例谈Lagrange乘数法在不等式证明中的应用

广东省佛山市第一中学(528000) 周 骁

多年以来,不等式一直是高考和竞赛中的必考内容,究其原因在于其能很好地考查学生逻辑推理能力和创新能力.不等式类的题目题型多样,技巧性强,得分难度大,对于众多考生来说,成功解决不等式大题显得相当困难.本文笔者将较详细地举例说明Lagrange乘数法在高考、数学竞赛和经济学中的应用,并总结归纳了考生易于理解掌握、程序化的利用Lagrange乘数法解决不等式证明或最值问题的一般步骤和方法.

一、Lagrange乘数法

在介绍Lagrange乘数之前,我们先介绍一下多元函数及其偏导数的求法.多元函数,顾名思义为拥有多个变量的函数,如f(x,y)=2x+3y2−xy为二元函数,其中变量为x,y;f(x,y,z)=3x+2y2−4z为三元函数,其中变量为x,y,z.

关于多元函数的偏导数,类似于物理学中的控制变量法,对选定的变量求导数,将未被选定的变量看作常数.

设函数f(x,y)=2x+3y2−xy,对x求导数为fx=2−y,对y求导数为fy=6y−x,(本文以fx表示多元函数f对x的偏导数,以fy表示多元函数f对y的偏导数,以此类推.)

Lagrange乘数,即求一个多元函数f在另一个多元函数方程g=0的约束下的极值,本文只讨论它在高考及竞赛中的应用,更多的细节请读者参考高等数学文献.

以二元函数为例,若求在条件g(x,y)=0下,求f(x,y)的最大或最小值,其方法可以简述如下:首先,构造函数h(x,y)=f(x,y)−λg(x,y);然后分别对x,y求偏导数,得到hx=fx−λgx,hy=fy−λgy(λ∈R).再通过联立方程:hx(x,y,λ)=0,hy(x,y,λ)=0,g(x,y)=0,消去λ之后,得到对应的一组或多组解(x,y).这些解便是f(x,y)在约束条件g(x,y)=0之下的可能的极值点(这里假定原问题有极值).

通过上述,我们可以看出Lagrange乘数法其实就是根据题意构造多元函数h并求出其极值,本质上与一元函数求极值是相同的.至于如何判断哪一组x,y是在g(x,y)约束下的最大值或最小值,只需将所求得的x,y代入原式,比较大小即可.

我们可以通过Lagrange乘数法,避免不等式的繁琐与困难,从而达到快速解题的目的.

二、Lagrange乘数在高考中的应用

Lagrange乘数可以用于快速解决不等式问题,在该类题目中,题目一般会给出变量的约束方程,求另一个多元函数的最值.

例1 已知a＞0,b＞0,c＞0,且a+b+c=1,求的最小值.

解析设多元函数构造函数h(a,b,c)=f(a,b,c)−λg(a,b,c),求偏导数ha=fa−λga,hb=fb−λgb,hc=fc−λgc,令ha=0,hb=0,hc=0得到因为a,b,c＞0,所以当a=b=c时有最小值.因为a=b=c,且a+b+c=1,所以所以的最小值为27.

例2 函数y=loga(x+3)−1(a＞0,a̸1)的图像恒过点A,且A在直线mx+ny+1=0上,mn＞0,求的最小值.

解析解法一均值不等式法

易知A(−2,−1),代入直线得

解法二Lagrange乘数法

易知A(−2,−1),代入直线方程得−2m−n+1=0.设二元函数g(m,n)=−2m−n+1,构造函数h(m,n)=f(m,n)−λg(m,n),对变量求偏导数,hm=fm− λgm,hn=fn−λgn,令hm=0,hn=0,于是将代入直线方程,解得有最小值

例3 (辽宁理2014年第16题)对于c＞0,当非零实数a,b满足4a2−2ab+4b2−c=0,且使|2a+b|最大时,求的最小值.

解析此题的约束条件有两个,一个是a,b,c的关系式,即4a2−2ab+4b2−c=0,一个是使得|2a+b|取最大值.|2a+b|的最大值等价于(|2a+b|)2=4a2+4ab+b2的最大值,对于约束条件4a2−2ab+4b2−c=0,为简单起见,先将c看成常数.不妨设二元函数f(a,b)=4a2+4ab+b2,g(a,b)=4a2−2ab+4b2−c,构造函数h(a,b)=f(a,b)−λg(a,b),求偏导数ha=fa−λga,hb=fb−λgb,令ha=fa−λga=0,hb=fb−λgb=0,因为2ab−b2+8a2=14ab−4a2+8b2,所以(3b+2a)2=16a2,所以当3b=2a时,|2a+b|取最大值,将3b=2a代入g(a,b)=0得到10b2=c.现在我们就得到关于a,b,c的两两联系的关系式.联立得接下来换元,令则原式当t=2时,原式有最小值,最小为−2.

三、Lagrange乘数法在数学竞赛中的应用

例4 (摘自《数学奥林匹克小丛书》第二版高中卷2)已知x2−xy+y2=3,其中x,y为实数,求x2+xy+y2的取值范围.求x2+xy+y2的取值范围,等价于求原式的最大值及最小值.

解析构造二元函数f(x,y)=x2+xy+y2,g(x,y)=x2−xy+y2−3,令h(x,y)=f(x,y)−λg(x,y),对函数h求偏导数得hx=fx−λgx,hy=fy−λgy,所以2x+y=λ(2x−y),2y+x=λ(2y−x),所以3(x+y)=λ(x+y).现在有两种情况,即λ=3或x+y=0,在这两种约束条件下,x2+xy+y2有最大值和最小值.

(1)当λ=3时,代入hx=fx−λgx,得到x=y,代入x2−xy+y2=3,得到(这里取正或负对x2+xy+y2的结果无影响)代入x,y的值得到x2+xy+y2=9.

(2)当x+y=0时,x=−y,代入x2−xy+y2=3,得到x=1,y=−1,或x=−1,y=1.代入任意一组x,y得到原式最小为1.

特别地,上述两组值代入任意一组对x2+xy+y2的结果无影响.事实上,由于x,y的任意性和原方程的对称性,这两组解其实是等价的.

例5 (摘自《数学奥林匹克小丛书》第二版*高中卷4)设a,b,c是正数,且a+b+c=3,求证:

证法一(通过不等式解决)易知(a+b+c)2=9,所以于是只需证明为此,我们先证明事实上,由平均值不等式得由此可以得到其余两个不等式.进而,我们有

证法二(通过Lagrange乘数解决)构造函数设h(a,b,c)=f(a,b,c)−λg(a,b,c),对h分别对a,b,c求偏导数,ha=fa−λga,hb=fb−λgb,hc=fc−λgc,令偏导数等于零,即ha=fa−λga=0,hb=fb−λgb=0,hc=fc−λgc=0,易知当a=b=c=1时,有最小值3.同理,令u(a,b,c)=ab+bc+ca,Q(a,b,c)=u(a,b,c)−µg(a,b,c),求出对应变量的偏导数,令Qa=ua−µga=0,Qb=ub−µgb=0,Qc=uc−µgc=0,得到当a=b=c=1时,ab+bc+ca有最大值3.可以看出,的最小值和ab+bc+ca的最大值是相等的.综上,有成立.

例6 (摘自《数学奥林匹克小丛书》第二版高中卷4)已知正数a,b,c满足abc=1,求证:

证法一利用柯西不等式证明令则原不等式等于1.由柯西不等式,得即于是原不等式得证.

证法二(利用Lagrange乘数证明)构造函数f(a,b,c)=令h(a,b,c)=f(a,b,c)−λg(a,b,c),求对应变量的偏导数,得ha=fa−λga,hb=fb−λgb,hc=fc−λgc,令ha=hb=hc=0,显然当a=b=c=1的时候,原式有最小值,将a=b=c=1.代入原式,得原不等式得证.

例7 (IMO试题)已知非负数x,y,z满足x+y+z=1,证明

解析对于此题,无法直接用Lagrange乘数一步到位,需要与不等式相结合.xy+yz+xz−2xyz=xy(x+y)+yz+xz(x+z).显然原式大于等于0成立,接下来运用Lagrange乘数对原式小于等于进行证明.不妨设f(x,y,z)=xy+yz+xz−2xyz,g(x,y,z)=x+y+z−1.令h(x,y,z)=f(x,y,z)−λg(x,y,z),求偏导数得fx=y+z−2yz,fy=x+z−2xz,fz=x+y−2xy,λgx=λgy=λgz=λ.联立hx=fx−λgx=0,hy=fy−λgy=0,hz=fz− λgz=0,则有fx=fy=fz=λ,解之得当时,当时,因为所以原式的最大值是于是有命题得证.

对于某些题,相比均值不等式,Lagrange乘数法的计算过程或许不如不等式那样简洁,但是思路更加清晰简单.Lagrange乘数法更类似一种固定式的算法,不像不等式方法所具有的高技巧性.事实上,Lagrange乘数法本身就是一种技巧,也可以认为Lagrange乘数法是解不等式题的一种“公式”,就如同求根公式在解一元二次方程时的地位与作用.

有时候,将不等式和Lagrange乘数法有机地结合与运用,能在解题过程中取得事半功倍的效果.

四、Lagrange乘数在经济学中的应用

Lagrange乘数在大学教材中有更广泛的作用,其步骤比起本文所述更加复杂.此外,Lagrange乘数在经济学中,也常用于解决最优化方案的问题.下面简单举一例:

例8 已知某制造商的柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数是每个劳动力和单位资本的成本分别为150元和250元.该制造商的成本预算是50000元.如何分配这笔钱用于雇用劳动力和资本,使得生产产量最高.

解析这是一个条件极值的问题.求函数在g(x,y)=150x+250y=50000下的最大值.对f,g分别求偏导数,得到:构造函数h(x,y)=f(x,y)−λg(x,y),求偏导数并令其为0.因为hx=fx−λgx,将其代入fy=λgy中,得到在两边同时乘以所以25x−125y=0,x=5y.将此结果代入150x+250y=50000中,解得x=250,y=50,所以该制造商应该雇用250个劳动力,把其余部分资金作为资本投入,这时候可以获得最大产量f(250,50)=16719.

五、运用Lagrange乘数的一般步骤

第一步:在求f(x,y,z)的最大值或最小值时,一定要确定所给的约束方程符合g(x,y,z)=0,比如x2+y2=z2,我们需要把它改写成g(x,y,z)=x2+y2−z2=0;

第二步:令fx−λgx=0,fy−λgy=0,fz−λgz=0;

第三步:解上述方程组,找出对应的x,y,z;

第四步:判断第三步得到的解x,y,z,如果有多组解,判断哪一组是最大值或最小值(如果只有一组解,那么必然是f(x,y,z)最大值或最小值).

六、解题的一般性的规律

在解题过程中,题目所给出的要求证明的不等式,一般是具有对称性的.

常见题型设定(以原式具有最小值为例):

由于原不等式的对称性,将不等式左边看成n元函数,对任一变量ai(1≤i≤)所求的偏导数的形式是相同的.通过Lagrange乘数法,我们可以得到:当时,原式有最小值.不难发现,实际上不等式右边的于是原不等式等价于

事实上,如果f(x)为凸函数即f:(a,b)→R,满足其中x,y∈(a,b),xy,那么有

其中xk∈(a,b),且至少有一对(i,j),使得请读者用归纳法自行证明.

七、解方程式时常见的错误

1.如果题目给出了两个或以上的约束方程式,例如对于变量x,y,z有h(x,y)=0与k(x,y)=0同时满足,不可以贸然设定h(x,y)=k(x,y)=0,虽然在逻辑上没有问题,殊不知这个看似无害的设定,就让许多本就隐蔽的信息更加隐藏了起来.这样不利于解题,甚至使得无法解题.

2.在遇到x=λx的时候,切记不可以自动把等号两边的x抵消掉,然后解得λ=1.事实上,此举相当于在等号两边同时除以x,并且这步骤只能是在确定x̸=0的条件下才能够实施.因此,对于x=kx的情况,可能的解不仅有k=1,还可能存在x=0.

本文所述的是Lagrange乘数法在高考数学及高中数学竞赛中的作用,也简单介绍了Lagrange乘数在经济学中的应用和基本步骤.在大学数学中,Lagrange乘数法有着更加广泛的应用和更为复杂的使用技巧.此外,Lagrange乘数法不是高考数学与竞赛中正规的解题步骤,因此不可作为答题步骤,Lagrange乘数主要在解决难度较大的不等式类选择题或填空题时使用.

总之,能否正确而快速地解题,才是考试能否成功的决定性因素.