“平面向量数量积的最值问题”微专题研究

韩玮

摘  要：从高考试题入手，探求“平面向量数量积”的不同解法，引导学生回顾、完善平面向量的基础知识，建构解题方法，从感知、领会逐渐发展到应用、分析，有意识地将原有知识迁移到新的情境中做出决策并解决问题.

关键词：知识迁移;感悟;高阶知能

一、引言

数学课堂中，教师不仅要引导学生将所学的知识进行归纳、整理，形成知识结构网络，更重要的是指导学生将已有知识与技能进行迁移训练，培养学生触类旁通、举一反三、统筹运用所学知识解决问题的能力. 以“平面向量数量积的最值问题”微专题单元学习为例，笔者谈谈数学课堂中引导学生思维不断走向深入的一些教学启示.

二、示例研究

1. 试题入手，探求解法

题目1 （2020年北京卷·13）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足[AP=12AB+AC，] 则[PD]的值为        ;[PB ∙ PD]的值为       .

解析：第一空解答的关键是根据向量加法的平行四边形法则，画出示意图，易知点P是BC的中点，故[PD=5.]

第二空方法1：利用向量的数量积公式[PB ∙ PD=][PBPDcosPB， PD]直接计算即可. [∠BPD]的余弦值可以借助[Rt△PCD]求得，也可以连接BD，利用余弦定理求解.

第二空方法2：利用向量射影的概念，可知在公式[PB ∙ PD=PBPDcosPB， PD]中，[PDcosPB， PD]表示[PD]在[PB]方向上的射影，如图1所示，显然[PD]在[PB]方向上的射影是[-PC=-1，] 故[PB ∙ PD=-1.]

第二空方法3：如圖2，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易知点B的坐标为[2，0，] 点P的坐标为[2，1，] 点D的坐标为[0，2，] 所以[PB=0，-1， PD=-2，1.] 由平面向量数量积的坐标运算公式，得[PB ∙ PD=-1.]

第二空方法4：利用平面向量基本定理：选取不共线向量[AB， AD]为一组基底，则[PB=-12AD， PD=][12AD-AB.] 所以[PB ∙ PD=-12AD12AD-AB=-14AD2+][0=-1.]

由上述高考试题探求了求解平面向量数量积的四种不同方法：数量积公式、平面向量射影定义、建系转化成代数运算、平面向量基本定理. 这四种方法涉及平面向量的基本内容，也是平面向量的核心知识. 教学中，要对应不同方法引导学生回顾、完善平面向量的基础知识，建构解题方法，从感知、领会逐渐发展到应用、分析，有意识地将原有知识迁移到新的情境中，做出决策并解决问题.

2. 优化解法，深化认知

（1）平面向量的基础知识.

基本概念：向量;向量的三种运算——加减、数乘、数量积;向量的两种表示方法——几何、代数.

深度认知：平面向量射影定义在解题中的灵活运用.

变式1：已知正方形ABCD的边长为2，点P在边BC上运动，求[PB ∙ PD]的最大值.

解析：如图3，利用平面向量射影概念，结合点P的运动，易知[PB ∙ PD]的最大值为0.

变式2：已知正方形ABCD的边长为2，点P是边BC的中点，若点Q是正方形ABCD内（含边界）的任意一点，求[AP ∙ AQ]的最大值.

解析：如图4，利用平面向量射影概念，结合点Q的运动，易知当点Q与点C重合时，[AQ]在[AP]方向上的射影最长为[AM=655，] 故[AP ∙ AQ]的最大值为6.

真题演练：（2020年全国新高考Ⅰ卷·7）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则[AP ∙ AB]的取值范围是（    ）.

（A）[-2，6] （B）[-6，2]

（C）[-2，4] （D）[-4，6]

解析：如图5，利用平面向量射影概念，根据题意：[AB]固定，结合点P的运动，易知当点P与点C重合时，[AP]在[AB]方向上的射影最长，为[AC=3;] 当点P与点F重合时，[AP]在[AB]方向上的射影最短，为[-AF=-1.] 故[AP ∙ AB]的取值范围是[-2，6.]

从学情考虑，数量积公式的直接使用和建系转化成代数运算这两个知识点学生易于接受和掌握，也是学生解答此类问题的首选方法，其中的难点是两个向量夹角的计算，以及恰当建系和在坐标系中正确书写点的坐标及准确进行坐标运算. 突破难点的方法则是提升学生的运算素养. 而平面向量的射影定义和平面向量基本定理这两个知识点在解题中的灵活运用恰恰是学生所欠缺的，因此这两个内容值得花费时间和精力引导学生的思维走向深入，力求在问题解决的过程中引导学生深刻体会知识的发生过程，通过变式训练和高考试题演练，帮助学生进一步感悟、提炼、归纳和巩固，从而促使学生有意识地从知识的本质出发，多思少算，提升数学思维，达到深度学习的目的.

（2）平面向量基本定理的运用.

基本概念：[e1，e2]是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任意向量[a，] 有且只有一对实数[λ1，λ2，] 使[a=λ1e1+λ2e2，] 其中[e1，e2]是一组基底.

深度认知：平面向量基本定理在解题中的灵活运用.

题目2  在平行四边形[ABCD]中，[∠DAB=π3，AB=2，] [AD=1，] 若[M，N]分别是边[BC，CD]上的点，且满足[BMBC=CNCD，] 则[AM ∙ AN]的最大值为（    ）.

（A）2     （B）4     （C）5     （D）6

解析：如图6，利用平面向量基本定理选取不共线向量[AB]和[AD]为一组基底.

设[BMBC=CNCD=λ，0≤λ≤1，]

则[AM=AB+BM=AB+λ∙BC=AB+λ∙AD， AN=AD+]

[DN=AD+1-λDC=1-λAB+AD.]

所以[AM ∙ AN=AB+λAD1-λAB+AD=1-λ ∙][AB2+1+λ-λ2AB ∙ AD+λAD2=1-λ×22+1+λ-λ2×][2×1×cosπ3+λ×12=-λ2-2λ+5=-λ+12+6.]

所以当[λ=0]时，[AM ∙ AN]取得最大值5.

真题演练：（2018年天津卷·理8）如图7，在平面四边形[ABCD]中，[AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=][AD=1.] 若点E为边CD上的动点，则[AE ∙ BE]的最小值为（    ）.

（A）[2116] （B）[32]

（C）[2516] （D）3

解析：如图8，根据题意，结合此题所涉及平面图形的结构特点，延长BA，CD交于点O，易知[△CBO]为直角三角形，[∠BOC=30°，OA=2，OD=3.]

连接BD，由已知条件，在[△BAD]中利用余弦定理易求出[BD=3.]

由[AB=AD，∠BAD=120°，] 得

[∠ADB=∠ABD=30°.]

所以[∠BDC=60°.]

而由已知易知[∠DCB=60°，]

所以[△BDC]是正三角形.

所以[DC=BC=DB=3.]

所以[CO=23.]

由平面向量基本定理，选取不共线向量[OA]和[OC]为一组基底，

设[OE=λOC， 12≤λ≤1，]

则[AE=AO+OE=AO+λOC=-OA+λOC， BE=]

[BO+OE=-32OA+λOC.]

所以[AE ∙ BE=-OA+λOC-32OA+λOC=32OA2-][52λ∙OA ∙ OC+λ2OC2=12λ2-52λOAOCcosOA， OC+]

[6=12λ2-15λ+6=12λ-582+2116.]

所以当[λ=58]时，[AE ∙ BE]取得最小值[2116].

这两道题目通过恰当建系将向量问题代数化，均可获解. 上述利用平面向量基本定理解答的方法则是在学生深刻理解题意，明确平面图形的结构特点的基础上，选取一组基底，同时用基底表示待求问题中的两个向量，再利用平面向量的数量积计算公式将求向量数量积的最值问题等价转化为二次函数在指定区间上的最值问题，这显然进入了求解最值问题的常见思路，这正是深度学习所要达到的目的——学会迁移，即在遇到新问题时能够运用已学知识和技能加以解决. 迁移不仅是学习结果在变化了的条件下的运用，更是完成新的学习任务的基本条件. 学生掌握的知识与技能、已获得的经验，通过广泛的迁移，不断被归纳、强化和运用，进而转化为解决问题的能力，因此在教学中指导学生学会运用知识，识别不同表象下知识、技能、方法间的内在结构和问题本质，才能发展学生触类旁通、举一反三、运筹帷幄地运用所学知识解决问题的能力.

3. 拓展提升

题目3  如图9，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，[PM ∙ PN]的取值范围是       .

解法1：根据题意，MN是正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的最长弦，故MN应该是内切球的直径，则MN = 2.

设M，N分别是内切球在正方体左、右侧面的切点. 如图10，当点P在正方体的表面运动，且与正方体的某个顶点重合时，[PM ∙ PN]达到最大值.

以点P与点[C1]重合为例，此时[PM ∙ PN=C1M ∙][C1N=C1MC1NcosC1M， C1N. C1McosC1M， C1N]是[C1M]在[C1N]方向上的射影.

如图10，显然[C1M]在[C1N]方向上的射影的最大值是[C1N=222=2.] 此时[PM ∙ PN=C1N2=2.]

而当点P与正方体的某个面的中心重合时，[C1M]在[C1N]方向上的射影的最小值是0，所以[PM ∙ PN]的取值范围是[0，2.]

解法2：已知正方体的棱长为2，由题意知正方体内切球的半径为1，正方体的体对角线长为[23.] 当弦MN的长度最长时，MN应为内切球的直径.

如图11，设内切球的球心为O，不妨选取不共线向量[OP， ON]为一组基底，

可得[PM=PO+OM=-OP-ON， PN=PO+ON=][-OP+ON.]

所以[PM ∙ PN=-OP-ON-OP+ON=OP2-ON2=][OP2-1.]

因为点P为正方体表面上的动点，

故[OP∈1， 3，]

所以[PM ∙ PN]的取值范围是[0，2.]

题目3将向量问题拓展到了空间，看似复杂，实则说明在教学中要引导学生深入理解题意，并能从立体图形中提取与待求量相关的最基本的平面图形，最终追根溯源对基本图形进行深入分析，逐步建构待求量与已知知识之间的内在逻辑关联，将所学知识迁移到待解决问题的思维结构中，并在独立思考和试误中产生顿悟，最终利用平面向量的射影定义或找到一组恰当的基底，借助平面向量基本定理获解.

学之道在于“悟”. 对数学知识本质的理解需要有长时间悟的过程，而这一过程恰恰是学生自我思考、自我试误、自我反思、自我总结的过程. 不同的思维切入点，往往能够获得不同的学习体验和感悟，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”. 这就要求学生在“悟”中不断提升高阶知能的生成，通過有启发性的学习和活动促使学生深度参与思考，恰切采用高层次学习方略，达到迁移应用，实现高阶知能在全新情境中的应用的有意义学习.

参考文献：

[1]何玲，黎加厚. 促进学生深度学习[J]. 现代教学，2005（5）：29-30.

2196501705379