SINS减振系统参数与耦合角运动的关系

姚建军，闫红松，李 欣，李 茜，李 伟

（北京自动化控制设备研究所，北京 100074）

剧烈的随机振动是捷联惯导系统在飞行器上面临的主要力学环境，振动引起系统性能不稳定或元器件损坏而影响正常的工作。为了减小振动带来的不良影响，经常将捷联惯导系统通过橡胶减振器弹性联结到载体上，即采用整体减振措施。如果减振系统的弹性中心（也有叫减振中心）与惯导系统的质心不重合，惯导系统在作线振动的同时还会伴随有角振动，作角振动的同时也夹杂着线振动，即惯导系统的线振动与角振动之间发生耦合[1]。振动耦合给系统引入伪角运动信号，不仅由于尺寸效应影响线加速度的测量精度[2-7]，而且还影响角速度测量的传递特性，从而影响系统的测量精度和动态性能。因此，如何减小振动耦合、如何减小由于振动耦合引起的角运动一直以来都是捷联惯导系统减振设计的重点和难点。目前，国内外在这方面已开展了较多的理论研究与工程实践[8-11]，取得了一些定性的认识。比如，减振系统的弹性中心尽量与质心重合、线共振频率尽可能低、角共振频率尽可能高；八点隔振模式比四点隔振模式在抑制耦合角运动方面更加优越等。但是，迄今为止尚没有人从定量计算的角度研究过这类问题，捷联惯导系统的减振设计在控制耦合角运动方面目前还处于半经验状态。尽管在设计完成后可以采用有限元方法对耦合角运动响应进行核算，但一旦设计不满足要求，无论是方案更改还是参数确定都缺乏理论方面的指导，盲目性较大，设计风险偏高。

针对这一问题，本文采用数学推理的方法研究探讨了耦合角运动与减振系统的偏心距、减振器的跨距等减振器布置参数之间以及与减振器的刚度、阻尼等力学参数之间的解析关系，给出了线加速度激励随机振动条件下耦合角速度的计算公式，藉此阐释了捷联惯导系统减振器布置及力学参数对耦合角运动的影响规律。根据本文给出的理论计算公式，便可很简便地对减振器布置形式（即隔振模式[8]）的选择及参数的选取对耦合角运动的影响等问题作出定量分析和评判。本文研究成果填补了捷联惯导减振系统耦合角运动理论计算方面的不足，可为工程设计提供理论指导和算法支撑。

1 耦合角运动解析计算方法

1.1 耦合角运动解析计算模型

如果捷联惯导系统结构刚度足够大，与减振器相比可近似作为刚体处理，则采用整体减振措施的捷联惯导系统的动力学特性可用六自由度等效模型来近似模拟[1,8]。根据文献[1]，当弹性中心与惯导系统的质心不重合时，线振动与角振动耦合，一个轴向上的线振动可以引起另外两个轴向上的角振动；当惯量坐标系（坐标原点与惯导系统的质心重合，三个坐标轴分别与惯导系统的三个惯性主轴重合）与弹性坐标系（坐标原点与惯导减振系统的弹性中心重合，三个坐标轴分别与惯导减振系统的三个弹性主轴重合）不平行时，角振动与角振动耦合，一个轴向上的角振动也可以引起另外两个轴向上的角振动。本文主要讨论由于线振动引起的角振动，不考虑由于角振动耦合引起的角振动。故假设惯量坐标系与弹性坐标系平行，弹性中心位于惯量坐标系的某一坐标轴上，且与质心不重合。这样，六自由度模型可简化为图1所示的二自由度模型。图中，m为惯导系统的质量，J为惯导系统相对质心的转动惯量，k1、k2、c1、c2分别为惯导系统两侧减振器的刚度和阻尼，l为两侧减振器之间跨距的一半；o点表示惯导系统的质心位置，o1点表示两侧减振器连线的中点，o点与o1点之间的距离为δ。设惯导系统质心相对载体沿上下方向直线运动的自由度为y，向上为正；惯导系统在垂直纸面方向上绕质心转动的自由度为θ，逆时针为正。则惯导系统在基础简谐运动（设其加速度为）激励下的动力学微分方程可表示为式(1)。

图1 惯导系统二自由度模型示意图Fig.1 Sketch map of two-degree-of-freedom model of INS

方程(1)中，l1=l+δ，l2=l-δ；k1+k2为系统的线振动刚度；为系统的角振动刚度；k2l2-k1l1为系统的刚度不平衡量；c1+c2为系统的线振动阻尼；为系统的角振动阻尼；c2l2-c1l1为系统的阻尼不平衡量。

由方程(1)可以看出，系统由于存在刚度不平衡和阻尼不平衡，从而使得线运动引起角运动，角运动的同时改变线运动激励从而影响线运动，线运动与角运动发生耦合。所以说，刚度不平衡和阻尼不平衡是线运动与角运动发生耦合的内部原因。

将刚度不平衡量的表达式重新整理：

设弹性中心与o1点的距离为s，位于o1点的右侧。根据弹性中心的物理意义，有：

即弹性中心是各减振器刚度相对该点的一阶矩之和为零的点。

由式(3)，有：

将式(4)带入式(2)，得：

由式(5)可以看出，刚度不平衡是由于弹性中心与质心不重合造成的，其量值大小等于弹性中心与质心之间的距离与减振系统线振动刚度的乘积。当弹性中心与质心重合时，刚度不平衡量为零（注：此时阻尼不平衡量也为零），线运动与角运动解耦，与文献[1]的结论一致。

由式(4)(5)也可以看出，减振器刚度不一致对系统振动耦合性能的影响与质心偏离具有同等的效果，其等效关系根据式(4)确定，即：

式(6)中，δ′可以认为是由于减振器刚度不一致所导致的等效偏心量。

不妨令e=δ-s，称e为系统质心偏离弹性中心的偏心距；令k=k1+k2，称k为减振系统的线振动刚度。则式(5)可以写成：

下面来分析系统的角振动刚度。

将式(8)带入系统的角振动刚度表达式，有：

一般来说，Δk远小于k，δ远小于l，4Δklδ比要小得多，在工程上可以忽略不计，且l2+δ2≈l2，这样：

令c=c1+c2，称c为减振系统的线振动阻尼。按照同样的推导方法，可以得到：

将式(7)(10)(11)(12)代入方程(1)有：

这样，我们就将一个两自由度耦合动力学微分方程简化成两个具有关联关系的单自由度动力学微分方程。该方程即为本文研究捷联惯导系统耦合角运动的数学模型。

1.2 耦合角运动解析计算方法

下面我们来研究方程(14)的解析计算方法。

将式(15)带入方程(14)有：

由方程(16)的上式有：

由方程(16)的下式有：

式中，λθ为激励频率ω与角共振频率之比，。

将式(17)带入式(18)得：

这样可以写出基础线加速度激励下角速度响应的频响函数：

根据振动系统在单一随机振动激励下的响应功率谱计算公式[12]，有：

角速度响应的均方根值为：

将式(21)带入式(23)有：

在共振区域内对式(24)中的被积函数作简化处理，令：

经验证，这样简化将会给计算结果带来5%左右的误差（参见下文表1）。

式(26)中的积分项：

在工程上，功率谱密度通常采用单边谱W（f）来表示，式中，f为圆频率，双边谱S（ω）与单边谱的换算关系为。

重新整理式(26)得到：

2 耦合角运动与减振器布置参数及力学参数之间的关系

下面根据式(28)来讨论由于耦合产生的角速度均方根值（下面简称耦合角速度均方根值）与减振器布置参数及力学参数之间的关系。

由式(28)右侧第二项可知，耦合角速度均方根值与偏心距e成正比，偏心距大耦合角速度均方根值大、偏心距小耦合角速度均方根值小。由于偏心距是弹性中心与系统质心之间的距离，它不仅受到减振器几何位置参数相对系统质心对称性的影响，而且还受到减振器刚度一致性的影响，所以，耦合角速度均方根值不仅与减振器相对系统质心布置的对称性相关，而且还与减振器刚度的一致性相关。当减振器的刚度一致时，耦合角速度均方根值与减振器布置的几何对称中心相对系统质心的偏移量成正比；当减振器相对系统质心对称布置时，耦合角速度均方根值与减振器的刚度偏差成正比；当减振器既不能相对系统质心对称布置，其刚度也不能保持一致时，耦合角速度均方根值与二者的等效差值成正比（参见式(5)(6)），二者的作用既有可能相互增强也有可能相对抵消。

由式(28)右侧第二项可知，耦合角速度均方根值与减振器的跨距2l的平方成反比。跨距减小，耦合角速度均方根值迅速增大；跨距增大，耦合角速度均方根值迅速减小。例如，如果减振器的跨距增大50%，耦合角速度均方根值将会减小一半还多；如果减振器的跨距增大1倍，耦合角速度均方根值将会减小四分之三；如果减振器的跨距增大2倍，耦合角速度均方根值差不多会减小1个数量级。可见，减振器跨距对于耦合角速度均方根值具有非常显著的影响。观察式(28)的后几项不难看出，减振器跨距对于耦合角速度均方根值的影响远比其他因素显著。

由式(28)右侧第三项可知，耦合角速度均方根值与减振系统线共振频率fn的平方根成反比，即与减振器刚度的四次方根成反比。减振器的刚度提高1倍，耦合角速度均方根值仅仅降低16%；减振器的刚度提高3倍变成原来的4倍，即减振系统的共振频率提高1倍，耦合角速度均方根值仅仅降低不到30%。可见，与减振器跨距相比，减振器刚度对耦合角速度均方根值的影响要小得多。尽管如此，由于在工程上提高减振器刚度比提高减振器跨距更容易实现，因此提高减振器刚度的措施也经常被采用。

由式(28)右侧第四项可知，耦合角速度均方根值还受到减振系统线共振频率与角共振频率之比λθn的影响。当减振系统的线共振频率一定时，则主要取决于角共振频率。一般情况下，角共振频率大于线共振频率。此时，角共振频率提高，λθn减小，1 -增大，减小，耦合角速度均方根值减小。此外，当角共振频率接近线共振频率时，1-趋近于0，趋近其极大值，耦合角速度均方根值也趋近其极大值。所以，在工程上应尽量避免角共振频率靠近线共振频率。

由式(28)右侧第四项、第五项可知，耦合角速度均方根值受到减振器阻尼的影响，关系比较复杂。总体而言，减振器的阻尼增大，耦合角速度均方根值减小；减振器的阻尼减小，耦合角速度均方根值增大。当减振系统的角共振频率是线共振频率的倍以上时，阻尼对第四项的影响较小，主要影响体现在第五项，此时，耦合角速度均方根值与阻尼的平方根成反比。当减振系统的角共振频率是线共振频率的倍以下时，角共振频率越靠近线共振频率阻尼的影响越大，甚至成为显著影响因素。

由式(28)右侧第六项可知，耦合角速度均方根值与线加速度随机振动激励谱在共振区域谱值的平方根成正比。如果随机振动激励谱在共振区域内的谱值较大，即使其均方根值较小也可能激发起较大的耦合角速度；反之，如果随机振动激励谱在共振区域内的谱值很小，即使其均方根值很大也激发不起太大的耦合角速度。所以，通过改变减振系统的共振频率使共振区域移动到随机振动激励谱中谱值较小频带的方法也可以实现抑制耦合角速度的目的。

3 减振器布置形式对耦合角运动的影响

由式(28)知，捷联惯导系统在线加速度随机振动激励下由于弹性中心偏离系统质心导致的耦合角速度均方根值主要受偏心距、减振器跨距、减振器刚度（或减振系统线共振频率）、减振器阻尼、减振系统角共振频率、随机振动激励谱在共振区域的谱值等因素影响。在这些影响因素中，减振器的布置形式或者仅改变跨距、或者仅改变偏心距、或者同时改变跨距和偏心距，而减振器跨距改变的同时还会改变系统角共振频率，进而对系统的耦合角运动产生影响。所以，如果一种减振器的布置形式或者能使减振器的跨距增大、或者能使偏心距减小、或者兼而有之，那么就认为这种减振器布置形式对抑制耦合角运动是有益的，反之是无益的。下面以文献[8]中提到的捷联惯导系统结构设计中最常采用的腰部平面四点隔振模式和空间八点隔振模式为例，通过对比分析的方法来进一步说明这个问题。

仍然以一个长方体来模拟惯导系统，设其长、宽、高分别为300 mm、200 mm、150 mm。采用腰部平面四点隔振模式时，将减振器布置在长方体的上下对称平面上；采用空间八点隔振模式时，将减振器布置在长方体的八个顶点位置，如图2所示。假设每组减振器的刚度、阻尼均一致。在两种隔振模式中，由于减振器在长、宽、高方向上均对称布置，所以减振器布置形式对偏心距不产生影响，只对跨距产生影响。在减振器刚度一定的条件下，由于跨距决定角振动刚度进而决定角共振频率，所以跨距应与转动自由度相对应，具体确定方法是：以某旋转平面上能够抑制惯导系统绕该平面法线方向转动的减振器之间的最长距离作为与该转动自由度相对应的减振器跨距。下面举例说明。

图2 减振器布置形式示意图Fig.2 Sketch map of vibration absorber arrangement form

令计算坐标系的x轴、y轴、z轴与长方体的宽、长、高方向分别平行（参见图2）。当惯导系统绕x轴转动时，对于平面四点隔振模式，减振器的跨距为减振器在y轴方向上的距离；对于空间八点隔振模式，减振器的跨距为长方体在x轴方向上的长方形截面的对角线长度（参见图3）。当惯导系统绕y轴转动时，对于平面四点隔振模式，减振器的跨距为减振器在x轴方向上的距离；对于空间八点隔振模式，减振器的跨距为长方体在y轴方向上的长方形截面的对角线长度。当惯导系统绕z轴转动时，无论是平面四点隔振模式还是空间八点隔振模式，减振器的跨距均为长方体在z轴方向上的长方形截面的对角线长度。

图3 减振器跨距示意图Fig.3 Sketch map of vibration absorber span

4 仿真验证与分析

为了演示验证减振器布置形式对耦合角运动的影响，以图2所示的两种惯导减振系统为例，采用解析法和有限元数值计算法两种方法对惯导系统在不同轴向上偏心时的耦合角速度均方根值进行了计算，结果见表1。

为便于比较，假设偏心距均为5 mm、系统线振动频率均为100 Hz、线振动模态阻尼比均为0.125、线加速度随机振动激励谱均为谱值为1 (m/s2)2/Hz的白噪声谱（0 Hz～2000 Hz）。所建立的有限元模型与文献[8]一致，即以刚性长方体来代替惯导系统结构，以线性弹簧阻尼单元来模拟减振器。有限元建模与仿真过程均在大型通用有限元软件ansys15.0环境下完成。在本例中，由于惯导系统结构对称，该有限元模型实质上已退化为一个二自由度模型，其数值解与理论解一致。

表中，按照式(28)计算得到的解析解与用三维有限元模型计算得到的数值解相近（解析解通常比数值解小5%左右），可以说明式(28)以及第3节提出的减振器跨距计算方法是正确的，并且也是比较精确的。需要说明的是，本文所使用的有限元建模和计算方法已在多个型号的研制中得到了验证。

由表1计算结果可以看出，与腰部平面四点隔振模式相比，空间八点隔振模式由于增大了两个旋转自由度上的减振器跨距，并同时增大了这两个旋转自由度上的角共振频率，所以这两个旋转自由度方向上的耦合角速度得到了不同程度的减小。根据式(28)可估算，减振器跨距增大产生的影响分别占77%、90%，远比角共振频率增大的影响显著。在四点隔振平面的法线方向上，两种隔振模式的减振器跨距和角共振频率均相同，所以耦合角运动不发生变化。这也就是说，与腰部平面四点隔振模式相比，空间八点隔振模式只能减小四点隔振平面上两个方向上的耦合角运动，而不能改变四点隔振平面法线方向上的耦合角运动。此外，这里还发现一个有趣的对偶现象，即：在相同条件下，无论是腰部四点隔振模式还是空间八点隔振模式，A轴方向偏心、B轴方向激振与B轴方向偏心、A轴方向激振产生同样的耦合结果。

表1 耦合角速度计算结果列表Tab.1 List of calculation results of coupling angular velocity

5 结 论

本文建立了捷联惯导整体减振系统耦合角运动数学计算模型，推导出了随机振动条件下耦合角速度的解析计算公式，填补了捷联惯导减振系统耦合角运动理论计算方面的不足，揭示了减振器布置形式、减振器布置参数、减振器力学参数以及随机振动激励谱对耦合角速度的影响规律，可为捷联惯导减振系统的设计、分析与评估提供直接的理论支撑和具体计算方法。本文研究成果既适用于内部无机械运动部件的捷联惯导系统（如光纤捷联惯导系统等），也适用于内部带有机械转动部件的捷联惯导系统（如旋转调制惯导系统、机抖激光陀螺捷联惯导系统等），但不适用于对惯性测量单元采用二级减振措施的惯导系统。无论是旋转调制惯导系统还是机抖激光陀螺惯导系统，尽管转动部件在一个方向上转动时也可以在与转动方向垂直的方向上耦合出角运动，但无论是耦合机理[14]、耦合运动形式还是控制耦合运动的方法[15]都与本文所讨论的环境振动引起耦合角运动问题存在显著差别，作者建议分别研究和处置，故本文没有考虑转动部件的转动运动对耦合角运动的影响。

本文的研究结论是在惯量坐标系与弹性坐标系平行的假设条件下得出的，没有考虑角运动与角运动耦合带来的影响。在工程上尽管很难做到两坐标系之间绝对平行，但对于关注耦合角运动的惯导系统来说，两坐标系之间的不平行度一般都会被控制在较小的范围，角运动之间仅发生轻微耦合。此时，式(28)的计算精度略有下降，但基本不改变由此得出的比例关系。后续将对角运动之间耦合带来的影响进行深入探讨。