型极限的求解方法

魏建刚++李晓歌

摘要：极限是高等数学中重要的知识，而极限的求解更是高等数学的难点之一，本文对极限问题中 型极限问题的求解，给出利用有理化、利用重要极限、利用洛必达法则和利用泰勒公式这几种方法，方便大家遇到类似极限轻松解题。

关键词：重要极限；洛必达法则；泰勒公式

在我们刚进入高等数学的学习的过程中，初步接触到一些极限的求解方法，比如借助于定义法和极限的四则运算来求解一些简单的极限。我们知道在利用极限的四则运算中商的运算法则中要求分母的极限不能为零。但是学习时总会遇到分母的极限为零的情形，如果分母的极限为零，分子的极限是一个常数，那么可以用无穷大量与无穷小量的关系求解。时常还会遇到分子和分母的极限都是零的情形，我们把这类极限称之为“ ”型。下面就介绍一下一些 型极限的求解方法，以供参考。

方法一 利用有理化或约零因子求 型极限。

例1求

解析 通过观察发现，当 时，分子和分母的极限都是零，是一个 型极限，这时候无法用极限的四则运算法则来求。可以先将待求极限的分子先进行因式分解，在用四则运算法则求极限

下面看一个利用有理化求解极限的例子

例2求

解析 上式极限也是一个 型的极限，显然无法用因式分解约零因子的方法去求解，可以利用分母有理化的方法去求解

方法二 利用重要极限求 型极限

我们这个极限 称之为重要极限，根据对这个极限内容深刻理解，可以推广到 ，下面看如何利用这个重要极限来求解 型极限。

例3 求

解析 这待求极限看似与重要极限形式不同，实际上先将这个极限的形式变形一下就可以借助重要极限来解答了。

令 ，则 ，且当 时 ，所以有

类似地还有这样的极限 ， 也可以利用重要极限来求解。

方法三 利用洛必达法则来求解 型极限

定理1：若函数 和 满足

上述定理就给出了洛必达法则的使用条件和使用方法。

例4 求

解析 容易验证 与 在点 的邻域内满足上述定理的（1）（2），又因

从而有洛必达法则可知

如果 仍是 型极限，可以再次用洛必达法则，当然这时候 和 在 的某邻域内必须满足定理1中的条件。

方法四 利用泰勒公式求解 型极限

例5 求

解析 本题可以用洛必达法则求解，但是过程角为繁琐，若应用泰勒公式求解可大为简化求解过程。考虑到极限式的分母为 ，可用麦克劳林公式表示极限的分子（取 ）

所以

以上就是我们学习时经常遇到的一z些 型的极限和相对应的方法，当然 型的极限的求解还有其他的方法，我们在学习的过程不断尝试更多的解决 型的极限的方法，这样才能不断提高知识宽度和深度，从而在遇到这类极限的时候，才能迎刃而解。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系。高等数学第三版，高等教育出版社 2001年

[2]赵晔 关于 型极限求解方法的讨论[J]，重庆工商大学学报 2015年