“图形表征”在数学解题中的应用探究

陈姗姗

摘  要：图形表征具有直观性的特点，在平面向量的学习中运用较多，在解题过程中对已知条件、待求问题和解题过程进行表征，能够简化运算思路、强化运算法则、优化运算程序.

关键词：图形表征;数学解题;平面向量

表征是认知心理学中的一个重要概念，是指知识在学生头脑中的呈现和表达方式. 因此，对问题的表征，既取决于问题本身，又取决于学生对问题的理解. 常见的多元表征有语言表征、符号表征、图形表征、情境表征和操作表征. 而图形表征是一种可视化的表征形式，它可以使抽象的问题形象化、复杂的问题简单化，既有利于教师多角度传授知识，也有利于学生多方位理解和接受知识. 在简化运算思路、强化运算法则和优化运算程序上，其优势更加突出.

平面向量是连接代数与几何的桥梁，是代数问题几何化和几何问题代数化的有效载体. 相较于几何问题，学生更容易理解代数问题. 但是向量问题的解决仅仅依赖代数方法往往会导致事倍功半或者半途而废. 因此，巧妙借助图形表征会产生意想不到的效果.

一、图形表征已知条件，简化运算思路

数学题目已知条件的抽象性是学生读不懂题目的主要原因，把抽象问题具体化是数学学习的常见思路. 向量具有方向性，向量运算不只是数字计算，学生对向量的运算规律不熟悉，容易对理解题意造成影响. 因此，仅从代数角度思考无法让学生深刻理解向量运算的意义. 根据图形表征直观性的特点，如果能把题目中的条件图形化，就可以使抽象的问题直观化，促进学生对题目的理解，从而设计运算路径，简化运算思路.

题目1  已知[P]为[△ABC]所在平面内一点，且满足[AP=15AC+25AB，] 则[△ABP]的面积与[△APC]的面积之比为        .

对于刚接触平面向量的学生来说，这道题目有一定的难度. 因为学生无法准确地理解已知条件[AP=][15AC+25AB，] 从而无法确定点[P]的位置. 而求解这道题目的关键恰恰就是确定点[P]的位置，从而构造[△ABP]与[△APC.] 此题解法较多，但是无论哪种解法，都必须理解[AP=15AC+25AB]的意义. 要么对式子进行变形，要么用图形对式子进行表征. 经过教师引导及学生讨论，总结常见解题方法如下.

方法1：特殊化，构造一个腰长为5的等腰直角三角形，得到[△ABP]与[△APC]的面积之比为1∶2.

方法2：利用向量加法的平行四边形法则，根据[AP=15AC+25AB]作出平行四边形，如图1所示. 可得[S△APE=25S△APB，S△APF=15S△APC.] 而[S△APE=S△APF，] 故[S△APBS△APC=12.]

方法3：如图2，在[AC]上取一个三等分点[D，] 则[AC=3AD.] 这样可以得到[P，B，D]三点共线. 可得[S△APD=13S△APC=23S△APB，] 故[S△APBS△APC=12.]

方法4：由题意，得[5AP=AC+2AB.]则[2AP-][2AB+2AP=AC-AP，] 即[-2PA+PB=PC.] 如图3，以[PA，PB]为邻边作[▱PAEB，] 则[C，P，E]三点共线. 连接[PE]交[AB]于点[O，] 则[PC=2EP=4OP.] 所以[S△APBS△APC=][2S△APOS△APC=2OPPC=12.]

方法1是对已知条件进行特殊化的图形表征，作为填空题，这样做可以有效节省时间，简化运算. 方法2和方法1类似，用向量加法的平行四边形法则把已知条件[AP=15AC+25AB]图形化. 也就是说，只要学生能够把[AP=15AC+25AB]用图形表征出来，接下来的面积问题就迎刃而解了，能够有效简化运算思路. 解决向量问题，尤其是向量的线性运算问题，图形表征是常见思路，但是受思维定势的影响，学生往往想不到对题目中的已知条件进行图形表征. 方法3则是从三点共线的角度对条件[AP=15AC+25AB]进行表征，当系数之和等于1时三点就共线，于是就想到把[15AC]转化成[35AD，] 从而得到[AP=35AD+25AB.] 因此易知[P，B，D]三点共线，这样就确定了点[P]的位置，能够想到这种方法的学生对三点共线的理解是比较透彻的. 方法4则是先对已知条件进行变形，然后再对变形后的式子[-2PA+PB=PC]用图形进行表征，从而确定点[P]的位置.

表征的过程就是信息加工处理的过程，学生如果能在多元表征中灵活转化数学对象，足以说明其对数学对象的理解深度. 题目1的四种解题方法均是先对已知条件进行图形表征，只是表征的视角不同，但是其目的都是以形解数，即利用图形的直观性简化数的运算，从而得到面积的比值.

二、图形表征待求问题，强化运算法则

数学问题难以解决的原因之一是学生无法把已知条件和待求问题有逻辑地联系起来，从而导致思维短路，尤其是向量问题中涉及线性运算法则的题目. 向量的线性运算法则与学生熟知的实数运算法则是不同的，学生对向量的线性运算法则的认识过程是循序渐进的，需要在多种情境中通过不同的表征形式进行剖析、理解和内化. 向量的模是学生理解的难点，尤其是经过线性运算后的向量的模，学生更不容易理解. 事实上，求解这类问题的关键是对运算法则的理解，只要能够对向量的模进行图形表征，通过图形强化向量的运算法则，就能够加深学生对概念的理解. 因此，在教学中，教师应该紧扣向量具有几何特征这一关键点，对其进行图形表征，以便学生直观理解向量的线性运算法則.

题目2  已知[a=b=2，a · b=-2，] 若[c-a-b=1，] 则[c]的取值范围为（    ）.

（A）[12， 32] （B）[12， 52]

（C）[2，3] （D）[1，3]

部分学生在求解这道题时，首先想到利用向量的绝对值三角不等式从代数的角度进行解答，也就是由[c-a-b=c-a+b≥c-a+b，] 得[a+b-1≤c≤][1+a+b.] 接着求出[a+b]的值为2代入即可.

另外一种方法是图形法，即用图形表征待求问题中的[c.] 首先，把[c-a-b=1]变形为[c-a+b=1;] 其次，根据[c-a+b]的结构特点，利用向量的减法法则可知其几何意义是[c]与[a+b]的差的模，根据平行四边形法则作出[a+b;] 再次，根据向量减法的三角形法则作出[c-a+b;] 最后，根據图4所示的图形即可求解.

从这两种方法来看，第二种方法的思维难度较大，但是从学习向量的意义来说第二种方法更好. 从代数法到几何法，学生得到的不仅是这道题的答案，更是思维品质的发展，并且由图形可以更加直观地反映出向量减法的本质，可以说把向量减法的几何特征发挥得淋漓尽致. 数学教学要在学生思维的关键点进行启发和引导，以形解数不仅直观，而且避免了烦琐的计算. 因此，在向量教学中，要着重强调形对数的直观阐释，从形的角度强化运算法则，多角度提高学生的运算能力.

题目3 （多选题）已知[e1，e2]是两个单位向量，当[λ∈R]时，[e1+λe2]的最小值为[32，] 则下列结论正确的是（    ）.

（A）[e1，e2]的夹角是[π3]

（B）[e1，e2]的夹角是[π3]或[2π3]

（C）[e1+e2=1]或[3]

（D）[e1+e2=1]或[32]

作为一道多选题，题目3要解决的问题包括向量的夹角及和向量的模. 如何用图形进行表征呢？经过题目1的训练，学生已经具备了对已知条件进行图形表征的活动经验，再加上题目2做铺垫，学生基本能够想到对[e1+λe2]进行图形表征，即用向量加法法则及向量的数乘构造出[e1+λe2，] 如图5所示.

很明显，当[e1+λe2]与[λe2]垂直时，[e1+λe2]取最小值，最小值为[32.] 再根据[e1=1，] 易知[e1，e2]的夹角是[π3]或[2π3.] 继而可求得[e1+e2=1]或[3.] 利用图形，没有过多的运算就解答了此题. 图形表征的准确、简明、直接，不仅有助于简化计算，而且有助于学生理解. 除了对解题思路的理解，还有对运算法则的理解. 当然，从数的角度也能够求解题目3，即对[e1+λe2]平方后变形，然后用求函数最值的思想进行解答. 但是这种解法无法显示向量既有数的特征又有形的特征的特殊性，也不利于后续其他内容的学习.

题目2和题目3显然都是对向量线性运算法则的理解，在图形表征的方式中强化向量的加法法则和减法法则. 其中既有向量的加法、减法，也有向量的数乘，通过这样的图形表征，学生进一步理解了向量的线性运算的意义. 向量的线性运算是向量学习的起点，也是关键点，仅从数的角度学生很难理解，借助图形表征，学生可以非常清晰地理解，同时进一步强化对运算法则的理解.

三、图形表征解题过程，优化运算程序

受解题经验和思维定势的影响，学生在解题过程中不善于根据解题过程及时调整思路、优化运算程序. 事实上，如果能够在解题过程中对部分运算结果进行分析，则会产生“峰回路转、柳暗花明”的效果. 向量的运算就有这样的特点，对数进行图形分析往往会发现数的特殊性，从而优化运算程序.

题目4  已知[a=1， b=3，] 且[a-b=2，] 则[a+b]的值为        .

此题不难，对[a-b=2]进行变形化简，得到[a · b=3.] 然后将其代入[a+b=a+b2=a2+2a · b+b2，] 即可得到[a+b=4.] 然而，有的学生从不同视角发现了亮点：由[a · b=3，] 得到向量[a，b]的夹角是[0°，] 从而迅速作图;由已知条件再结合向量的绝对值三角不等式，可以知道向量[a，b]是同向的. 本是从数的角度解答此题，但由于在解答的过程中发现了图形的美妙，从而对题目条件和待求问题进行了重新分析，优化了运算程序，既提高了解题的正确率，也提升了学生的运算能力.

部分学生在解题过程中往往会被一种解法牵制，不能够及时变通，从而导致要么算不下去，要么花了大量不必要的时间和精力. 解题的过程不是单纯的计算过程，而是要一边运算一边结合已知条件和待求问题进行思考，并针对得到的部分结果调整解题思路，进而优化运算程序. 尤其对于一些入口较窄的题目，只有在运算过程中不断分析，才能更好地构建运算路径.

数学运算不是一气呵成的，而是需要不断分析条件、尝试解答、再分析、再优化的过程，这中间弯路和错误难以避免，只有不断试错，运算能力才能得到逐步提高.

多元表征有利于加深学生对数学知识的理解，有利于学生构建良好的知识结构，有利于增强学生全面审视问题的能力，并且有利于帮助学生形成最优的解题策略.

图形表征具有直观、简洁的特点，有利于从形的角度简化运算，在解决向量问题中优势十分明显. 数学解题是需要策略的，只花时间和精力进行计算是远远不够的，要在运算思路、运算法则和运算程序上多下功夫.

参考文献：

[1]薛新建. 巧用多元表征探究数学本质：以一道高考经典问题为例[J]. 中学数学研究，2020（7）：12-15.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]陈绮琳. 借多元表征，悟数学概念[J]. 数学学习与研究，2020（20）：158-159.

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