用洛必达法则巧解“恒成立时参数取值范围”型高考压轴题

杨刚

[摘 要] 纵观高考数学压轴题中，函数与导数应用问题是十分常见，其中求参数的取值范围是重点考查题型.在常规变量分离法等解题时，会出现“■”型或“■”型的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则，这种方法简单，讨论直接，有效提高学生解决问题的效率.

[关键词] 函数与导数；参数；洛必达法则

洛必达又音译为罗必塔，是法国的一名数学家.他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》（1696），这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，在书中第九章记载了约翰·伯努利在1694年7月22日告诉他的一个著名定理：洛必达法则，也就是求一个分式当分子和分母都趋于零时或都趋于无穷大的极限的法则.后人误以为是他的发现，故以洛必达法则（或罗必塔法则）之名沿用至今.

函数与导数是高中数学的重要内容，高考数学压轴题基本都和函数与导数应用有关，试题常常会遇见通过变形之后，转化为形如：m>■（或m<■）在某个给定的区间I上恒成立，求实数m的取值范围之类的题型.通常的解法是：先求函数y=■的导数，确定函数在区间I上的单调性，再求出函数y=■的最值，从而求出m的取值范围.在区间I上，若函数y=■在x=x0处取得最值，当函数在x0处有意义时，只需把x0代入函数，即可求出函数的最值；当函数在x0处无意义时，常常有x→x0时，f（x）→0，g（x）→0，就不能直接代入函数求最值，此时一般的解法是构造新函数，对参数恰当分类，再求导，分情况讨论，这对学生的推理和运算能力要求非常之高，多数学生很难找到正确的切入点，会选择放弃，这时如果考虑用洛必达法则，那么问题就会迎刃而解了.

■【洛必达法则Ⅰ】 “■”型

（1）■f（x）=0，■g（x）=0；

（2）f（x）与g（x）在x0的空心邻域内可导，且g′（x）≠0；

（3）■■=A（A可为有限数，也可为∞或-∞），则■■=■■=A.

■【洛必达法则Ⅱ】 “■”型

（1）■f（x）=∞，■g（x）=∞；

（2）f（x）与g（x）在x0的空心邻域内可导，且g′（x）≠0；

（3）■■=A（A可为有限数，也可为∞或-∞），则■■=■■=A.

利用洛必达法则求不定式的极限时，要注意以下几点：

①将上面公式的x→x0换成x→x■，x→x■，x→∞，x→+∞，x→-∞时，洛必达法则也成立.

②洛必达法则不仅可求■型和■型的极限，也可求0·∞，∞0，00，1∞，∞-∞等型的极限，只需把它们转化为■型和■型，再用洛必达法则即可求出.

③在着手求极限前，先检查是否为■，■，0·∞，∞0，00，1∞，∞-∞等型不定式，再檢查是否满足三个前提条件，否则不能用洛必达法则.

④若三个条件满足，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

下面我们来看看，如何用洛必达法则巧解近几年高考导数压轴题.

例1（2015年山东卷理科）设f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，

（1）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由；

（2）若？坌x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

解：在参考答案的解法中，第（2）问要在第（1）问顺利解决的情况下才有可能完成，而第（1）问难度很大. 因此，能做对第（2）问的少之又少. 对于第（2）问，转化为？坌x∈（0，1），a≤■恒成立①；x=1时，f（x）≥0②；？坌x∈（1，+∞），a≥■恒成立③，则a的取值范围是同时满足①②③式的a取值集合的交集. 显然，对于第②问，a为任何实数均成立. 下面解答①③式，令g（x）=■，则g′（x）=■.

再令h（x）=（x-x2）+（2x2+x-1）ln（x+1），则h′（x）=（4x+1）ln（x+1）.

对于①式，当x∈（0，1）时，h′（x）>0，所以h（x）在（0，1）上递增，所以h（x）>h（0）=0，

从而g′（x）>0，所以g（x）=■在（0，1）上递增.

当x→0+时，有ln（x+1）→0，x-x2→0.

由洛必达法则有■g（x）=■■=■■=■=■=1，

所以当x→0+时，g（x）→1，所以要①式成立，则a≤1.

对于③式，当x∈（1，+∞）时，同理可得g（x）=■在（1，+∞）上递增.

当x→+∞时，有ln（x+1）→∞，x-x2→∞

由洛必达法则有■g（x）=■■=■■=■=■=0，

所以当x→+∞时，g（x）→0，所以要③式成立，则a≥0.

综合①②③式可得，a的取值范围为[0，1].

例2 （2014年陕西卷理科）设函数f（x）=ln（x+1），g（x）=xf ′（x），x≥0，其中f ′（x）是f（x）的导函数.

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围. （（1）（3）略）

解：（2）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（x+1）≥■恒成立.

①？摇当x=0时，a为任意实数，均有不等式恒成立.

②？摇当x>0时，不等式变形为a≤■恒成立.

令h（x）=■，则h′（x）=■，再令φ（x）=x-ln（x+1），则φ′（x）=■.

因为x>0，所以φ′（x）>0，所以φ（x）=x-ln（x+1）在（0，+∞）上递增，从而有φ（x）>φ（0）=0.

进而有h′（x）>0，所以h（x）=■在（0，+∞）上递增.

当x→0■时，有（x+1）ln（x+1）→0，x→0，

由洛必达法我们可得有■h（x）=■■=■■=■=■=1，

所以当x→0+时，h（x）→1. 所以要a≤■恒成立，则a≤1.

综合①②式可得，实数a的取值范围是（-∞，1].

读者不妨用洛必达法则试解以下高考压轴题：

1. （2013年全国大纲卷理科）已知函数f（x）=ln（1+x）-■.

（1）若x≥0时f（x）≤0，求λ的最小值.（2）略？摇（答案：■）

2. （2011年全国新课标卷理科）已知函数f（x）=■+■，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>■+■，求k的取值范围.

（答案：（1）a=1，b=1，（2）（-∞，0]）

3. （2010年新课标卷理科）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）略；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

（答案：（2）a≤■）

通过以上两例可以发现，对于在某个区间上，不等式恒成立时，求参数取值范围的题型，通常用分离变量的方法，把参数分离出来，然后对参数分离之后的函数y=■求导，研究单调性、极值.若遇到“当x=x0时，函数y=■无意义”，此时可以检验是否满足洛必达法则的条件，若满足，便可用洛必达法则来求解，这是解决此类难题很有效的方法.洛必达法则虽然不是高考考纲中需要掌握的内容，但它在高等数学中占有重要的地位. 如果学生在高中阶段就能认识理解洛必达法则，既可在高考数学考试中节约时间和有效解题，还将会对学生进入大学后学习高等数学奠定坚实的基础. 同时也要明白，解决此类恒成立问题，洛必达法则未必是唯一可用的最佳方法，但洛必达法则为我们提供了较为简明的解题思路，易于理解掌握，因此也不愧是一种高效实用的解题方法.