一道高中数学联赛预选题的再探究

福建省莆田第五中学 (351100) 吴雪琴

1．已有结论呈现

文【1】对2016年全国高中数学联赛湖南赛区预赛试题题13进行探究，得到了椭圆、双曲线、抛物线定点问题的几个结论，并由此综合得出圆锥曲线的一个定点性质，读后颇受启发，但觉意犹未尽.本文拟对上述结论进行推广.先把文【1】中的定理1，2，3抄录如下：

以上定理揭示了圆锥曲线的焦点与准线的一个关联性质，我们不禁要问：如果把定理中的“焦点”与“准线”分别换为“类焦点”与“类准线”，这一结论还成立吗？

2．探究结论的推广

经探究发现，以上定理的结论不仅对圆锥曲线的焦点与准线成立，对“类焦点”与“类准线”仍然成立.为此，下面把上述性质推广到“类焦点”与“类准线”的情形.

证明：分两种情况讨论.

类似地，可把定理2，3分别推广为

定理3.1 设抛物线C：y2=2px(p>0),直线l经过抛物线C的“类焦点”F(t,0)(t>0)，与抛物线C交于点A,B，点A,F,B在“类准线”x=-t上的射影依次为D,K,E,则对任意直线l，直线AE与BD相交于线段FK的中点(0,0).

下面只给出定理3.1的证明，定理2.1仿定理1.1可证.

证明：分两种情况讨论.

当直线l垂直于x轴时，显然有直线AE与BD相交于线段FK的中点(0,0)；

定理4.1 设圆锥曲线C，直线l经过圆锥曲线C的“类焦点”F，与圆锥曲线C交于点A,B，点A,F,B在相应的“类准线”上的射影依次为D,K,E,则对任意直线l，直线AE与BD相交于线段FK的中点G.

3.推广结论的完善

上述推广的逆命题成立吗？即设点F在“类准线”上的射影为K,点D,E在“类准线”上，若对任意直线l，直线AE与BD相交于线段FK的中点G，那么点D,E是否为点A,B在“类准线”上的射影？

设点A,B在“类准线”上的射影为D1,E1,据定理4.1，得对任意直线l，直线AE1与BD1相交于线段FK的中点G.这表明直线AG经过点E1,又由直线AE与BD相交于线段FK的中点G，知直线AG经过点E,则点E,E1同为直线AG与“类准线”的交点，故点E,E1重合，从而点E为点B在“类准线”上的射影.同理可证点D为点A在“类准线”上的射影.可见定理4.1的逆命题成立，故定理4.1可完善为

定理4.2 设圆锥曲线C，直线l经过圆锥曲线C的“类焦点”F，与圆锥曲线C交于点A,B，点F在“类准线”上的射影为K,点D,E在“类准线”上，则对任意直线l，直线AE与BD相交于线段FK的中点G的充要条件是点D,E分别为点A,B在“类准线”上的射影.

由定理4.2，可把定理1.1、2.1、3.1分别完善为

定理3.2 设抛物线C：y2=2px(p>0),直线l经过抛物线C的“类焦点”F(t,0)(t>0)，与抛物线C交于点A,B，点F在“类准线”上的射影为K,点D,E在“类准线”上，则对任意直线l，直线AE与BD相交于线段FK的中点(0,0)的充要条件是点D,E分别为点A,B在“类准线”上的射影.

至此，我们完成了对上述全国高中数学联赛湖南赛区预赛试题的再探究，推广和完善了文【1】的圆锥曲线定点问题的几个结论.

4.教学反思

著名数学教育家G波利亚说过：“没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做”，“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地成长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近有好几个”.竞赛、高考等各类试题是众多专家集体智慧的结晶，具有原创性和可探究性，这些试题是命题者留给我们的一笔宝贵“财富”，不应满足于会解和已有结论，引导学生对之进行适当探究，寻找“蘑菇”，使这些“财富”有所“增值”.这对培养学生的探究意识和探究能力，提升数学学科核心素养无疑是有益的.