如何利用几何画板讲解二次函数图像的变化

宗迎峰

摘  要：二次函数图像是九年级数学教学中的重点，也是一个难点，因为二次函数图像本身是一条曲线，不像一次函数图像那么容易画出，这就给教学活动带来一定难度，所以在传统教学中，教师很难直观、准确地讲清楚其性质特征及有关变化。运用几何画板中的画图、变化等工具，可以很快捷准确地画出二次函数的图像，并且能够进行各种变化的动态演示，在学生头脑中形成动态的映像，有利于学生更好地理解掌握二次函数图像的有关变化。

关键词：几何画板；二次函数图像；图像变化

一、研究背景

《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》指出：促进信息技术与数学课程融合。因此教师可以合理利用现代信息技术，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革；在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养。

在探究函数图像性质过程中，动态变化是一个很重要的内容，也是一个难点。因为在传统教学中，体现出来的大多是一种静态变化，教师很难把一些动态的问题解释清楚，特别对一些空间想象能力较弱的学生而言更是如此。常用的ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ、Ｆｌａｓｈ动画虽然能够演示运动变化，但是由于它们不具备准确的计算、度量功能，因此演示的大多只是一种表象，很难反映出问题的本质。“几何画板”这一工具具有动态直观、数形结合、色彩鲜明、变化无穷的特点，它的绘图、计算、变化等功能能准确演示出图像的运动，使学生能够通过现象看到本质，这不仅极大地提升了学生的学习兴趣，而且降低了学生理解问题的难度。

二次函数图像的变化主要是做平移、轴对称、中心对称的变化，要求学生求出其变化后的解析式。教材中只涉及了在顶点形式下的平移变化，而对顶点形式下的轴对称和中心对称变化没有做过多的安排。对一般形式下的变化，教学过程中通常采用先化成顶点的形式，然后再做相关的变化，这个过程比较烦琐，容易出错，并且学生对其变化以后的解析式缺乏准确透彻的理解。

在教学二次函数图像的过程中，教师可以运用几何画板（５．０６版）这一工具，通过画图、变化、动画等功能，让学生在动态变化中观察、体验变化前后的图像有哪些相同点、哪些不同点，进一步思考这些变化与不变给解析式带来怎样的变化，使学生体验到数形结合的思想，从而更好地掌握教学内容。

因为函数图像的变化会引起解析式中常数的相关变化，所以可以首先让学生熟悉顶点形式ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ中各个常数的作用：ａ的绝对值决定着开口的大小，ａ的符号决定着开口的方向；ｋ决定着对称轴（直线ｘ＝ｋ），还决定着顶点的横坐标；ｈ决定着顶点的纵坐标，顶点坐标是（ｋ，ｈ）。

二、二次函数图像在顶点形式下的轴对称变化

以ｙ＝２（ｘ－３）²＋１为例，可以让学生在练习本上画出草图，作关于ｘ轴对称的图形，观察图形的大致特征，思考哪些图形发生变化、哪些不变，进一步思考解析式将发生怎样的变化。但是通常学生画出的图形缺乏准确性，并且不同学生画出的图形也会有很大的差距，这样就会造成理解困难，需要教师规范画图思路，利用几何画板的“绘图”工具画出ｙ＝２（ｘ－３）²＋１的图像。

函数图像在几何画板中是不能直接做关于直线对称的图形的，需要标记镜面来“反射”。教师先在ｙ＝２（ｘ－３）²＋１图像上构造一个点，然后做这个点关于ｘ轴的反射点，经过这两个点构造线段，在新线段上构造点，选中这个点和第一个点作为轨迹，通过移动线段上的点，最终就得到了ｙ＝２（ｘ－３）^２＋１关于ｘ轴的对称图形。

这个变化过程是动态的，教师拖动新线段上构造的点就可以演示从原图像到对称图形的整个变化过程，在学生头脑中建立运动的映像，使学生更好地理解变化的规律。

过程演示之后，教师可以让学生观察变化后的图形与原图形相比有哪些发生变化、哪些不变。学生能很容易看出开口的大小不变，方向相反；对称轴不变；顶点纵坐标变成相反数。此时教师可以先让学生独立思考，然后通过讨论得出常数变化后的结果：ａ＝-２，ｋ＝-３，ｈ＝-１，解析式为ｙ＝ －２（ｘ－３）²－１。

学生在根据图像变化得出解析式以后，还需要检验答案是否正确。但是在几何画板中，二次函数“轨迹”的解析式是不能度量出来的，所以教师可以画出函数ｙ＝ －２（ｘ－３）²－１的图像，让学生来观察这条曲线和刚才的轨迹是否重合。然后引导学生上升到一般规律，得到结论：函数ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的图像关于ｘ轴对称图形的解析式为ｙ＝－ａ（ｘ－ｋ）²－ｈ。通过图形变化得到解析式中常数的变化，这是典型的数图结合思想。

教师可以用和上面相同的方法来教学函数ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的图像关于ｙ轴对称的变化。这种动态变化的特点能够在学生头脑中留下深刻的印象，使学生更好地用运动的观点理解变化规律。

在这个活动过程中，还可以增加学生到操作台操作演示的环节，以调动学生积极性，激发学生的学习兴趣。

三、函数ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的图像分析

教师可以先让學生思考：平面直角坐标系中的点，关于原点对称的点的坐标有什么样的变化，然后让学生思考二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）2＋ｈ的顶点关于原点对称的点的坐标是什么。

以ｙ＝２（ｘ－３）²＋１为例。教师先让学生在练习本上画出草图，要重点强调顶点的变化、开口的变化、对称轴的变化。在学生画出草图之后，需要观察思考：这些变化会引起解析式怎样的变化，猜想解析式的变化。

此时教师用几何画板画出ｙ＝２（ｘ－３）²＋１的图像，在图像上构造任意点，然后在“变化”菜单中选择“旋转”，以原点为中心旋转１８０°，就能得到它关于原点对称的点；连接这两个点，构造线段，在这条线段上构造点，选中这个点和函数图像上的点作轨迹，拖动线段上新构造的点，就得到了ｙ＝２（ｘ－３）²＋１关于原点的中心对称图形。

学生观察新图像和原来的图像，容易看到开口方向、对称轴、顶点坐标都发生了变化，相应的解析式中，ａ变为相反数、ｋ变为相反数、ｈ变为相反数，这样就得到了解析式ｙ＝－２（ｘ＋３）²－１。然后通过画出二次函数ｙ＝－２（ｘ＋３）²－１的图像观察它们是否重合来检验答案。

有了上面的过程，学生就能总结出一般规律：ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的图像关于原点对称，ａ、ｋ、ｈ的符号都要发生变化，即解析式为ｙ＝－ａ（ｘ＋ｋ）²－ｈ。

在规律总结以后，教师可以让学生举例来巩固所学的知识，先说出一个二次函数解析式，然后说出其图像关于原点对称图像的解析式，再在操作台上画图检验结果是否正确。这样的教学效果是传统教学无法比拟的。

四、一般形式的二次函数图像变化

（一）平移变化

关于二次函数的平移，教材中只涉及了在顶点形式下的平移变化，遇到一般形式时，通常是先化成顶点形式，然后再做相关的变化，但这样比较麻烦，容易出错。

教师在讲解一般形式二次函数图像平移时，可以先让学生再次明确一般形式ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ中各个常数的作用（ａ决定图像开口的形状，ａ、ｂ决定图像的对称轴，ｃ决定着图像与ｙ轴的交点纵坐标），以便在观察过程中准确把握常数随函数图像的变化而变化。

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向右平移２个单位长度为例。教师先用几何画板画出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的图像，构造函数图像上的一个点，然后在“变化”菜单中选择“平移”，将这个点在水平方向上平移２个单位长度，垂直方向上移动为０，得到平移点；用这两个点构造线段，然后在这条线段上构造点，用线段上构造的点和函数图像上的那个点构造轨迹，拖动线段上的点就能得到原函数向右平移２个单位长度后的图像。

此时教师让学生观察图像猜想解析式，即根据二次函数顶点形式图像左右平移的规律，先猜想结果，再画图加以检验。几何画板不能度量轨迹的解析式，只能通过观察函数图像是否重合来检验结论。

在教学实践过程中曾经出现过图像平移之后会跳回原来的位置，不能停留在终点，影响演示效果的情况。对此可以先做出函数ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向右平移２个单位长度的动画，然后做出函数ｙ＝２（ｘ－２）²－４（ｘ－２）－６的图像并选中隐藏按钮，依次选中两个按钮，在“编辑”菜单中“操作类按钮”选择“系列按钮”，这样就实现了一个按钮控制整个移动过程，并且不会发生跳回现象。

向左平移可以让学生自己类比探究。二次函数图像上下平移相对比较简单，因为学生知道图像在上下平移的过程中，开口形状不变，所以ａ不变；对称轴不变，所以ｂ值不变；只有与ｙ轴的交点发生变化，即上升或者下降。对这个平移变化，学生不难理解，教师可以让学生以操作、观察、分析为主。把函数ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向上平移２个单位长度，学生能直接得到解析式ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６＋２，然后让学生画出图形，观察分析。

让学生用几何画板自己体验的过程必不可少，经过多次的猜想、画图、观察、分析，学生不仅能理解平移的规律，还能在头脑中留下深刻直观的印象。

（二）轴对称变化

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的图像关于ｘ轴对称为例。教师用几何画板画出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的图像以后，在图像上构造一个点，然后在“变化”中选择“反射”，做这个点关于ｘ轴的反射点；经过这两个点构造线段，在新线段上构造点，选中这个点和第一个点作轨迹，拖动线段上的点，就得到了ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６关于ｘ轴的对称图像。

根据前面的学习，学生可以知道开口的大小不变，方向相反，所以ａ变为-２；对称轴不变，所以ｂ变为４；与ｙ轴的交点变了，所以ｃ＝６。此时，教师让学生进一步思考讨论图像的变化会让解析式发生怎样的变化，得出结论以后进行画图验证。

通过对多个图像变化的演示观察，教师可以引导学生总结一般规律，得到结论：函数ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ的图像关于ｘ轴对称图形的解析式为ｙ＝－ａｘ²－ｂｘ－ｃ。

教师也可以用同样的方法来教学函数ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的图像关于ｙ轴对称的变化。以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６为例，可以让学生进行操作演示体验， 学生在画出图形以后，就可以观察到图像开口的形状不变，所以ａ＝２；对称轴变化，所以ｂ变为４；与ｙ轴的交点不变，所以ｃ＝－６。然后得出解析式为ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６，画图验证，最终得到结论：函数ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的图像关于ｙ轴对称图形的解析式为ｙ＝ａｘ²－ｂｘ＋ｃ。

（三）关于原点对称

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６为例，教师先让学生在练习本上画出草图，可以强调一下开口的变化、对称轴的变化、与ｙ轴交点的变化。学生画出图形之后需要观察思考：这些变化会引起解析式怎样的变化，并进一步猜想变化之后的解析式。

然后教师用几何画板画出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的图像，在图像上构造任意点，在“变化”菜单中选择“旋转”，以原点为中心旋转１８０°，得到它关于原点对称的点；连接这两个点，构造线段，在这条线段上构造点，选中这个点和函数图像上的点作轨迹，拖动这个点，就得到了ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６关于原点中心对称的图形。

根据顶点形式关于原点对称变化的规律，学生知道开口方向、对称轴、与ｙ轴交点都发生了变化，相应的解析式中，ａ变为相反数、ｂ值不变、ｃ变为相反数，这样就得到了解析式ｙ＝-２ｘ²－４ｘ+６，然后教师通过画出二次函数ｙ＝-２ｘ²－４ｘ+６的图像来检验答案。

学生再探究总结出一般规律：ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的图像关于原点对称，ａ、ｃ的符号改变，ｂ的符号不变，即解析式为ｙ＝－ａｘ²＋ｂｘ－ｃ。

建议教师在每次总结规律以后，就让学生举例来巩固所学的知识，先说出一个二次函数解析式，然后说出其图像变化之后的解析式，再在操作台上画图检验结果是否正确。这样不仅可以使学生熟练掌握规律，还能让学生更加透彻地理解原理。

函数图像变化问题体现函数的联系和数形结合的思想。解析式理解具有抽象性，在傳统教学活动中，二次函数图像绘图的准确性是无法保证的，图形有关变化之后解析式的检验更是无法实现的。而几何画板能化抽象为直观，有助于说明函数图像间的联系及变化特点；画板动态反映了函数的变化过程，使得学生进一步理解二次函数图像的性质，强大的交互性也让学生有更多的参与机会，提高学生学习数学的兴趣。

尽管几何画板使教学更加便捷、有效，但只能作为辅助教学工具，而不能以演示代替教师的分析和讲解。要想提高数学教学效率，促进数学教育改革，重点还是应放在教师自身素质的培养和提高上。

参考文献：

［１］黄夏秋． 几何画板在高中数学教学设计、实用与评价［Ｊ］． 当代家庭教育，２０２０（０７）：８６．

［２］陈炳霞． 几何画板在初中数学教学中的实践探究［Ｊ］． 中学课程辅导，２０２３（０９）：４８－５０．

［３］温桂珠． 善用 实用 妙用 精用——浅谈几何画板在小学数学教学中的恰当应用［Ｊ］． 教师，２０１９（３３）：７６－７８．

（责任编辑：向志莉）