关于一个“绳瞬间绷直”问题的思考

沈文炳

摘 要：通过轻绳连接的小球在竖直平面下落后轻绳瞬间绷直并做圆周运动的模型是中学物理的典型模型。通过构建刚性金属丝圆轨道，并利用数学求导和几何画板作图，认识到了小球能否再次从圆轨道回到最低点的条件。最后，利用该模型解决了电场中的绳瞬间绷直的问题。

关键词：瞬间绷直；金属丝圆轨道；数学求导；几何画板

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）11-0043-2

1 问题的提出

通过轻绳连接的小球在竖直平面的圆周运动是高中物理研究的一个典型模型，其中涉及到的“绳瞬间绷直”问题是难点[1，2]。如图1所示，长度为R的轻绳一端固定在O点，另一端连接质量为m的小球，A、B、C、D是半径为R的竖直平面的圆周上的四点。把小球从与水平方向成θ角的位置1由静止释放，小球自由下落到圆周上的位置2时速度为v，并在瞬间速度发生突变，轻绳方向的速度消失，速度变为v1，然后沿圆周运动。

一般的试题中，主要是求解小球第一次到达最低点B的速度。那么，在角度θ改变时，小球能否再次沿圆周通过最低点B？

2 问题的解决

小球从位置2向右沿圆周运动时，如果到达的最高点位于D点及以下时，就会沿圆周再次回到最低点B；如果能越过D点，则会从D点上方的圆周上某点脱离圆周，然后向左上方做斜抛运动。

为了简单，假设从位置2向右的圆周用光滑的刚性金属丝做成，有孔小球到达位置2后开始穿入圆轨道并向右运动。小球向右运动的最高点3与CD夹角为α。若点3在CD下方则α为正，在CD上方则α为负。由动能定理，小球从位置1到位置2过程中，2mgRsinθ=mv2；从位置2到最高点3的过程中，-mgR（sinθ-sinα）=0- mv ；又v1=vcosθ。联立上述方程可以得到sinα=2sin θ-sinθ，其中0≤θ≤0.5π。

对方程求导，有（sinα）=（6sin2θ-1）cosθ，令（sinα）=0，可知，当θ=0.5π时，sinα有最大值1，小球下落后静止在B点；当sinθ= 时，sinα有最小值- ≈-0.27，小球到达D点时速度最大。利用几何画板作方程的图像如图2所示。

从图2可以看出，当0<θ<0.25π时，小球会从D点上方某点脱离圆弧，向左上方做斜抛运动，不会沿圆弧到达B点；当0.25π<θ<0.5π时，小球会在圆弧CBD上做往复运动，会出现第二次沿圆弧到达B点。

3 问题的迁移

人民教育出版社课程教材研究所和物理课程教材研究开发中心编著的《教师教学用书》选修3-1第69页第10题涉及到“绳瞬间绷直”的电场问题，可以用上述重力场的模型类比解决。

例 如图3所示，空间存在水平方向的匀强电场E=2.0×104 N/C，在A处有一个质量为0.3 kg的质点，所带电荷量q=+2.0×10-4 C，用一长L=600 cm的不可伸长的绝缘细线与固定点O连接。AO与电场线平行处于水平状态，取g=10 m/s2。现让该质点在A处静止释放，求：

（1）质点第一次到达O点正下方时增加的机械能ΔE；

（2）质点第一次到达O点正下方时的速度大小v1。

如图4所示，A、B、C、D、G、H、K为半径为L的圆周上的点，HB和GK垂直，GK和AD平行，OC为竖直方向。由于小球受的向左的电场力qE=4 N，重力mg=3 N，合力F=5 N，方向指向AD方向，AO和HB间夹角θ=53 °。小球第一次到达O点正下方的位置为P点。

如果要判断小球能否沿圆周通过O点正下方的C点，就可以用上述的结论来类比。合力F类比于图1中的mg，GK类比于图1中的BA，HB类比于图1中的DC。由于θ=53 °，满足0.25π≤θ≤0.5π，小球到达D点后沿圆周向左运动到H点下方某处速度为零，然后返回通过C点。利用功能关系和动能定理可以求解小球再次通过O点正下方时的速度大小。

参考文献：

[1]贾金虎. 高考物理试题的审题方法和技巧[J]. 物理教学探讨，2009，27（05）：27—31.

[2]王志民. 物体将绳瞬间绷直现象的分析与求解[J]. 中学物理教学参考，2000，29（11）：27—29.

（栏目编辑 罗琬华）