固化几何模型 探究变化性质——一道中考几何题的解析与教学思考

福建省莆田市教师进修学院 (351100) 林 伟

1试题呈现

图1

如图1，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD延射线BD的方向平移得到△A1B1D1，分别连接A1C,A1D,B1C，求A1C+B1C的最小值.

2试题分析

本题是2019年四川省成都市数学中考试题，题目简洁，以菱形为载体，并菱形的一个内角为60°，分析图形结构特征，菱形的一个内角为60°，若连结对角线AC菱形为两个等边三角形的组合体，则图形中边角的大小关系确立.题目中涉及到平行移动的问题，△ABD延射线BD的方向平移，三角形图像的平移其实就是其三条边的平移，在线段的平移中线段的长度不变，线段平行的性质不变.欲求A1C+B1C的最小值，分析在线段A1C与B1C中C为定点，A1,B1为动点，线段长度和的最小值是典型的几何中“将军饮马”的问题.

3变式铺垫

题目中涉及了图形的平移变化和线段和求最小值的“将军饮马”的问题，两部分知识都是初中几何教学中的重点和难点，为了让学生能更好的突破和分解难点，教学中可采用分解任务的方法，设置如下变式加强学生对“将军饮马”几何模型的认识.

变式如图2，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，F为线段BD上任意一点，E为CD的中点，求CF+EF的最小值.

图2

图3

分析：题目中设置点C,E为定点，F为线段BD上的动点，且C,E在直线BD的同侧，符合“将军饮马”问题的模型特征.由菱形的图像特征可知，对角线互相垂直平分，所以C关于BD的对称点为A，则CF=AF.由两点间线段的距离最短可求CF+EF的最小值.

4解法分析

图4

评析：图像的平移变化中，线段的长度和平行的性质保持不变，本题在三角形的平移过程中，A1B1//CD且A1B1=CD，即四边形A1B1CD为平行四边形保持不变，所以B1C=A1D.这样目标线段中动点转化成定点，从而使得问题转化成动点A1到两定点C,D的距离和最小值的问题，符合“将军饮马”的几何模型.

图5

评析：通过平移的变化分析四边形A1B1CD为平行四边形，通过平行四边形的对角线互相平分及中位线的性质构造辅助线EF，把动点转化成定点，使得A1C+B1C=2(CF+EF)，其中C,E为定点，点F为直线BD上的动点.

图6

评析：解析法的关键思路是用代数的方法来解决几何问题.用解析法来研究平面几何首先是根据条件建立恰当的平面直角坐标系，从而建立点与坐标，直线与方程的关系.本题根据图形的结构特点易建系，但建系后涉及到直线的方程的求解，相关点的设置，以及双根号函数求最值，对初中的学生有一定的难度.本题的解法巧妙的利用数形结合的思想，未设置直线BD的方程，又返回到图像的几何意义，并利用配方及两点间距离公式解释了双根号函数的几何意义，从而化解了题目的难点.

图7

评析：通过解析法的探究，本题也可以先确定B1为射线上的动点，通过构造平行四边形A1B1A2C，把题目转化成动点B1两定点C,A2的距离和的最小值.

5教学反思

几何模型的教学是通过归纳同一类有几何共性的图形，利用图形的直观性固化数学解题模型的意识，从而深化学生对这一类几何性质的理解和应用.几何模型的教学是培养学生数学直观素养，树立学生建模意识的重要途径.本题的解题分析正是建立在对“将军饮马”几何模型的理解掌握的基础上.利用典型的几何模型来深化一类题型的解题方法，其渗透了数学建模的思想，促进学生更好的利用几何模型来理解数学问题和解决数学问题.

对图形运动与变化性质的探究，主要包含两个方面：一是运动变化中不变的性质，二是运动变化中变化的规律.初中的平面几何教学中，运动变化主要包含了：平移，翻折和旋转.平移主要是体现平行的性质，翻折和旋转主要体现图形轴对称和中心对称的性质.本题主要是三角形图形的平移变化，图形的平移变化保持了线段的长度和平行的性质不变，是本题解题的主要突破口.通过证明图中已有的平行四边形或构造平行四边形，从而把动点转化为定点，使得题目符合“将军饮马”的几何模型.

数形结合是研究数学的一种基本思想，探究平面几何运动变化的另一个重要途径是解析法.通过平面坐标的确立，使得几何问题代数化，利用方程的求解，函数的运算来探究几何的性质.本题的解法三就是利用解析法，并从解析法的探究中获得灵感构造出新的平行四边形(解法四).用解析法研究平面几何是数形结合思想的体现，充分阐述了华罗庚先生所说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的数学思想.