美英早期代数教科书中的等比数列知识

韩粟 汪晓勤

摘  要：对1800—1959年间出版的118种美英代数教科书进行研究，研究发现：在等比数列这个主题上，早期代数教科书共采用了3种引入方式、4种定义和8种求和公式推导方法. 这些方式或方法为如今的等比数列教学提供了丰富的素材和有益的思想养料.

关键词：等比数列;引入方式;定义;求和公式

一、引言

从两河流域神秘的楔形文字到恒河流域深奥的吠陀梵文，从埃及大陆《莱茵德纸草书》记载的财产之和到齐鲁大地上惠子与墨子的尺棰取半之争，等比数列的悠久历史从古代四大文明中可见一斑. 随着数学的发展，等比数列的概念不断完善，知识不断丰富，成为刻画现实世界的一类函数模型.

等比数列是如今高中数学中的重要内容，迄今已有不少教师尝试从HPM的视角进行教学设计并付诸实践. 受历史素材的局限，已有的课例在等比数列概念教学中采用了少数历史上的问题，如古印度的猫鼠问题和斐波那契的棋盘问题，以揭示知识的必要性;在求和公式的教学中采用了历史上的若干推导方法，包括源于古埃及的递推法或方程法、欧几里得的比例法，以及欧拉的错位相减法，以呈现方法的多元性. 但是，教师并未考虑等比数列概念形成的自然性、定义的多元性，以及更多推导求和公式的方法.

历史上的数学教科书是一座宝藏，其中蕴含了丰富的教学资源、有益的思想养料，以及独特的知识呈现方式. 为此，我们聚焦等比数列的相关内容，对19世纪初期至20世纪中期出版的美国与英国代数教科书进行研究，尝试回答以下问题：早期教科书如何引入并定义等比数列？教科书中有哪些推导求和公式的方法？对如今的教学有何启示？

二、教科书的选取

选取1800—1959年出版的118种美英早期代数教科书为研究对象，其中108种为美国出版，10种为英国出版，并将每20年划分为一个时间段，出版时间分布如图1所示. 对于同一作者且内容无明显差异的教科书，视为同一种，并选择出版时间最早的版本.

早期教科书中等比数列的知识不胜枚举，本文拟对引入、定义及求和公式三个知识点进行深入研究. 由于本文面向中学数学教学，故不再严格区分数列与级数，统称数列.

在研究的118种教科书中，等比数列内容主要分布于“比例”“数列”“几何比例”“几何数列”“数列与对数”“幂与指数函数”“数学归纳法”等章节.

三、等比数列的引入

经过统计和分析，118种教科书中等比数列内容的引入方式可以分成直接引入、比例引入、数列引入、指数引入四类，其分布情况如图2所示.

1. 比例引入

在被研究的118种教科书中，有19种教科书采用几何比例引入等比数列的方式. Lawrence（1853）先定义几何比是一个量除以另一个量的商，再定义几何比例是两个相等的几何比，最后通过推广相等几何比的个数引入等比数列.

2. 数列引入

在被研究的118种教科书中，有48种教科书以数列为属概念，引入作为种概念的等比数列. 包含两种情形. 一种是通过数列分类的方式引入，如Clarke（1881）指出，数列可以按有穷与无穷、递增与递减、收敛与发散分类，还可以按数列内部特定规律来分类，以此引入等比数列. 另一种是通过具体数列来引入，如Milne（1881）先给出以下数列：（1）[2x，4x，8x，16x;]（2）从2a开始，依次乘以3a所得到的5项数列;（3）从a开始，依次乘以r所得到的6项数列.

3. 指数引入

在被研究的118种教科书中，有3种教科书采用了指数引入的方式. 其中，Mitchel（1845）利用了指数方程：到目前为止，我们都在讨论那些不把未知量作为指数的方程. 而考试中有两类主题都出现了一种方程[ax=b，] 其中[a]和[b]是已知量，[a]的指数[x]是未知量，这两类主题就是等比数列和对数. Smail（1931）则利用了指数型函数：首先取函数[y=32x，] 依次计算[x=0，1，2，3，…]时[y]的值，得到一组数字[3，6，12，][24，…，] 这组公比为2的数是等比数列的一个例子. 一般地，取指数型函数[y=kax，] 计算[x=0，1，2，3，…]时对应的[y]值，得到一组数字[k，ka，ka2，ka3，…，] 这组公比为[a]的数是等比数列.

4. 引入方式的演变

图3给出了118种教科书中等比数列内容引入方式的时间分布情况. 由图3可见，19世纪最早的教科书均采用比例引入方式，“比例”一章的主要內容通常为比与比例性质的讨论，等比数列所占篇幅极少. 19世纪中期，教科书中数列知识开始单独成章，自数列引入方式出现后，比例引入方式逐渐退出历史舞台. 与直接引入相比，数列引入方式通过演绎或归纳获得等比规律，为等比数列概念的出现奠定了基础. 因此，进入20世纪，直接引入方式的使用频率明显下降，数列引入成为主流.

指数概念与符号产生于17世纪，用指数引入等比数列与历史序恰好相反，在我们所研究的早期教科书中，两种采用指数引入方式的教科书均出版于20世纪20年代后，此时函数在数学课程中的地位逐渐提升，将数列视为特殊的函数，符合数列知识的逻辑序.

四、等比数列的定义

根据等比数列的不同构造方式，早期教科书中的等比数列定义可以分为几何比例定义、比值定义、乘法定义和除法定义四种，其分布情况如图4所示.

[图4] [81][乘法定义][比值定义][19][除法定义][13][几何比例定义][5]

1. 几何比例定义

在被研究的118种教科书中，有5种教科书采用了几何比例定义. Simpson（1800）以“4个数构成算术或几何比”的定义为基础，进一步定义“当每两个相邻项的差或比值相等时，则称它们构成连续比. 例如，[2，4，6，8，…]为连续算术比例，[2，4，8，16，…]构成连续几何比例，这类比例又称为数列，它们始终满足同一规律.

2. 比值定义

在被研究的118种教科书中，有19种教科书采用了比值定义. Hall（1840）用符号语言表述：如果有一个数列[a1，a2，a3，…]的任一项与前一项的比值在整个数列范围内都相同，即[a2a1=a3a2=a4a3=…， ]则称数列[a1，a2，a3，…]为等比数列. 比值定义揭示了“等比数列”一词的术语之本.

3. 乘法定义

在被研究的118种教科书中，有81种教科书采用了乘法定义，是早期教科书中出现频率最高的定义方式. 该定義的雏形可以上溯到古埃及人的倍乘法. 不同教科书的表述不尽相同，定义中对于乘数的描述集中在常量、常倍数和公因子三种，具体见下表.

Lilley（1892）认为，正如等差数列由重复的加法或减法构成，等比数列也由重复的乘法构成. 这说明初等数学中也蕴涵着研究代数运算结构的思想.

4. 除法定义

在被研究的118种教科书中，有13种教科书采用了除法定义，即一列数中，若任何一项（第一项之后）除以前一项的商在整个数列中都相同，则这个数列是等比数列. 历史上曾短暂地出现过等商数列的命名，现行教科书以quotient（商）的首字母q作为公比的符号表示.

5. 定义的演变

图5给出了等比数列定义的时间分布情况. 由图5可知，5种几何比例定义仅存在于19世纪60年代以前，而比值定义一直存在至20世纪中期. 几何比例定义中“连续”一词过于直观，不符合数学的抽象性，而比值定义既保留了“比较”的知识源流，又突出了“比值”的定量描述，很好地满足了数学的抽象性与严谨性.

乘法定义和除法定义都源于四则运算，但乘法定义中后一项为前一项与公比乘积的表述，或许更符合学生从前到后认识一列数的过程，顺势可以获得等比数列的通项，所以较除法定义而言，乘法定义广泛分布于西方早期乃至现行教科书.

五、求和公式的推导

记等比数列的首项为[a1，] 项数为n，末项（或通项）为[an，] 公比为q，前n项和为[Sn.] 118种教科书中出现了两种形式的求和公式：[Sn=a1qn-a1q-1;Sn=anq-a1q-1.]

早期教科书中呈现了丰富的求和公式推导方法，可以分为错位相减法、错位相加法、乘子消项法、递推累加法、掐头去尾法、恒等式法、解析几何法、数学归纳法共8类，各类方法的数目如图6所示. 其中，3种教科书采用了两种推导方法，1种教科书直接给出了公式.

1. 错位相减法

在被研究的118种教科书中，有100种教科书采用了错位相减法，是教科书中运用最广泛的推导方法.

Peacock（1842）编写的《代数论》中，首先将等比数列的前n项和表示为[Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1，] 等式两边同时乘以公比[q，] 得[qSn=a1q+a1q2+ … +a1qn-1+a1qn.]

两式相减，即得[Sn=a1qn-a1q-1.]

Peacock指出运用上述方法的原因：当我们将两个数列逐项相减，则仅保留原数列的首项[a1]与新数列的末项[a1qn，] 而消去两数列中其他相同的项. 部分教科书通过把[Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1，qSn=a1q+a1q2+ … +][a1qn-1+a1qn]右端的相同项对齐来表示两和式的错位，更直观地表示出消项的过程.

2. 错位相加法

对错位相减法稍加改变即得错位相加法：在[Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1]两边同时乘以公比的相反数[-q，]得[-qSn=-a1q-a1q2- … -a1qn-1-a1qn.] 两式相加，即得[Sn=a1qn-a1q-1.]

在和式两边同乘q或[-q]的构造看似是从天而降，但其本质与初中解二元一次方程组的加减消元法并无二致，变化的只是消去和保留的项数，朴素的化简思想始终如一.

3. 乘子消项法

上述两种方法都需要构造一个新的和式，对两式进行运算、消项. 若在[Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1]两边同时乘以常数[q-1，] 则[q-1Sn=q-1a1+a1q+ … +a1qn-1.] 化简，得[q-1Sn=][a1qn-a1，] 即得[Sn=a1qn-a1q-1.]

从乘法分配律的角度分析，等式两端同时乘以[q-1，] 一边构造亟待消去的下一项，一边消去方才构造的上一项，循环往复，最后只剩下[a1]和[a1qn]两项，动态的消项过程隐含在单个和式里，这种一步到位的方法对学生的代数思维提出了更高要求.

4. 递推累加法

在被研究的118种教科书中，有7种教科书采用了先由定义递推，后由累加化简的方法推导等比数列的前n项和公式.

由等比公式定义，得[a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，a5=][a4q，…，an=an-1q.] 所有等式相加，得[a2+a3+a4+a5+ … +]

[an=a1+a2+a3+a4+ … +an-1q.] 等式左边的[n-1]项和等于[Sn-a1，] 等式右边括号中的[n-1]项和等于[Sn-an，] 即[Sn-a1=Sn-anq.] 合并同类项，得[Sn=][anq-a1q-1.]

5. 掐头去尾法

Harney（1840）以[n=5]为例，借助等比数列通项公式，记前5项和[S5=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4.] 将等式左端“掐”去头部，得[S5-a1=a1q+a1q2+a1q3+a1q4;] “去”掉尾部，得[S5-a1q4=a1+a1q+a1q2+a1q3.] 比较两式，得[S5-a1=S5-a1q4q.] 合并同类项，化简得[S5=][a1q5-a1q-1.] 因为上式中[a1q5 ]是第5项[a1q4]与公比[q]的乘积，所以用[a1qn-1]代替[S5]中的第5项，即得等比数列前[n]项和[Sn=a1qn-a1q-1.]

6. 恒等式法

在被研究的118种教科书中，有8种教科书借用多项式除法中的一个恒等式推导得到求和公式. 最早，Ryan（1826）用错位相减法推导公式时意识到当[q=1]时，公式[Sn=a1qn-a1q-1]中[Sn=a-a1-1=00，] 他以恒等式[1-qn1-q=qn-1+qn-2+qn-3+ … +q+1]给出解释，在这种特殊情况下，符号[00]的值应该与[na1]相等，意图说明公式[Sn=a1qn-a1q-1]的普适性.

Taylor（1843）在“多项式除法”一章中由[xn-ynx-y=][xn-1+xn-2y+xn-3y2+ … +xyn-2+yn-1]对[x]取特殊值[1]，用[q]替换[y]得到恒等式[1-qn1-q=qn-1+qn-2+qn-3+ … +q+1，]而等比数列和式可以写成[Sn=a11+q+q2+ … +qn-1.]括号中的多项式与上述恒等式右边相同，将上述恒等式代入，即得[Sn=a1qn-a1q-1.]

这一方法指出，等比数列求和的关键不在于首项，而在于公比. 求解任意等比数列的前n项和，化归后都是求解首项为1、公比相同的等比数列前n项和.

7. 解析几何法

Smail（1931）在平面直角坐标系中巧妙构造出等比数列的图象，以[a1>0，0<q<1]为例，先画出直线[OQ：][y=qx，] 并确定[x]轴上一点[A1a1，0，] 过点[A1]作[y]轴的平行线，交直线[OQ]于点[P1，] 则[A1P1=a1q.] 再过点[P1]作平行于[x]轴，长度等于[a1q]的线段[P1M2]……不断重复上述步骤，可以得到点列[Pn， Mn]和[An，] 显然点[An]的坐标为[Sn，0.]

如图7，因为直线OQ的斜率为q，所以[PnAnOAn=q.] 因为[PnAn]=[Sn+1-a1，] 所以[Sn+1-a1Sn=q.] 将[Sn+1=Sn+a1qn]代入，移项化简，得[Sn=a1qn-a1q-1]. 其他情形同理可得.

[y][x][图7]

8. 数学归纳法

数学归纳法并非编写者在推导求和公式时的首选，他们往往将“数学归纳法”一章置于“数列”一章之后，将证明求和公式留作数学归纳法的应用. 假设等比数列前[n]项和公式[a1+a1q+a1q2+ … +a1qn-1=a1-a1qn1-q]成立，在等式两边同时加[a1qn，] 得[a1+a1q+a1q2+ … +][a1qn=a1-a1qn1-q+a1qn=a1-a1qn+a1qn-a1qn+11-q=a1-a1qn+11-q.]因为上式對[n=1]同样成立，所以对所有正整数n都成立. 虽然在今天看来这并不是严格的数学归纳法，但是其符合早期教科书中先归纳假设、再验证特例的顺序.

9. 推导方法的演变

除去数学归纳法，其他方法都是设法消去求和式的[n-2]个项，建立只含3个基本量的求和公式. 如图8，早期教科书中等比数列求和公式的推导方法从多元逐渐走向单一，错位相减法在各时期内被使用频率最高，其余方法在教科书中交替出现，到20世纪中期，错位相减法成为教科书中唯一呈现的方法.

[1800—1819][时间分布][1820—1839][1840—1859][1860—1879][1880—1899][1900—1919][1920—1939][1940—1959][求和公式推导方法占比][0][90%] [100%][80%][70%][60%][50%][40%][30%][20%][10%] [错位相减法] [错位相加法] [乘子消项法] [递推累加法] [掐头去尾法] [恒等式法] [数学归纳法] [解析几何法] [图8]

19世纪早期递推累加法的频繁运用得益于此时期教科书对数列递推关系的重视，随后这种方法不再出现. 掐头去尾法、错位相加法、乘子消项法都与错位相减法一脉同源，其中掐头去尾法用移项代替相减，错位相加法以公比的相反数为乘子从而变相减为相加，乘子消项法以公比与1的差作为乘子，内蕴了错位相减的过程. 解析几何法的诞生可谓“无心插柳”. 同样，恒等式法一开始也错误地用于统一[q≠1]和[q=1]两种情形下的求和公式，20世纪早期才作为少数教科书中的第二种方法出现.

关于[q=1]的迷思，直到Wilczynski（1916）的《大学代数及应用》一书出版才得以破解，他指出和式两边同时除以[1-q]时除数不能为0. 这么简单的一个问题却难倒了一众数学家，由此看出分类讨论的数学思想不可或缺！

六、结论与启示

以上我们看到，在等比数列这一主题上，美英早期教科书采用了丰富的引入和定义方式，以及前n项和公式的推导方法，这些方式或方法为如今的教学带来了诸多启示.

其一，在引入并定义等比数列时，可以让学生先描述给定数列逐项之间的规律，根据历史相似性，乘法定义或除法定义都可能成为学生在概念形成过程中的语言表征. 通过展示“比—比例—等比数列”的知识脉络，引导学生体会教科书采用比值定义的合理性，构建知识之谐.

其二，在推导等比数列求和公式时，传统的错位相减法可能让学生产生“为什么在和式两边同乘公比”的疑问，教师可以引导学生变换和式两边的乘数，探究得到错位相加法和乘子消项法，深刻认识到同乘的目的是消去中间项，而乘数的选择也不限于公比. 此外，用移项代替相减可以导出掐头去尾法. 根据前后项的递推关系不仅可以导出代数上的递推累加法，还可以在坐标系中构造图象，由斜率为公比导出几何法，彰显方法之美.

其三，数学归纳法和恒等式法可以用来证明猜想、归纳得到的求和公式，体现数学的严谨性. 虽然学生尚未学习多项式除法，但乘除互为逆运算的关系启示着可以通过多项式乘法来获得所需恒等式，并用综合法证明求和公式，培养逻辑推理素养，实现能力之助.

其四，数学史的融入可以揭示等比数列的知识源流. 例如，借助微视频技术，展现西方早期教科书中等比数列定义及求和方法的演变，通过古今对照和中西对比，体现数学文化的多元性，展示文化之魅. 数学家对科学真理的热爱、追求和探索，有助于学生形成动态的数学观，体会数学背后的理性精神，最终达成德育之效.

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