培养化归思想，提升数学解题能力

2021-08-26袁梦

求学·教育研究 2021年15期

袁梦

摘要：在数学教学中，老师在进行概念、定理、公式、法则的教学时不能只给出相应的结论，把课堂变成被动接受新知的过程，而是要强调培养学生的“四基”，让学生感悟数学的基本思想方法。初中涉及的思想方法有很多，化归思想就是其中之一。

关键词：初中数学;数学思想;化归思想

化归思想在数学概念的教学以及学生解题的能力培养等方面都起到了不容忽视的作用。化归思想具体是什么？一般来说，化归思想就是将对于自身现有水平上来说的难题转化成自身能力能解决的问题，从而进行求解，即化难为易的过程中体现出来的思想方法。在初中数学中，化归思想就已经得到普遍的应用了。下面笔者以初中教材中相关内容为例体会化归思想。

一、在数与代数中感悟化归思想

1.数与式部分中，在学生了解代数式的概念后，明确了代数式的内涵和外延。除了独立的数字和字母，字母间通过基本运算形成的式子也称为代数式。根据式子中是否含有根号，可分成有理式和无理式。在有理式中根据分子分母特殊位置是否含有字母，分为整式和分式两类;其中整式就是只有分子中含有字母，分式就是只有分母中含有字母[1]。有理式和无理式的相关运算都在化归思想的引导下进行，转化成学生熟悉的数的运算。如在有理式中整式的加减运算的实质就是将相同字母的项进行合并，并把同类项前面的系数进行有关运算，本质上就是数的最基本的加减运算。同理，在整式的乘除运算中，可以理解为字母前的系数和同底数幂的指数分别进行乘除运算，实质就是数的四则运算中的乘除运算。

以人教版七年级上册有理数这章为例，因为在小学时学生们接触到的数都是正数，头脑中最大的数集也只是正数，而此时若直接告诉学生们数系还可以再扩充，除了正数还有负数的存在时，学生很难去理解抽象的负数的概念。所以大多数教师此时都会举一些学生们感知过的具体实例帮助学生理解，如零下温度、地下层数的标号等，使得抽象概念具体化，这就体现了化归思想。

2.方程部分中，初中生接触过分式方程、二元一次方程组、三元一次方程组、一元二次方程。解题的方法殊途同归，最终都是要利用化归思想转化为简单的一元一次方程。

以人教版七年级下册解二元一次方程组为例，当教师给出一个具体的二元一次方程组时，大多数学生会毫无思路，因为在他们的认知结构中没有出现过解决此类问题的知识点，所以只会一个一个去试数。这时教师只需引导学生思考把“二元”转化成什么，学生们就很容易联想到之前学习过一元一次方程的解法，所以知道要将“二元”转化成“一元”的方程，求解的过程就会容易很多了。下面以加减消元法为例体会化归思想：

例1：用加减消元法解方程组

解：①×3，得9x+12y=48 ③

②×2得10x-12y=66 ④

③+④，得19x=114，x=6.

把x=6代入①，得3×6+4y=16，4y=-2，y=-，

所以这个方程组的解是

3.在函数部分中，根据人教版教材编排顺序，学生由浅入深学习一次函数、二次函数和反比例函数。因为正比例函数是特殊的一次函数，所以通過对正比例函数的学习，学生养成了研究一类新函数的思想方法，即通过具体的实际问题先抽象出数学模型，然后写出相关解析式。接下来就是研究解析式所对应的函数的图象。因为正比例函数的图象学习是学生首次接触函数图象，教师要加以引导并共同总结绘制一般函数图象的步骤：一列表、二描点、三连线。至此学生思维结构就扩充了函数研究的步骤。在之后二次函数以及反比例函数的学习中，学生就可以利用化归的方法，通过之前的思路去研究具体的函数模型。在二次函数的学习中，化归思想体现得更为明显，当研究二次函数与x轴相关的交点问题时，学生很难根据图象确定横坐标的具体值;引导学生观察图象之后，学生可以较容易发现与x轴相交时纵坐标值为0的特点，所以就可以与之前一元二次方程的内容进行联系，通过解出一元二次方程的解确定交点横坐标，从而写出与x轴相交的点的坐标。

二、在图形与几何教学过程中形成化归意识

在平面几何相关内容中，数学概念、性质、定理等证明都使用了化归思想。以人教版八年级下册平行四边形这章为例，学生掌握了八年级上册学到的全等三角形的性质和判定的知识，加上小学学到的“平行四边形是由两个相同的三角形组成”，能够联想到平行四边形的辅助线——对角线，从而利用三角形的知识证明平行四边形的性质。易用SSS证明相应的两个三角形全等，推出平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分[2]。从一般到特殊，也从对角、对边、对角线三方面出发研究矩形、菱形的相关性质。正方形不仅是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形以及特殊的菱形，所以学生在学习正方形这节知识时利用了之前所学过的知识[3]。

在学习平行四边形这章几何内容的知识点时，把新知通过中间桥梁转化成已经熟悉的知识，全章都在体现化归的核心思想，化难为易，化新知为旧知，在学生原有的思维结构中增添相应的知识点。

学生们在日常做平面几何相关问题时也都形成了化归意识，比如在做有关证明题的过程中通过引入辅助线，使得相对复杂的几何模型分解成熟悉且传统的几何模型，从而进行证明。

三、在解题的过程中锻炼化归思维

在初中数学的相关问题中，方程以及图形等难题就可以利用化归的思想去解决。下面以方程应用题为例，感受由化繁为简的化归思路。二元一次方程组应用题中需要通过分析题干，找寻隐性的等量关系再列出等式进行解题。

例2：若2amb2m+3n与a2n-3b8的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是（）

A.1，2 B.2，3 C.1，1 D.1，3

解析：学生们已经掌握单项式以及同类项的相关概念，根据题目可以得到两个单项式中a与b的指数相同的条件，并且列出关于m与n的二元一次方程组，从而解出相应m与n的具体值。这个过程就是将具体问题转化成方程问题，然后进行计算。

例3：反比例函数与一次函数y=-x+2的图象交于A，B两点，求A，B两点相应坐标.

解析：两个函数相交说明两个图象重叠的部分横纵坐标相同，它们的交点同时满足两个图象对应的不同解析式，交点坐标就是由两个解析式组成的方程组的解。

根据题目得到方程组，从而利用二元一次方程

组的解法解出相应的x与y的值。

综上，化归思想是一种很重要的思想方法，不仅在初中数学中大量应用，在高中数学以及大学相关内容中也都作为一种解决问题的手段，所以教师在初中阶段就要渗透给学生相关思想并在日常做题中培养学生的化归思维，提升做题效率。