回归基本原理·把握数学本质·创造新的价值

张劲松

《用数学的语言看世界》是美国加州理工学院理论物理学家大栗博司（1962— ）于2015年以“写给女儿的数学启蒙书”的方式撰写的数学科普图书. 书中以用“数学语言”解读为自然线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”，用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作.

我们现在经常讲“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”，实际上与“用数学的语言看世界”异曲同工. 此处“看”既有观察、表达的意思，更有思考的含义.

一、书中的主要观点

书中的很多观点，值得我们关注并思考，摘录部分如下.

“虽然现代社会问题不少，但现在是人类历史中最精彩的时代. 这个精彩的时代是人类智力和努力构建出来的，我们不仅仅是成果的受惠者，而且要成为社会进步的推动者、创造者，为后世留下更好的成果.

“随着互联网的普及，我们能够瞬时获得全世界的知识. 此时自主思考能力显得尤为重要，它能帮助我们不被海量信息淹没，学会把握本质，创造新的价值.

“古罗马时期有‘七艺’之说：逻辑、语法、修辞、音乐、天文、算术、几何. 逻辑、语法、修辞是磨练‘论证’的语言技术. 它们是语言成形的必要条件，只有学会使用语言，才能获得思考的能力. 数学是和语言学习一样的东西，数学可以精确地描述事物，这种描述能力甚至超过自然语言的表现能力. 因为如果理解数学，就能看到无形、不可见的东西，想出从未想到过的新创意. 学习数学反映了语言学习的一个侧面.

“学习数学不仅要掌握实用的方法，同时还要培养思考的能力. 从真正意义上去创新时，必须得从基本原理出发. 任何领域都一样，先要去发现这个领域最基本的原理，然后再重新思考. 数学语言的出现正是为了帮助我们回归基本原理，尽可能正确地把握事物的本质.

“本书是为了让你在21世纪度过有意义的人生而写的数学知识. 当然，要想有体系地学习数学，最好还是使用学校的教材.

“数学是一门发展中的语言. 在科学的最前线，新的数学不断出现，以表达最新的科学知识. 创造新的语言是为了讨论前所未有的事物，解答未曾解决的问题. 这也是人类最伟大的智力活动. 语言的选择在很大程度上影响了我们对身边事物的感受和思考，掌握另外一种语言就是拥有第二个灵魂. 这也是数学学习的重要意义所在.”

二、本书主要内容

这本书是在用历史事件、生动故事及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，包括以下九个方面的内容.

（1）从不确定的信息中做出判断——统计概率，特别是条件概率与贝叶斯定理.

（2）回归基本原理——数：运算及运算律，数系的扩充.

（3）大数字并不恐怖——对数与数字：科学记数法，函数，对数的发明，数字.

（4）不可思议的素数——数论：素数有无穷多，素数的分布规律.

（5）无限世界与不完备性定理——极限与逻辑. 到了19世纪，出现了一种为了数学本身而研究数学的想法;作为有限存在的我们，当然无法一次性理解带有无穷个数字的无限小数;在数学中，定义非常重要，特别是在思考我们直觉无法理解的无限时，定义显得尤其重要;把无限小数理解成有限小数的极限确实有点难以令人接受;将数学的公理系统本身作为数学的研究对象;哥德尔不完备性定理告诉我们一个事实，我们是有限的存在.

（6）测量宇宙的形状——几何. 从古希腊时期到现在，数学拓展了我们的经验世界;推动数学发展的是我们人类纯粹的好奇心，数学家对欧几里得的平行公理是否独立于其他公理问题的探索帮助高斯发现了曲率的概念;而且，人类也掌握了如何科学地测量宇宙整体形状，以及宇宙中的物质和能量.

（7）微分源于积分——微积分. 与积分相比，微分是更高级的数学概念;除了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数外，能够精确计算微积分的函数非常少，出现在数学应用中的函数，大多数只能通过计算机进行数值计算.

（8）真实存在的“假想数字”——复数. 虚数常被解释是用于解没有实数根的二次方程，其实不然;在历史上，数学中真正开始认真思考虚数并不是因为二次方程，而是为了研究三次方程的解法;欧洲到了17世纪后期才普遍接受了“负数”，而且，直到进入了19世纪，人们才明白了虚数中所包含的意义;如果作正五边形，就能感受到复数和方程的威力;正五边形的作图方法被视为古希腊数学最伟大的成果之一;随着数学的发展，我们有时会发现原本完全无关的事物之间存在着意外的联系：三角函数诞生于古希腊时期的平面几何研究，纳皮尔受第谷天文学的刺激，为了实现大数字的计算的简化而发明了指数函数，出生迥异的两种函数却通过“假想的数字”（即在复数的世界中）产生了紧密的联系;数学的出现最初是为了帮助人类理解自然，在它出现以后就开始拥有自己的生命并且不断发展壮大，完全不受人类的控制，就像是指数函数与三角函数的联系，与其说是人类创造的产物，倒不如说是欧拉等探险者在数学的世界中发现了它的存在;我们一直认为复数原本是人类假想的数字，其实在独立于人类现实世界的数学世界中，它一直存在.

（9）测量“难”与“美”——方程求解、对称与群的关系. 二次方程的求根公式是“不实用的数学”的一个侧面;数学的研究对象有限，不过其有限的研究对象包含着一个宏大精彩的世界. 伽罗瓦两手揣在怀中，自言自语说道：“存在难的‘方程’，不存在‘方程’的难度.”不过他的思考并没有停在此处，而是试图用数学语言表达这个“难度”，从而发明了“群”的语言. 最后，“群”还成为打开数学新世界大门的钥匙.

三、回归基本原理，把握数学本质，创造新的价值

以上共九部分内容. 之所以是九部分，我想可能与东方文化中“九”的意义（尊贵、最大、多）有关，如九重天、九州、九曲黄河、《九章算术》、《数书九章》等. 大栗博司是成长在东方并在美国工作的学者，学贯中西，兼容并蓄，對中西文化有切身的认识和理解.

另外，大家可能注意到了，大栗博司把“统计概率”的内容放在了第一部分，特别是详细阐释了条件概率与贝叶斯公式. 这与传统的数学科普著作对内容的介绍完全不一样，一般的数学科普著作是从“数”或“形”开始. 笔者认为，主要原因是作者充分认识到了它在当今社会生活中的意义和价值，而这也是当前数学课程改革积极践行的一个重要内容领域.

这是一个理论物理学家眼中认为对孩子来说重要的数学知识和思想方法. 都说数理不分家，数学和物理，特别是数学与理论物理如影随形. 美国的普林斯顿高等研究院、法国的庞加莱研究所、中国南开大学的陈省身研究所，都是把数学、理论物理作为自己的主旨研究工作，都是数学与理论物理“联姻”的学术圣殿.

这本书写得很好，笔者读了很多遍，每读一遍都有新的收获. 这本书对于我们数学教育工作者，特别是中学数学教师，乃至一些优秀的学生都是有益的. 读完后，你的感慨肯定是“不虚此行”. 试试看吧！

推介本书，介绍大栗博司对数学和数学教育的认识，目的无非是洋为中用，汲取有益的经验，更好地帮助我们认识数学，理解数学思想，运用数学方法. 教育主要是传承，而不是发现和创造，但数学的学习必须经历再发现、再创造的过程. 因此，只有回归基本原理，才能把握数学本质，提升数学教育质量，创造新的价值.

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