随机角振动激励下的陀螺仪动态特性校准方法

赵剑波，彭 军，仝哲旭

（航空工业北京长城计量测试技术研究所，北京 100095）

陀螺仪是惯导系统中必不可少的惯性器件，在导航和制导过程中发挥着十分重要的作用[1,2]。由于陀螺仪通常工作在复杂的动态环境中，因此能否准确获得陀螺仪的动态特性，是导航制导控制过程中的关键，直接决定了导航的精度以及制导的准确度[3,4]，所以需要在使用前对陀螺仪动态特性进行校准。利用标准角振动作为激励，可以实现对陀螺仪动态特性的校准[5]。国内外对陀螺仪动态特性的校准做了大量研究，德国物理技术研究院（PTB）以及韩国标准与科学研究院都建立了正弦角振动标准，中国航空工业计量所先后建立了正弦角振动和半正弦冲击角振动标准装置[6]。中国计量院也建立了正弦角振动基准装置[7]。全国惯性技术计量技术委员会根据正弦角振动激励法制定出陀螺仪动态特性校准规范[8]。但这些标准装置和校准方法都是以正弦角振动作为激励，实现对陀螺仪动态特性的校准，信号处理也大多采用正弦拟合法对激励和响应的信号进行拟合，从而实现对陀螺仪幅频特性和相频特性的校准。

国内外以随机信号作为激励信号的传感器动态特性校准研究多见于线振动[9,10]，对于随机角振动作为激励的陀螺仪动态特性校准方法研究目前也只是停留在随机角振动控制方面，还没有形成校准方法和标准装置。随机角振动作为激励的陀螺仪动态特性校准方法相对正弦激励法校准不仅更接近陀螺仪的应用场合，并且能够一次性校准陀螺仪宽频段的动态特性，相对正弦法逐一频率校准效率更高。

本文对随机角振动激励下的陀螺仪动态特性校准方法进行了研究，从随机法校准原理出发，研究确定了校准过程中的随机信号处理方法，实现了陀螺仪动态特性的随机法校准。

1 陀螺仪动态特性随机法校准原理

随机角振动作为激励的陀螺仪动态特性校准方法如图1所示，采用标准角振动台作为激励源产生标准随机角振动，被校陀螺仪固定在角振动台的台面上，随台面发生随机角振动。陀螺仪动态特性随机法校准是精确测量出陀螺仪输出的随机角振动信号和角振动台的标准随机角振动信号之间的频响函数来实现对陀螺仪的动态特性校准。

图1 随机法校准原理图Fig.1 Calibration principle of random method

标准随机角振动信号由角振动台内部的圆光栅通过解算得出。校准过程中，需要对标准和被校两种随机信号进行同步采集并滤波，对滤波后的信号进行功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）估计，利用PSD估计结果计算陀螺仪的频响函数，得到陀螺仪幅频特性和相频特性，从而实现对陀螺仪的随机法校准。

2 随机角振动信号处理方法

由陀螺仪动态特性随机法校准的原理可知，随机法校准中涉及的角振动信号处理主要包括标准随机角振动信号的解算、信号的抗混叠滤波、信号的功率谱密度估计以及频响函数辨识方法。

2.1 标准随机角振动信号的解算方法

角振动台的标准随机角振动信号由高精度的标准圆光栅测量解算得出，标准圆光栅测得的标准角位移信号可以直接溯源到角度和时间，是实现绝对法校准的基础。标准圆光栅输出信号由两个相位差近似π/2的正弦信号组成。圆光栅每转过一个栅格，每一路正弦信号会经历一个周期，转动越快，正弦频率越高。通过调整光路和信号处理，并进行非线性补偿，可以保证两路正弦信号Ua和Ub幅值相等，相位相差π/2，并且两路信号的直流分量为0。圆光栅输出信号的相位φ(nΔt)可以表示为：

式中，n为采样序列号，Δt为相邻采样点之间的时间间隔。k值从0起始，通过反正切计算结果的变化可以确定k值。

首先需要设置合理的采样频率f，使得反正切结果在一个周期内（ -π/ 2,π/ 2）至少有三个采样点（n≥ 3）。

采样频率f根据校准中的最大角速度ωmax以及圆光栅总栅格数（总线数）M来得到。由于圆光栅每转动一个栅距的角度时，输出的正弦信号经历一个周期，即反正切结果会经历两个周期，反正切在一个周期内至少有3个采样点，则意味着在一个栅距内至少有6个采样点，而一个栅格所经历的最短时间为360° /（ωmax·M），那么：

如图2所示，正切函数每周期（ -π/ 2，π/2）有三个采样点时，若k值发生变化，则相邻采样点反正切结果的变化绝对值大于π/2（如B→A，或D→E），在确定发生变化后，反正切结果的变化正负可以判断k值的加减，从而确定k值。

图2 采样点示意图Fig.2 Sampling points

圆光栅的整圈总线数为M，对应角度为2π，则一个栅距的角度为2π/M。圆光栅发生的角位移为一个栅距的角度时，输出的正弦信号经历一个周期，即相位变化为2π，因此，圆光栅发生的角位移θ（nΔt）与输出信号相位变化φ（nΔt）的关系为：

2.2 抗混叠滤波方法

随机角振动信号在工作频带之外一般仍存在频率成分，这些频率成分会混叠到工作频带内，造成工作频带内的信号频谱偏大。

对采集解算得到的标准角位移信号和被校陀螺仪输出的信号同时进行抗混叠滤波，滤波器均采用三阶巴特沃斯低通滤波器，此种滤波器可以通过级联型IIR滤波器实现。滤波器衰减率为-18 dB/oct。将三阶巴特沃斯低通滤波器的截止频率（-3 dB）设置成工作频带最高频率的2.5倍。三阶巴特沃斯滤波器的传递函数如下所示：

其中，a0=1，1a=2，a2=2，ωc=2πfc。本文实验截止频率fc为250 Hz。波特图如图3所示。

图3 滤波器波特图Fig.3 Bode diagram of filter

滤波器可以使信号中可能导致混叠的高频成分衰减90 dB以上，从而达到抗混叠的效果。

2.3 功率谱密度估计方法

功率谱密度估计用于标准角位移信号和陀螺仪角速度信号的互功率谱密度（互谱）估计以及各自的自功率谱密度（自谱）估计，进而可以利用谱估计结果计算陀螺仪的频响函数。

自谱由信号频谱X（f）与其共轭X*（f）的乘积得出：

互谱由信号频谱X（f）与另一信号频谱的共轭Y*（f）的乘积得出：

式中，N为信号采样点数，fs为信号采样频率。

对采集的信号进行分段计算功率谱密度，再对各段信号的功率谱密度进行平均，能够利用有限时域信号提高功率谱密度估计的精度。在对每段信号计算频谱过程中，需要用到快速傅里叶变换（FFT）。由于时域信号有限，且为随机信号，在进行FFT变换时，会导致信号的频谱出现泄漏现象。为了减少泄漏，需要对各段信号进行加窗。加窗之后，各段信号两端可能会出现信号丢失。因此，在对时域信号进行分段时，每相邻两段信号之间需要有重叠。

将采集到的信号分为L段，每段信号有N个采样点，并要求相邻段重叠50%，对各段加窗函数w（n）后进行FFT变换：

各段自谱的平均：

各段互谱的平均：

式(8)(9)中，

U为幅值修正系数，保证功率谱密度估计的结果是无偏估计。

由于互谱为复数形式，蕴涵着两个信号之间在幅值和相位上的相互关系信息，互谱在任意频率处的相位值表示两个信号在该频率的相位差。因此，互谱还可以用于计算陀螺仪的相频特性。标准角振动信号为标准圆光栅测得的角位移信号，陀螺仪输出为角速度信号。被校角速度信号 2ω和标准角速度信号 1ω的互谱Gω2ω1（f），与被校角速度信号ω2和标准角位移信号θ1的互谱Gω2θ1（f）之间的关系如下：

角速度自谱Gωω（f）与角位移自谱Gθθ（f）的关系：

2.4 陀螺仪频响函数辨识方法

陀螺仪的频响函数辨识是通过计算标准角振动信号和陀螺仪输出信号的互谱和自谱得出。由于两个信号在采集过程中都会引入噪声，影响频响函数的辨识结果。频响函数辨识方法中的H1法和H2法都是只考虑一个信号有噪声的情况下对频响函数进行的辨识，并且都是有偏估计。本文采用的陀螺仪频响函数辨识方法为Hv法，既要考虑标准角振动信号中的噪声，也要考虑陀螺仪输出信号中的噪声。假定两类噪声互不相关，且与信号也不相关。

令综合误差Gee（f）为陀螺仪输出信号中的噪声自谱Gdd与标准角振动信号中的噪声自谱Gcc之差：

由式(13)可得：

两类噪声主要都是在采集过程中引入，噪声自谱Gcc和Gdd几乎相等，令Gee（f）为0，此时Hω（f）为：

将式(11)和式(12)代入式(15)可得：

由式(16)可知，频响函数Hω（f）的相位信息只与被校信号和标准信号互功率的相位相关，噪声只影响幅值信息，不影响相位信息。利用式(16)可以求解出陀螺仪的频响函数，通过多次测量求平均值能够得到较准确的幅频特性和相频特性。

3 陀螺仪动态特性随机法校准实验

3.1 陀螺仪动态特性随机法校准重复性实验

选取俄罗斯光纤陀螺仪VG949P为例，采用随机法对其幅频特性和相频特性进行校准，为了验证随机法结果的重复性，进行了3次实验。并且参考正弦法校准规范中的数据处理方法，将陀螺仪在实验频带内（5 Hz ～ 100 Hz）的灵敏度值和相位延迟值分别进行曲线拟合，结果如图4和图5所示。根据校准曲线计算得到随机法校准稳定性，如表1所示。

图4 VG949P陀螺仪幅频特性随机法校准曲线Fig.4 Curve of amplitude-frequency characteristics in random calibration of Gyroscope VG949P

图5 VG949P陀螺仪相频特性随机法校准曲线Fig.5 Curve of phase-frequency characteristics in random calibration of Gyroscope VG949P

表1 VG949P陀螺仪动态特性随机法校准稳定性Tab.1 Stability in random calibration for the dynamic features of VG949P

根据频带内的校准结果，随机法的幅值灵敏度稳定性（3σ）在0.5%以内，相位稳定性（3σ）在0.5 °以内。

3.2 陀螺仪动态特性随机法与正弦法校准结果比对

将随机法实验1结果与正弦法结果进行对比，用于验证随机法校准结果的准确性。图6是幅频特性对比结果，图7是相频特性对比结果。随机法和正弦法均在实验频带内进行了曲线拟合。

图6 VG949P陀螺仪正弦法和随机法的幅频特性对比Fig.6 Contrast between amplitude-frequency characteristics of sine method and random method of Gyroscope VG949P

图7 VG949P陀螺仪正弦法和随机法的相频特性对比Fig.7 Contrast between phrase-frequency characteristics of sine method and random method of VG949P

陀螺仪分别用正弦法和随机法进行校准，校准结果对比如表2所示。在整个实验频带内，两种方法的灵敏度差值在1%以内，相位差值在1 °以内。此灵敏度差值和相位差值的量级完全能够满足陀螺仪的动态特性校准要求。

表2 VG949P陀螺仪随机法与正弦法校准结果对比Tab.2 Contrast between calibration results characteristics of sine method and random method of VG949P

4 结 论

针对陀螺仪动态特性的校准，本文提出了随机角振动激励下陀螺仪动态特性的校准方法，通过研究校准原理以及校准中的信号处理方法，包括标准角振动信号的解算方法、抗混叠滤波方法、功率谱密度估计方法以及频响函数辨识方法，最终实现了陀螺仪动态特性的随机法校准。相比于正弦法逐个频点测量，随机法可以一次性测量陀螺仪整个频带的幅频特性和相频特性，效率更高，并且随机角运动更接近于陀螺仪的实际工况，此方法为陀螺仪扩展了一种更快速更有效的校准方法。随着角振动台随机角振动控制精度的提高以及此校准方法的推广，这种新的校准方法在未来将有望替代正弦法成为常用的陀螺仪动态特性校准方法。