再探圆锥曲线的一个统一性质*

广东省中山市濠头中学 (528437) 闫 伟 张 宇广东省中山市小榄中学 (528415) 李显刚

圆锥曲线有很多统一或相似的性质，它的延伸、推广可以呈现出丰富多彩的数学内容，深刻反映了数学独特的魅力，值得我们去发现和欣赏，本文在文[1]中结论的启发下通过探究得出了更为一般的结果.

文[1]中探究了与椭圆准点有关的一个性质.

同样在双曲线和抛物线中也有此类性质.上述性质反映了圆锥曲线的交点与准线的一个统一性质，结论无疑是非常优美的，且在高考和模拟考常有体现；但仔细观察，笔者发现该结论仅仅是椭圆的焦点和准线的性质，如果Q点不在准线上时仍否有类似的性质呢？笔者借助GeoGebra软件进行了实验探究，发现了如下更为一般的定理：

图1

图2

图3

结论2、3的证明过程类似于结论1，此处不一一赘述.

图4

结论4 如图4，已知抛物线y2=2px(p>0)，A是抛物线的顶点，M(m,0)(m>0)是抛物线内一点，直线x=-m与x轴的交点为N，过点N的直线与抛物线交于点C,D，直线AC与过D点且平行于x轴的直线交于点P，则PM⊥x轴，且PM平分∠CMD.