悬臂梁共振频率与其形状的关系探讨

张巧凤

（中航工业西安航空计算技术研究所，西安 710119）

1 理论基础

在一些应用中，要求悬臂梁既有较大的变形又有较高的共振频率［1-2］。

悬臂梁的变形方程式为

式中，ν 为泊松比，E 为弹性模量。

悬臂梁的共振频率

式中，ρ 为材料的密度。

从式（1）可以看出，悬臂梁越长越薄，其变形越大，但是从式（2）可以看出它的共振频率会越小。因此，通过改变悬臂梁的尺寸难以同时提高其变形程度和共振频率。

从式（1）和式（2）可以得出：

从式（3）可以看出，t·f0的值主要由厚度尺寸确定，h越小，t·f0的值越大。

基于以上理论，可以在改变悬臂梁厚度的同时提高其变形与共振频率。

2 悬臂梁的设计

可以通过改变悬臂梁结构来提高其共振频率［3］。设计悬臂梁的结构如图1所示。

表征悬臂梁形状的参数有长、宽、高。图1（a）表示长和宽，图1（b）表示高。图1（b）中的2、3、4、5 是在1 的基础上，通过改变b/a的比例来确定，b/a 的定义如图2 所示。

图1 悬臂梁尺寸设计

图2 b/a 的定义

3 仿真分析

3.1 频率的确定

对不同截面形状的悬臂梁进行ANSYS 仿真，b/a 为0时的收敛性曲线如图3 所示。

从图3 可以看出，在65 000 和75 000 个元素数量之间，悬臂梁的共振频率值趋向于收敛。b/a 取不同值时，通过收敛曲线来确定其频率。

图3 b/a=0 时的收敛曲线

3.2 共振频率与截面形状的关系

在b/a 等于1/4 和0 之间取4 个值对这个区域进行细化，得到表1 所示结果。

表1 不同b/a 值对应的共振频率

从图4 可以看出，随着b/a 值的减小，悬臂梁的共振频率逐渐增大，b/a 为零时的共振频率最大，且b/a从1 减小到0，悬臂梁的共振频率平均增加到了原来的约1.5 倍。

图4 悬臂梁不同b/a 值对应的不同共振频率

4 结论

改变悬臂梁的形状可以提高其共振频率。通过ANSYS 仿真，可以得出，随着悬臂梁截面形状厚度比b/a的减小，其共振频率逐渐增大。b/a 从1 减小到0，悬臂梁的共振频率平均增加到了原来的1.5 倍。

［1］Cheng H H，Weng W H，Chang J H.Design and Fabrication of Cantilever Beam for Bio-sensing ［C］//The 8th Cross-strait Advanced Manufacturing Technologies Workshop，Taipei，2010.

［2］Ansari M Z，Cho C，Kim J，et al.Comparison between Deflection and Vibration Characteristics of Rectangular and Trapezoidal profile Microcantilevers［J］.Sensors，2009（9）：2706-2718.

［3］Ansari M Z，Cho C.A Study on Increasing Sensitivity of Rectangular Microcantilevers Used in Biosensors ［J］.Sensors，2008（8）：7530-7544.