探究高考试题 再谈解几知识本质——以2020年北京高考解几题为例

北京市第八十中学 (100102) 孙世林

2020年是北京市实施新高考的第一年，数学试卷实施文理合卷，与去年相比，在试卷结构、分数设置等方面有较大调整，解析几何考题是倒数第二道大题，这道题综合性强，对考生能否取得理想成绩起到了至关重要的作用；这道题“入口易、思路宽、深入繁、出口难”，大部分考生看到题的第一感觉似曾相识，感觉有思路，但大部分考生做的不理想，究其原因是对解析几何知识本质理解的不到位，下面借助本题解法的探究，再谈解析几何的知识本质.

一、试题再现

图1

(I)求椭圆方程；

二、解法探究

1.回归知识本质，强化代数运算

解析几何知识的本质是用代数的方法研究几何问题，将题目中的几何量用恰当的代数形式表示，然后对代数运算的结论给出几何解释，最终得出几何结论.可见，在解决解析几何问题时，代数运算是必不可少的，要想顺利解决解析几何问题要重视代数运算，注意必要的运算技巧的运用，我们看解法1.

点评：本题探究直线l运动变化过程中，线段PB,BQ长度的比是定值，解题时我们从运动变化的根源入手，设出几何元素直线l的方程，将几何量线段PB,BQ长度，表示为直线l的斜率k的代数形式，然后用代数推理说明两个代数式的比值为定值，从而说明线段PB,BQ长度的比是定值，这种解法恰恰体现了解析几何的知识本质，即用代数的方法研究几何问题，在这个过程中，代数运算是必须经历的过程.对于其中比较繁琐的代数运算，我们需要探究代数式的特点，积累常见的运算技巧，提高关于计算能力.

2.从特例入手明确方向，简化代数运算

3.探究几何特征，提升数学素养

解析几何知识本质是用代数的方法探究几何图形中蕴含的规律和性质，所以说解析几何问题首先是几何问题，既然是几何问题，我们能否首先从几何的角度，探究几何图形中的几何量间存在怎样的几何关系，平面几何相关知识告诉我们，求线段长度的比可以联想到平行线分线段成比例，所以可以构造平行线，通过相似比寻求相关几何量存在的几何关系，我们看解法3

图2

点评：在解决解析几何问题过程中，要经历文字信息、图形特征和符号语言之间的多重转换，本解法通过构造平行线寻求本题中相关线段间的几何特征，接着将这个几何特征用恰当的代数形式表示，得出代数结论，再利用这个代数结论求出本题的结果，此解法突出了平面几何知识的应用，起到了优化运算的作用.

三、反思

圆锥曲线是几何图形，其中蕴含了一系列的几何关系，怎样才能发现并证明几何图形中的几何关系，著名数学家笛卡尔引出了“解析法”，其本质是用代数的方法研究几何.在解决解析几何问题时，要借助平面直角坐标系，将平面内的“点”与“数对”、直线(或曲线)与方程之间建立一一对应的关系，要深入探究什么样的代数形式表示题目中的几何关系更恰当，接下来通过代数运算得出代数结论，再将代数结论回归成几何结论，从而实现对几何图形的研究．

在解决解析几何问题中常存在繁琐、冗长的代数运算，考试中许多考生因为不能顺利进行代数运算而导致失败；高中数学课程中明确提出应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一，其中运算求解、数据处理能力就是数学思维能力的具体体现，考纲中也明确提出了考查学生的运算求解能力和数据处理能力的具体要求，所以要注意对算法、算理的研究，积累代数变换的常见方法和必备的计算技巧，同时要深入探究“形”的特征，充分利用定义、形的特征简化运算，用信心、耐心和韧性解决好解析几何问题.