利用GeoGebra软件分析高考试题

叶媛敏 胡典顺

摘  要：GeoGebra软件是一款功能丰富的动态几何软件，将其融入教学活动，以新的视角解析高考试题，在师与生的互动中实现教与学的双赢.

关键词：GeoGebra软件;高考试题;数学教学

一、引言

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》提出要把教育信息化擺在支撑引领教育现代化的战略地位.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出，高中数学课程要以学生发展为本，以落实立德树人为根本任务，提升数学学科核心素养，引导学生把握数学的本质. 数学是抽象的，不仅数学的研究对象是抽象的、形式化的思想材料，还表现为数学概念、数学思维和数学符号的抽象性. 数学学科核心素养中的直观想象有助于数学抽象问题的解决. 直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形来理解和解决问题的素养. 学生在发展几何直观和空间想象能力的同时，借助数形结合的思想，化抽象为形象，化深奥为具体.

GeoGebra软件是一款结合几何、代数与微积分的动态数学软件，可以将抽象的数据信息转换为直观的图象信息，即信息的可视化. 它的功能丰富，适用于函数、几何、统计、图表、代数等多个领域. 它可以巧妙地将数与形结合起来，帮助学生通过空间形式感知数的特点和规律，借助数的奥妙来体会空间形式的变换，让学生运用几何直观和空间想象来思考问题，抓住数学问题的本质属性. 因此，将GeoGebra软件融入课堂能够让学生在数学学习中感受“学数学”和“做数学”;在数学情境中启发思维，提升创新意识和实践能力;在数学活动中激发学习兴趣，提高参与度，成为建构知识的主体. 本文以GeoGebra软件为视角，分析2020年高考数学全国Ⅰ卷理科中的部分典型试题，旨在探讨如何将GeoGebra软件应用于数学教学.

二、典型试题分析

1. 解决定点问题

解析几何是高考考查的重点和难点之一. 解析几何不仅对数学方法和数学思想有较高的要求，而且常与向量、参数、导数等知识点结合在一起进行综合考查，具有综合性高、灵活性强的特点. 它能够全面考查学生的数学知识和数学思想方法. 这就要求学生具有深厚的知识基础和严谨的思维能力，并且能够灵活运用知识，以便建立起实质上的联系，从而找到解决问题的突破口. GeoGebra软件作为一款动态数学软件，数形结合是其最显著的特点，可以完美展示几何与代数之间的对应关系，给学生以最直观的感受.

例1 （第20题）已知[A，B]分别为椭圆[E]：[x2a2+y2=1][a>1]的左、右顶点，[G]为[E]的上顶点，[AG · GB=8]，[P]为直线[x=6]上的动点，[PA]与[E]的另一个交点为[C]，[PB]与[E]的另一个交点为[D].

（1）求[E]的方程;

（2）证明：直线[CD]过定点.

该题考查解析几何中椭圆的相关知识，要求学生结合平面向量求解椭圆的方程，并证明解析几何中的定点问题.

第（1）小题实则要通过参数[a]对[AG]和[GB]进行坐标表示，结合平面向量的坐标运算和已知等量关系[AG · GB=8]，求解出参数[a]的值. 教师可以运用GeoGebra软件来解决此类问题.

具体操作步骤如下.

（1）在命令框中输入函数“[x ^ 2a ^ 2+y ^ 2=1 a>1]”，并创建滑动条[a].

（2）选取点[A]和点[G]，设置向量[u=AG]. 选取点[G]和点[B]，设置向量[v=GB].

（3）在命令框中输入“[t=u · v]”，移动滑动条[a]，使得[t=8]，代数区中显示对应参数[a=3]. 如图1所示.所以椭圆[E]的方程为[x29+y2=1].

第（2）小题考查解析几何中动直线过定点的问题，即直线在变化运动的过程中始终经过某一点. 在解决这类问题时，一般要先选择参变量，然后求出定点所在直线的含参变量的方程，最后对方程进行化简求解，得到定点坐标.

该题求解的关键是要通过椭圆与直线[PA]和直线[PB]的两个交点的坐标找出直线[CD]的含参解析式. 由于该题涉及圆锥曲线和直线的交点、动点及动直线的定点问题，所以GeoGebra软件可以发挥重要作用. 教师运用GeoGebra软件可以让学生直观感受到直线的运动变化及发展规律. 通过在直线[x=6]上构造动点[P]，找出椭圆与直线[PA]和直线[PB]的另两个交点[C，D]，构建动直线[CD]，此时不断移动点[P]，让学生观察直线[CD]的运动情况，形成感性认识，并对定点进行猜想，再通过计算来检验猜想.

GeoGebra软件的具体操作步骤如下.

（1）在命令框中输入“[x ^ 29+y ^ 2=1]”，绘制出椭圆[E];输入“[x=6]”绘制直线[l].

（2）选择直线[l]，运用“对象上的点”命令在直线[l]上作出动点[P]. 选择直线[PA]和直线[PB]，运用“交点”命令作出直线与椭圆的两个交点[C，D]，并选取点[C，D]作出直线[CD].

（3）移动点[P]，观察动直线[CD]的位置变换，如图2和图3所示.

（4）选定直线[CD]启动“开启跟踪”命令，对点[P]进行速度设置，随后启动动画，可以绘出直线[CD]随着动点[P]的变化而变化的运动轨迹，如图4所示. 学生可以发现直线[CD]始终围绕着直线与[x]轴的交点转动.

通过GeoGebra软件对解析几何的动直线过定点问题的直观演示，可以将抽象的数学问题形象化. 在观察动态演示的过程中，学生可以发现动直线[CD]始终相交于一点，即围绕这点转动，强化对“定点”的理解.

除了对“形”的观察，还需要对“数”进行验证. 在学生掌握了动点和动直线的变化规律后，教师进行教学时应引导学生用代数方法对猜想进行检验，从而得出严谨的结论.

借助GeoGebra软件解答解析几何问题：一方面，能让学生直观地感受几何形态与代数方程的同步变化，从多角度、深层次来理解问题，抓住数学问题的本质;另一方面，活跃的课堂探索氛围可以提高学生的数学学习兴趣，让学生在独立思考和智力参与中培养探索精神和创新意识.

2. 解决函数问题

函数是数学学习的重要内容，是《标准》的主线之一. 通过对函数的概念、图象和性质、函数的导数及其应用几个方面的内容进行综合考查，促进学生把握知识的内在联系并建立完整的函数知识体系，这不仅是对函数基础知识的学习巩固、基本思想方法的习得运用，也是对数学学科核心素养的培养发展.“函数与导数”的应用是函数知识综合考查的体现，利用导数研究函数的单调性、函数的极值和函数的零点问题一般作为高考试卷的压轴题出现. 因此，有必要对此类型的问题展开研究.

例2 （第21题）已知函数[fx=ex+ax2-x].

（1）当[a=1]时，讨论[fx]的单调性;

（2）当[x≥0]时，[fx≥12x3+1]，求[a]的取值范围.

第（1）小题的讨论方法在第（2）小题中有所涉及，所以此处不进行单独讨论.

第（2）小题是导数在函数上的应用问题，通过恒成立，利用导数的单调性和最值来求解参数的范围. 通常有两种解决方法. 第一种方法，构造新函数[y=fx-][12x3-1 x≥0]，将问题转化为函数[y]的最值与0的大小关系问题. 第二种方法，分离出参数[a]，即要证[a≥][12x3+x+1-exx2]. 构造函数[hx=12x3+x+1-exx2 x>0]（注：此时要分类讨论，当[x=0]时，对于任意[a∈R]都满足题意），则可以将不等式问题转化为求函数[hx]的最大值问题. 运用GeoGebra软件绘制函数图象、观察单调性、求解极值点等是极为方便的.

具体操作步骤如下.

（1）在命令框中输入“[hx=（12x ^ 3+x+1-e ^ x）x ^ 2]”和“extremum[h]”，绘图区中即可出现函数[hx]的图象和极大值[h2].

（2）在命令框中输入“[hx]”，代数区中直接显示出[hx]的导函数[hx]的函数方程，绘图区中相应绘制出[hx]的图象;输入“[rooth]”显示出[hx]的零点，当[x=2]时，[hx=0]. 观察图象，当[x∈0，2]时，[hx>0]，当[x∈2，+∞]时，[hx<0]. 所以函数[hx]在[0，2]上单调递增，在[2，+∞]上单调递减，此时对应的极大值即函数的最大值[h2].

（3）创建滑动条[a]，输入“[y=a]”，改变滑动条[a]的数值，直线[y=a]的位置也相应变动，如图5所示. 当[y≥h2]时，即直线[y=a]在函数[hx]的图象的上方时，满足[a≥12x3+x+1-exx2].

该题是运用导数综合考查函数的单调性、极值和最值问题. 在GeoGebra软件中输入不同的命令，可以直接绘制出原函数图象，求解导函数，解出极值. 学生可以直观感受到函数的形态变化和规律特点，这对理解函数的单调性、极值和最值问题有很大帮助. 此外，学生还可以运用GeoGebra软件来检验自己的判断正确与否.

需要注意的是，教师在教学过程中将GeoGebra软件融入课堂充分发挥其直观性的特点，可以促进学生对数学知识的把握和数学结果的判断，但数学的具体运算过程涉及较少，学生的运算能力没有得到锻炼. 例如，该题运用GeoGebra软件可以简洁、直观分析函数的性质，但在实际的解题过程中需要分类讨论，分离参数，对函数进行二阶求导，进而判断函数的单调性和极值，并且在运算过程中还涉及自然对数[e]. 而此软件的最终运算结果只是具体数值的呈现，不涉及详细的计算过程. 因此，教师应该寻找培养直观想象素养和数学运算素养的一个平衡點，在直观教学的同时加强解题运算的练习. 把GeoGebra软件作为教学的辅助，而不是获取数学结果的手段.

3. 解决立体几何问题

在高中数学的学习中，学生以抽象思维为主，由经验型抽象思维发展到理论型抽象思维和辩证逻辑思维. 立体几何学习是锻炼学生抽象思维的重要途径之一. 通过对立体几何的研究，可以培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等素养. GeoGebra软件相较于其他信息技术软件的一个显著优势就是三维视角的应用. 将GeoGebra软件的3D绘图功能应用于立体几何问题的解决是直观且高效的. 它可以提高学生的空间想象能力，让学生更精准地抓住几何问题的本质，从而找到解决问题的突破点.

例3 （第3题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一（如图6），它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该

四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ）.

（A）[5-14] （B）[5-12]

（C）[5+14] （D）[5+12]

该题以古埃及文明的胡夫金字塔为背景，通过实际建筑构造立体模型，化抽象为形象，降低解题的难度. 将数学文化融入数学教学也是对数学文化的一种发扬与传承，能够让学生深刻感受数学的美学价值和文化底蕴. 解答该题的关键在于通过正四棱锥的几何特征找到等量关系，构建方程. 运用GeoGebra软件的3D绘图区可以清晰地画出立体几何图形，不断改变其位置，学生可以从不同的视角观察图形，抓住解题的关键.

使用GeoGebra软件的具体步骤如下.

（1）打开3D绘图区，选择工具“正多边形”绘制出正四棱锥的底面，此时代数区出现“[poly1]”表示底面正四边形.

（2）在命令框中输入“锥形（[poly1]，[h]）”，绘图区中出现立体几何图形正四棱锥.

（3）选择工具“垂线”，分别做出点[E]、点[O]到线段[CD]的垂线，两垂线交于一点，即垂足[G]. 线段[OE，EG，OG]分别为正四棱锥的高[h]、斜高[h]和斜高在底面内的投影，如图7所示.

教师应该不断变换视角让学生观察图形的特征，找到线段[OE，EG，OG]之间的数量关系. 学生在观察立体图形时，应该对正四棱锥的性质有一定的知识储备. 正四棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形，这是运用等量关系构造方程的关键. 设底面边长为[a]，结合题中已知的等量关系和[Rt△OEG]中的勾股定理[OE2+OG2=EG2]，构造方程[h2=12ah，h2+12a2=h2.] 对方程进行求解，即可得出结果. 在GeoGebra软件的3D绘图区中，立体几何图形的直观呈现可以让学生获得清晰的表象，抓住[△OEG]是直角三角形这个关键点，从而高效解决问题. 由于该题的题干对几何图形已经有了准确、清晰的描述，所以教师在教学过程中可以先隐藏实物图形，让学生根据已知条件运用信息技术自己作图，在此基础上再呈现几何原图进行验证. 一方面，能够促进学生在阅读思考的过程中理解题意，把握立体几何的特征，抓住解题的关键，理解问题的本质;另一方面，学生在动手操作中会全身心地投入到学习活动中，有助于激发学习热情，提高学习数学的兴趣和学好数学的自信心.

三、总结与讨论

1. 数形结合，凸显数学本质

著名数学家华罗庚先生曾指出“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，表明了数形结合思想的重要性. 数形结合是分析和解决数学问题的重要工具，可以实现代数与几何的相互转化. 抽象的数学关系通过直观的几何图象来表示，使得抽象概念、数学理论更容易被学生理解和内化;直观的几何图象也可以通过代数语言来表达，使得数学关系更准确，充分体现了数学学科的严谨性. 数形结合也是GeoGebra软件的一大显著优势. 它具有多种表征形式，如绘图区、代数区、CAS窗口、3D绘图区等，各个区域之间存在着对应关系，改变某一区域信息，其他区域也会跟着相应变化. GeoGebra软件的多元呈现将数形结合的思想发挥得淋漓尽致. 学生能从直观的图形变化和代数信息中获得丰富的感性材料，作为进一步分析问题的基础，从而找到解决问题的关键.

在教学过程中，需要注意的是：不能只顾直观而忽略数学运算过程. 在很多情况下，运用GeoGebra软件将图形作为思维的载体，可以直接呈现最终答案. 这样的方式诚然直观高效，却忽视了对学生数学运算能力的培养. 教师应兼顾直观想象和数学运算，在使用GeoGebra软件让学生获得直观感受之后，引导学生自己动手计算结果. 这样不仅可以提高学生的数学运算能力，而且运算过程实则也是对数学知识间逻辑关系的重新梳理，从而促进学生理解知识的内在联系、扩充数学认知结构、构建完善的知识体系.

2. 探究学习，突出过程价值

数学探究学习是一种以独立思考、深入钻研数学问题为主的思维探究活动，强调学生的主动参与. 学生只有在数学学习中积极思考，才能获得深刻的数学知识和数学思想方法，也更容易获取过程性知识. 过程性知识的获得有助于数学活动经验的积累和数学文化精神的感悟. GeoGebra软件作为数学学习的强有力工具，可以为学生的数学探究搭建平台，学生可以在课内、外利用它开展数学实验与数学探究. 探究问题的过程化有助于学生在自主活动中建构对知识的理解，挖掘数学潜能，实现数学问题的延伸拓展，获得对数学过程性知识的体验. 但需要指出的是，教师应该给学生留出较多的思考空间，引导学生在操作过程中不断思考，这样才能产生问题与思维碰撞的火花. GeoGebra软件在学习过程中充当“脚手架”，搭建良好的学习平台，让学生能够主动探究、积极思考，从多角度理解数学知识，构建知识框架. 除了对数学结果知识的理解外，更重要的是获得数学过程性知识. 让学生成为学习的主体，使用GeoGebra软件不断尝试感悟，钻研探索，有助于提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，提升创新意识和数学思维品质.

3. 应用广泛，优化教学过程

GeoGebra软件具有较强的代数、绘图、统计功能，并且操作简单，应用广泛，为实现师与生、生与生互动交流搭建了良好的平台. 数学教学的过程大致包括备课、上课（教与学的双向互动）、测试与反馈三大环节. 在备课环节，GeoGebra软件主要用于绘制精美的数学图形并融入教学设计中，提高备课效率，使课件集知识性与趣味性于一体. 在上课环节，将GeoGebra软件融入课堂可以直接呈现直观几何图象或进行动态变换，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度. 在测评与反馈环节，运用GeoGebra软件进行试题的制作和讲解也是极为方便、高效的. GeoGebra软件可以融入教学的全过程，优化教学过程，提高教学效率. 由于教师在此过程中充当着引路人的重要角色，所以教师应具备一定的专业素养，以实现教与学的最优化. 一方面，教师应该精通此软件，能够及时解答学生的操作实践问题;另一方面，教师应该对数学知识较为熟悉，能够在教学活动中适当使用相关软件，让教学过程具有思想性和科学性. 并不是所有的知识点都适用软件的教学，如果一味强调信息技术与数学知识强加关联，反而会削弱教学效果，降低教学质量.

综上所述，GeoGebra软件作为一款功能丰富的动态几何软件，将其恰当、合理地与数学课堂相结合，不仅能激发学生的数学学习兴趣，深入理解数学知识的本质，提升直观想象、数学抽象等素养，体会数学的文化价值，而且可以创造良好的教学互动氛围，对于教学方法的探索、教學过程的优化、教学效率的提高也有极大的益处. 但这都需要教师与学生的共同参与、不断学习、勇于尝试，继而实现GeoGebra软件在数学课堂教学中的效益最大化.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]左晓明，田艳丽，贠超. 基于GeoGebra的数学教学全过程优化研究[J]. 数学教育学报，2010，19（1）：99-102.

[3]李伟，胡典顺. 信息技术素养视角下的高考试题分析：以2018年理科全国Ⅰ卷为例[J]. 中国数学教育（高中版），2019（1 / 2）：110-115.

[4]寇恒青. GeoGebra在高中数学教学中的应用初探[J]. 数学通报，2015，54（9）：48-51.

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