数学知识进行“再创造”，能将数学知识、技能、思想、方法等纳入原有的认知结构中.同时，实践还能促发学生彼此互动、交流.比如，教学“平行四边形”这一部分内容时，为了让学生认识“平行四边形”“矩形”“菱形”“正方形”等图形之间的关系，笔者设计出了这样几个问题：怎样的平行四边形是矩形？怎样的平行四边形是菱形？怎样的平行四边形是正方形？怎样的菱形是正方形？怎样的矩形是正方形？提出这些问题后，引导学生在平板上操作，从而让学生展开积极的猜想.在此基础上，又引导学生用数学的方法去证明.可以这样说，问题是实践、猜想的先导，而实践、猜想又是数学证明的先导.

3.好的数学问题让学生充分反思

好的数学问题能让学生充分反思.在教学中，教师不仅要引导学生思考“怎样做”，还要引导学生思考“为什么这样做”.只有让学生明晰“为什么这样做”，才能让学生的探索朝向同一方向.反思，不仅可以在学生活动之后，还可以在学生活动之中、活动之前.教师通过引导学生充分反思，助力学生的数学智慧生长.比如，教学“反比例函数”之后，笔者提出这样的问题：为什么坦克的轮子上要加上又宽又长的履带？为什么装满货物的车子行驶的速度明显减慢？等等.设计一些对生活现象的反思性问题，引导学生从反比例函数的概念走向反比例函数的应用，从而让学生更加深刻地理解反比例函数.

好的数学问题能增长学生数学自主建构的动力，能促进学生对核心知识的感悟，还能引发学生新思考.在教学中，教师要精心设计好的数学问题，让学生在好的数學问题的驱动下，展开深度的数学思考、实践.好的数学问题能促进学生高阶思维的发展，能有效提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养.