初中数学课堂教学中数形结合思想在函数解题中的应用探究

张小亮

摘 要：随着新课改的推进，初中数学的教学标准有所提高，教师要转变教学理念，创新教学模式。在初中，学生开始接触函数问题，但由于函数解题的抽象性，很多学生在解题过程中容易不知所措。主要分析了数学结合思想在初中数学函数解题中的应用，期望能够帮助学生提高函数解题能力，促进学生数学学习能力的提高。

关键词：初中数学；数形结合；函数解题

一、数形结合思想的方法的含义和特点

1.数形结合思想法的含义

数形结合思想就是将代数和几何相结合，充分利用两者结合的优势解决数学问题的一种数学方法。数形结合的使用分两种情况，一是利用图形的形象性揭示隐藏在图形中的数据的联系，例如可以使用一次函数的图象揭露一次函数y=kx+b（k≠0）中k，b不同取值对函数图象的影响。二是使用代数阐述函数图象的性质。

2.数形结合思想的特点

（1）形象性。在讲解题的过程中，教师仅使用语言描述很难让学生形成知识网络。使用数形结合，能够通过形象的图形和具体的数据推导帮助学生形成形象思维。例如，在平面直角坐标系中，只有将一次函数的图象反映到坐标中，并通过坐标的移动轨迹总结到图象的特点。

（2）直观性。图形具有直观性、生动性，在处理图形问题时应充分使用图形的优点实现抽象的概念和形象的图象之间的转化。使用图形能够将数据直观呈现出来，以便于学生的理解。例如在二次函数的学习中，单纯通过数字很难让学生理解其图形的变化规律，这时就可以使用图形反应二次函数的图象的特点。

（3）双向性。在解题的过程中，往往需要将数量关系和图形综合使用，相互转化。有些问题通过数很难解释，但使用图形则能够迅速得到结果。还可以根据图形检验数量关系，反之还可以通过数量关系验证图形。

二、数学结合思想在初中数学函数解题中的应用

1.以图形帮助代数

在二次函数的解题过程中，如果遇到数据型题目时，就可以通过绘制二次函数的图形帮助解题。例如，有一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），其图象上分别有（-3，6），（-2，0），（-1，-4），（4，6），（3，0）几个点，根据这些数据求ax2+bx+c<0的解集。解这道题时，首先要想到的是将函数知识和不等式相结合，通过绘制二次函数图象发现x轴以下部分的图形，然后将这部分图形通过代数表示即可。很多学生在看到这道题时会想到使用这些点求出函数的表达式，然后求解。但通过观察这些点，我们会发现，这道题给出了两个x轴上的点，通过观察图象可知道ax2+bx+c<0时x的取值范围为-2

如一元一次函数表达式，如y=3x+2，y=-3x+2，y=3x-2，y=-3x-2，当x取不同值时，一次函数y=kx+b（k≠0）的k和b的取值对函数增减性的影响。当k>0时，x变大，y也随之增大，反映到图象上就是图形直线从左到右呈上升趋势。当k<0时，x变大，y值变小，反映到图象上就是图形直线从左至右呈下降趋势。同理，可以探究b的取值对函数增减性的影响。

如，初中锐角三角函数的定义是在直角三角中定义的，有关的例题、习题等也都是通过构造直角三角形来解题的，即将这个角放到直角三角形中。例如，在Rt△ABC中，角C为直角，且AC=4，BC=3，则SinA的值为多少。在解题的过程中，学生就可以通过画一个三角形，通过计算可知，AB=5，然后通过得到SinA=0.6。

2.以数辅形

以数辅形就是利用代数解决有关函数图象的有关问题。例如，一次函数y=kx+m与二次函数y=ax2+bx+c有交点（1，2），（8，9），二次函数与x轴的交点为（6，0），求：k>0时，x的取值范围。这道题反应的就是以数辅形，通过观察图象就能够得到题目的解。虽然图形较为形象，但其中所隐藏的数量关系很难直观被反映出来。

3.数形结合在函数应用题中的应用

在解函数应用题的过程中，通常需要使用数形结合，实现代数和图形的有效结合，以更好地解题。数形结合在函数应用题中的应用通常需要将问题中所描述的实际问题转化为图形进行解决，有利于学生更好地理解，特别是二次函数，很多实际问题都使用到了二次函数的有关知识。例如，在体育测试中需要测试扔铅球，某男生在测试扔铅球时，出手高度为2米，铅球运行到最高点时距地面6米，距离出手点的水平距离为5米，假设铅球运动的轨迹为二次函数图象的一部分，求铅球掷出的水平距离。在遇到这一类型题目时，如果不画图形时，学生很难较好地解题。这时，教师应让学生通过题目中的已知条件画图形，已知条件分别为出手高度的坐标为（0，2）、最高点的坐标为（5，6），然后就可以简练地画出这一二次函数的一段，然后再以y=0求出x的值就是答案。但在实际问题中，x的值应为正数，x取正值即可。另外，一次函数在实际中也有较多的应用，例如速度和路程问题、注水问题等，都可以利用一次函数的特性和图形进行解题。

在初中阶段，学生开始接触和学习函数问题，但由于学生的学习能力还处于发展期，学生对函数的理解和掌握还存在一定的不足。因此，教师应充分利用数形结合法帮助学生理解代数和图形之间的关系，实现数和形之间的转换。另外，教师应加强练习，帮助学生扎实掌握数形结合法，提升学生的学习能力。

參考文献：

[1]何火钦.数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究[J].考试周刊，2018.

[2]张丽娟.数学课堂教学中渗透“数形结合思想”例谈[J].现代教育，2018.

注：本文系2018年平凉市教育科学“十三五”规划课题（课题批准号：[2018]PLG470）《初中数学教学中“数形结合思想”在函数中的应用研究》成果。