借助函数图像讨论含参数方程解的情况

杨姝宇

我們在解有关含参数的方程时，经常遇到这样一类问题，某参数属于任意实数，讨论关于x的方程（其中含有此参数）的解的情况.解这类习题时，若单纯地通过解方程来考虑，有时就要遇到一些比较复杂的方程，如，无理方程等等.这样就会带来比较烦琐的计算.这里我想通过几道例题介绍一种方法，借助于函数的图像，根据函数的图像和性质，来讨论含参数方程解的情况.

例1 已知a∈R，讨论关于x的方程2x+1=x+a的解的情况.

解 令y1=2x+1，y2=x+a，分别作出图像.

y1=2x+1的图像是抛物线y2=2x+1（y≥0），它与x轴交于A-12，0，y2=x+a的图像是斜率为1的平行直线系如图示.

当直线y=x+a过点A-12，0，a=12，它与抛物线y2=2x+1（y≥0）有2个交点，随着a的减少，直线向下平移，两图像只有1个交点，即a<-12时，有1个交点.

随着a的增加，直线向上平移，直至它与抛物线相切只有1个交点B之前，两图像有2个交点.

直线与抛物线（一部分）只有1个交点的条件是二次方程（x+a）2=2x+1有2个相等的实数根，即Δ=（2a-2）2-4（a-1）=0，得a=1，

∴当12≤a≤1时，有2个交点，当 a=1时，有1个交点.

随着a的增加，直线再向上平衡，与抛物线无交点，则a>1，无交点.

这样，得出结论：a<12时，原方程有1个解；12≤a≤1时，原方程有2个解；a=1时，原方程有1个解；a<1时，原方程无解.

例2 已知a∈R，讨论方程log2x+1=2log2（x-a）的解的情况.

解 x满足条件x>0，x-a>0，

即x>0，x>a.

在此条件下，原方程可化为lg22x=log2（x-a）2.

即2x=（x-a）2.

令y1=2x，y2=（x-a）2.

① 直线y=2x和抛物线y=（x-a）2只有1个交点（即相切）条件是二次方程（x-a）2=2x有2个相等的实根.即Δ=（2a+2）2-4a2=0，8a+4=0，a=-12.

∴a=-12时，有1个交点，满足x>0，x>-12， 即x>0.

② 抛物线向左移，当a<-12时，直线和抛物线无交点.

③ 抛物线向右移，（ⅰ）-120.

（ⅱ）a=0时，直线与抛物线有两个交点（0，0），（2，4）.

又∵x>0，∴有1个交点.

（ⅲ）a>0时，x>a，有1个交点.

综上，得出结论：a<-12时，原方程无解；a=-12时，原方程有1个解；-12

例3 已知k∈R，讨论关于x的方程|x2-1|-x-k=0的解的情况.

解 原方程可化为|x2-1|=x+k.

令C1：y1=|x2-1|；C2：y2=x+k.

作出函数y1=|x-1|和y2=x+k的图像，考虑交点即可以得出结论.

① k<-1时，C1与C2无交点，原方程无解.

② k=-1时，C1与C2有1个交点，原方程有1个解.

③ -1

④ k=1时，C1与C2有3个交点，原方程有3个解.

⑤ 相切时，-x2+1=x+k，x2+x+k-1=0，Δ=1-4（k-1）=0，k=54时，C1与C2有3个交点，原程有3个解.

⑥ 1

⑦ k>54时，C1与C2有2个交点，原程有2个解.

例4 已知曲线C：y=|x2-8x+16+λ|（λ为常数），直线l：y=2x-4，由λ的取值范围确定曲线C与直线l的交点个数.

请读者自己作出图像并讨论交点个数.

从上面几例题可以看出，如果我们遇到有关讨论含参数方程解的个数问题，可以借助于函数图像，找到一条曲线和一条动曲线，通过动曲线的移动，寻找参数的变化范围，确定两曲线交点的个数，从而达到讨论清楚方程解的个数的目的.这样，就可简洁明了地解决问题.