两道椭圆模考试题的拓展探究

浙江省金华第一中学 (321015) 吴贤盛

在近几年的高考试题和模考试题中，圆锥曲线与圆的综合问题是倍受命题者的亲睐，这类试题可以很好的体现出高考试题在知识交汇处命题的特点，也可以很好的考查考生的综合思维能力，具有很好的区分度.本文选取两道这类试题进行赏析，并进行推广探究，以期达到对学习圆锥曲线起到抛砖引玉的作用.

图1

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图1，设圆C是圆心在椭圆E上且半径为r的动圆，过原点O作圆C的两条切线，分别交椭圆于A,B两点，是否存在r使得直线OA与直线OB的斜率之积为定值？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由.

图2

(2)如图2，设R(x0,y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x-x0)2+(y-y0)2=4引两条切线，分别交椭圆于点P,Q，若直线OP,OQ的斜率存在，并记为k1,k2，求证：k1k2为定值；

(3)在(2)的条件下，试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

这两道高三模考试题都是与椭圆有关的定值的探究型问题，考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查了函数与方程和化归与转化的思想，考查了考生的运算求解能力和推理论证能力，旨在考查考生的数学运算和逻辑推理的核心素养.以上解析中运用的破解椭圆定值问题的方法是直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.笔者通过类比和联想，推理证明，得出了这两道试题蕴含的圆锥曲线的如下性质.

罗增儒说：“一旦获解，就立即产生感情上的满足，从而导致心理封闭，恰好错过了提高的机会，无异于入宝山而空返.”本例解题没有停留在题目的解出，而是对这两道模考试题进行推广探究，得出这两道试题的背景如上文中结论1，这样可以培养学生的创造性思维，可以打破思维定势和机械的思维模式，开阔学生的学习视野，提高学生思维的灵活性，提高学生的综合思维能力和解题能力，提升学生的数学核心素养.